Main>Florian Bogner |
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| == Zufallsexperiment ==
| | [[Bild:Loreley_LOC.jpg|thumb|Loreley um 1900]] |
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| | == Heinrich Heine: Die Lore-Ley (1824) == |
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| {{Aufgaben-M|1.1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es auf!}}
| | <poem style="margin-left:2em;"> |
| | Ich weiß nicht was soll es bedeuten, |
| | Dass ich so traurig bin; |
| | Ein Märchen aus alten Zeiten, |
| | Das kommt mir nicht aus dem Sinn. |
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| [[Datei:Roulette.jpg|rechts|250px]]
| | Die Luft ist kühl und es dunkelt, |
| Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
| | Und ruhig fließt der Rhein; |
| | Der Gipfel des Berges funkelt |
| | Im Abendsonnenschein. |
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| {{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
| | Die schönste Jungfrau sitzet |
| ;Zufallsexperiment | | Dort oben wunderbar; |
| :Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn:
| | Ihr goldnes Geschmeide blitzet, |
| :* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
| | Sie kämmt ihr goldenes Haar. |
| :* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
| |
| :* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
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| }}
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| }}
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| | Sie kämmt es mit goldenem Kamme |
| | Und singt ein Lied dabei; |
| | Das hat eine wundersame, |
| | Gewaltige Melodei. |
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| {{Aufgaben-M|1.2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
| | Den Schiffer im kleinen Schiffe |
| | Ergreift es mit wildem Weh; |
| | Er schaut nicht die Felsenriffe, |
| | Er schaut nur hinauf in die Höh. |
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| <div class="multiplechoice-quiz">
| | Ich glaube, die Wellen verschlingen |
| (Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
| | Am Ende Schiffer und Kahn; |
| </div> | | Und das hat mit ihrem Singen |
| | Die Lore-Ley getan. |
| | </poem> |
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| ''Hinweis: Du kannst das Multiplechoice-Quiz nochmal versuchen, indem du nach Aufgabe 1.5 die Buttons „Korrektur“ und „Neustart“ anklickst!''
| | == Fundstellen == |
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| | * [http://gutenberg.spiegel.de/?id=5&xid=1131&kapitel=12&cHash=eb14eca227heimk-02#gb_found Heinrich Heine: Die Heimkehr II] (Projekt Gutenberg-DE) |
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| {{Aufgaben-M|1.3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.
| | == Über die Loreley von Heine == |
| }}
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| ''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u> | | *[http://www.jhelbach.de/lorelei/loredeu.htm ,Loreley - romantisches Motiv und Mißdeutung der Romantik"] Eine Abhandlung von Jürgen Helbach |
| | * [http://www.jhelbach.de/lorelei/loreleyb.htm#Meine%20Loreley Loreley-Gedichte] von Clemens Brentano, Joseph von Eichendorff, Arno Holz, Erich Kästner, Ulla Hahn, Peter Rühmkorf, Rose Ausländer, Cornelis Buddingh |
| | *[http://www.daf.phil-fak.uni-duesseldorf.de/medienseminar/ss2000/loreley/ ''Loreley - eine deutsche Legende vom Rhein''] - Ein WWW-Projekt für den Deutsch als Fremdsprache-Unterricht von Katrin Bahrmann, Maria Panagiotidou & Thomas Korytko |
| | *[http://www.deutschkurse.de/medienseminar/ss2000/loreley/gap.htm Heines ''Loreley''] als Lückentext mit HotPotatoes |
| | *[http://home.rhein-zeitung.de/~goethe/Loreley%20der%20Neuzeit/index.htm ''Loreley der Neuzeit''] - Nazizeit - die Loreleybühne - literarische Rezeption - Kommerzialisierung - Loreley heute (Ein Schülerprojekt aus dem Goethe-Gymnasium Bad Ems) |
| | *[http://www.loreleytal.com/loreley/heine/ www.Loreleytal.com] - Die Loreley für Touristen |
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| == Ergebnis und Ereignis == | | == Weblinks == |
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| Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
| | * {{wpde|Loreley#Heines_Lied_von_der_Lore-Ley|Heines Lied von der Lore-Ley}} |
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| In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
| | == Siehe auch == |
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| {{Aufgaben-M|1.4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
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| ''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
| | * [[Heinrich Heine]] |
| }}
| | * [[Romantik]] |
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| | Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
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| |-
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| | Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
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| |-
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| | Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
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| |-
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| | Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
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| |-
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| | Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
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| |-
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| | unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
| |
| |-
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| | Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
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| |-
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| |}
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| </div>
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| | | [[Kategorie:Werk (Deutsch)]] |
| Lösungshinweise:
| | [[Kategorie:Motive in der Literatur]] |
| {{versteckt|{{Kasten_grün|
| | [[Kategorie:Romantik]] |
| *;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
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| *;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
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| *;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
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| *;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}.
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| *;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
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| *;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega\ .</math>)
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| *;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} <math>\overline{E}=\Omega\setminus E\ .</math> (man sagt auch Komplement)
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| *;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
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| }}
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| }}
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| {{Aufgaben-M|1.5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.
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| Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
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| <quiz display="simple">
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| { Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
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| - 8
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| + 12
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| - 36
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| | |
| { Es wird dreimal gewürfelt. }
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| - 18
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| - 56
| |
| + 216
| |
| | |
| { Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
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| - 72
| |
| - 216
| |
| + 288
| |
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| { Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
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| - 9
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| + 27
| |
| - 72
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| </quiz>
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| Lösungshinweise:
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| {{versteckt|
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| :* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
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| :* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
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| :* <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
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| :* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
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| }}
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| {{Aufgaben-M|1.6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
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| :<math>\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
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| b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
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| }}
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| Lösungshinweise:
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| {{versteckt|:a)
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| :* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}</math> (Das sichere und das unmögliche Ereignis)
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| :* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| :* <math>\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| :* <math>\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| :Das vermutete Gesetz lautet:
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| {{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.} </math>
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| }}
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| :b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}</math>
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| }}
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| == Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
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| [[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|150px]] | |
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| {{wpde|Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
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| {{Aufgaben-M|1.7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
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| {{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
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| ;Laplace-Experiment
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| :Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
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| :Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
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| ;Laplace-Würfel
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| :Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}</math> gewürfelt.
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| :Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
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| ;Laplace-Wahrscheinlichkeit
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| :Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
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| :<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega \right| }\ .</math>
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| :Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt <math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .</math>
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| }}
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| }}
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| {{Kasten_blass|'''„Racing Game with One Dice“ (Rennspiel mit einem Würfel)'''
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| :Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?
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| {{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice] ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).
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| :Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
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| :* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
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| :* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
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| :* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton '''„Roll Dice“''', bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
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| :* Wenn ihr auf den Button '''„Restart“''' klickt, kann es von vorne los gehen.
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| :* Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
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| :** Mit dem Schieberegler '''„Race segments“''' stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
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| :** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
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| :** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
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| :Auf die Plätze, fertig, los!
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| }}
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| {{Aufgaben-M|1.8|[[Datei:Pasch.jpg|right]]Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.
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| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
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| Lösungshilfe: {{versteckt|:Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
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| :[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.jpg]]
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| }}
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| {{Lösung versteckt|:Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
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| :[[Datei:FeldertafelzweiWürfelgefüllt.jpg]]
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| :Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.
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| :<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
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| :<math>E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math> | |
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| :<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
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| }}
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| {{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel| <big> '''→ Weiter zu''' </big><colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize>]]}}
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