Flächeninhalt des Rechtecks und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Seiten

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-{{Diese Seite|ist einer von mehreren [[Flächeninhalt#Lernpfade|Lernpfaden zum Thema Flächeninhalt]].}}
+== Zufallsexperiment ==
-{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}
-<big>'''Flächeninhalt des Rechtecks'''</big>
-:'''Zielsetzung:''' Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.
-:'''5. Jahrgangsstufe am Gymnasium'''
-:'''Zeitbedarf:''' ca. 70 Minuten
-:'''Materialen:''' Computer (mit [[Java]] und [[GeoGebra]]) und Heft.
-}}
-__NOTOC__
-= <span style="color:#551A8B">Flächeninhalt des Rechtecks</span> =
+{{Aufgaben-M|1.1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es auf!}}
-== <span style="color:#009ACD">1. Arbeitsauftrag - Quiz über Rechtecke</span> ==
+[[Datei:Roulette.jpg|rechts|250px]]
+Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Zufallsexperiment
+:Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn:
+:* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
+:* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
+:* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
+}}
+}}
-Nun wollen wir zu Beginn erst einmal testen, was ihr denn noch über Vierecke wisst. Dazu könnt ihr jetzt ein Quiz machen.
-[http://www.bartberger.de/Klasse5/Tests/vierecke/vierecke.htm Quiz zum Viereck]
+{{Aufgaben-M|1.2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
+<div class="multiplechoice-quiz">
+(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels)  (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch)  (!Benotung deiner Klassenarbeit)  (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
+</div>
+''Hinweis: Du kannst das Multiplechoice-Quiz nochmal versuchen, indem du nach Aufgabe 1.5 die Buttons „Korrektur“ und „Neustart“ anklickst!''
+{{Aufgaben-M|1.3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.
+}}
+''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
+== Ergebnis und Ereignis ==
+Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
-== <span style="color:#009ACD">2. Arbeitsauftrag - Kästchen zählen</span> ==
+In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!}}
-Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren. Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.
+{{Aufgaben-M|1.4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
-Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.
-=== <span style="background:#63B8FF">1. Rechteck</span> ===
-[[Bild:Rechteck01.png]]
-====Hast du richtig gezählt?====
-<quiz display="simple">
-{Das Rechteck besteht aus ...}
-- 16 Kästchen.
-+ 18 Kästchen.
-- 20 Kästchen.
-</quiz>
-=== <span style="background:#63B8FF">2. Rechteck</span> ===
-[[Bild:Rechteck02.png]]
-====Hast du richtig gezählt?====
-<quiz display="simple">
-{Das Rechteck besteht aus ...}
-+ 8 Kästchen.
-- 6 Kästchen.
-- 7 Kästchen.
-</quiz>
-=== <span style="background:#63B8FF">3. Rechteck</span> ===
-{{Hinweis Achtung|Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!}}
-[[Bild:Rechteck03.png|258px]]
-====Hast du richtig gezählt?====
-<quiz display="simple">
-{Das Rechteck besteht aus ...}
-- 8 1/2 Kästchen.
-+ 9 Kästchen.
-- 8 Kästchen.
-</quiz>
-== <span style="color:#009ACD">3. Arbeitsauftrag - Zeichnen</span> ==
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}
-Fertigt nun folgende Aufgabe in euerem Heft an:
-Zeichnet ein Rechteck mit Flächeninhalt 16 Kästchen.
-= <span style="color:#551A8B">Flächeninhalt eines Rechtecks</span> =
-Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:
-[[Bild:mehrere Rechtecke.png]]
-Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm
+''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
-und b = d = 2cm.
-Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?
-Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?
-Was fällt euch dabei auf?
-== <span style="color:#009ACD">4. Arbeit im Heft</span> ==
-=== <span style="color:#8B0000">Hefteintrag</span> ===
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!}}
-Übertragt die Rechtecke in euer Heft.
-Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.
-Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks
-immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.
-Wir notieren:
-:Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6
-:Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2
-:Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12
-{{Hinweis Achtung|Das F steht hier für den Flächeninhalt!!!}}
-Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft
-'''Satz:'''
-{{rot-gelb|
-'''Flächeninhalt des Rechtecks'''
-#Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
-#Es gilt also: <math>F = a x b</math>
 }}
-<br>
-<br>
-== <span style="color:#009ACD"> Ein anschauliches Beispiel </span> ==
+<div class="zuordnungs-quiz">
-Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert.
+{|
-Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.
+| Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
+|-
+| Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
-<ggb_applet height="600" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Anschauliches Rechteck.ggb‎" />
+|-
+| Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
-= <span style="color:#551A8B ">Verschiedenes zum Flächeninhalt des Rechtecks</span> =
-== <span style="color:#009ACD"> Andere geometrische Figuren </span> ==
-Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!}}
-[[Bild:Vieleck1.png]]
-[[Bild:Vieleck2.png]]
-== <span style="color:#009ACD"> Maßeinheiten </span> ==
-{{Hinweis Zeit|Nehmt euch zum Durchlesen 8 Minuten Zeit!}}
-Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt. Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen. Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.
-=== Wiederholung ===
-Ihr kennt bereits:
-{| class="wikitable sortable"
-!Einheit
-!kurz
-!Umrechnung
-!Grafische Darstellung
 |-
-|'''Millimeter'''
+| Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
-| mm
-|
-|[[Bild:SSS Millimeter.jpg]]
 |-
-|'''Zentimeter'''
+| Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
-| cm
-|1 cm = 10 mm
-|[[Bild:Zentimeter.jpg]]
 |-
-|'''Dezimter: dm'''
+| unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
-| dm
-|1 dm = 10 cm = 100 mm
-|[[Bild: Dezimeter.jpg]]
 |-
-|'''Meter'''
+| Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
-| m
-|1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
-|[[Bild:Meter.jpg]]
 |-
-|'''Kilometer'''
-| km
-|1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
-|
 |}
+</div>
-=== Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks ===
+Lösungshinweise:
+{{versteckt|{{Kasten_grün|
+*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
-Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.
+*;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
-[[Bild: Rechteck22.jpg]]
-Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c)
+*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
-Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)
-Aus unserer Formel <math>F = a x b</math> wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?
+*;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}.
+*;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
-Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücke, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!
+*;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega\ .</math>)
+*;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} &nbsp;<math>\overline{E}=\Omega\setminus E\ .</math>&nbsp;(man sagt auch Komplement)
-Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.
+*;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
+}}
+}}
-Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .
-[[Bild:Rechteck und Fläche.png]]
+{{Aufgaben-M|1.5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.
-An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt.
+Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
-Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ...
-Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.
+<quiz display="simple">
-{{Hinweis Achtung|Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!}}
+{ Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
+- 8
++ 12
+- 36
+{ Es wird dreimal gewürfelt. }
+- 18
+- 56
++ 216
+{ Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
+- 72
+- 216
++ 288
-Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.
-Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an:
+{ Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
-cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder
-cm x 2,5cm = 10cm²
+- 9
++ 27
+- 72
+</quiz>
+Lösungshinweise:
+{{versteckt|
+:* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
+:* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
+:* <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
+:* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
+}}
+{{Aufgaben-M|1.6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+:<math>\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
-{{Hinweis Achtung|Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!}}
+b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
+}}
-Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist.
+Lösungshinweise:
-Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm².
+{{versteckt|:a)
-Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum:
+:* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}</math> &nbsp;(Das sichere und das unmögliche Ereignis)
-cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²
+:* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+:* <math>\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+:* <math>\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+}}
+Lösung: {{Lösung_versteckt|
+:Das vermutete Gesetz lautet:
+{{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>
+}}
-Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:
-{| class="wikitable sortable"
+:b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}</math>
-!Einheit bei Flächen
+}}
-!Produkt
-!Umrechnung
-!
-|-
-|'''Quadratmillimeter'''
-| mm x mm = mm²
-|1mm²
-|
-|-
-|'''Zentimeter'''
-| cm x cm = cm²
-|1cm² = 100mm²
-|
-|-
-|'''Dezimter: dm'''
-| dm x dm = dm²
-|1dm² = 100cm² = 10000mm²
-|
-|-
-|'''Meter'''
-| m x m = m²
-|1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
-|
-|-
-|'''Kilometer'''
-| km x km = km²
-|1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²
-|
-|}
-=== Aufgaben ===
+== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!}}
+[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|150px|left]]
+{{wpde|Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
-. Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.
-a)     8 dm² ( cm² )
+{{Aufgaben-M|1.7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace-Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
-b)   27 m² ( dm² )
-c)   43 km² ( m² )
-d)   18 cm² ( mm² )
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Laplace-Experiment
+:Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
+:Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
+;Laplace-Würfel
+:Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{6}</math>&nbsp;&nbsp;gewürfelt.
+:Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
+;Laplace-Wahrscheinlichkeit
+:Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
-. Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.
+:<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega  \right| }\ .</math>
-a) 3800 cm² ( dm² )
+:Beispiel:  Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .</math>
+}}
+}}
-b) 5900 dm² ( m² )
-c) 470000 m² ( km² )
+{{Kasten_blass|'''„Racing Game with One Dice“ (Rennspiel mit einem Würfel)'''
-d) 25 km² ( cm² )
+----
-. Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.
+:Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?
-a) b = 5 cm, c = 70 dm
+{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice] ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).
-b) a = 1200 mm, b = 9 dm
+:Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
-c) c = 5 km, d = 3000 m
+:* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
+:* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
+:* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton '''„Roll Dice“''', bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
+:* Wenn ihr auf den Button '''„Restart“''' klickt, kann es von vorne los gehen.
+:* Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
+:** Mit dem Schieberegler '''„Race segments“''' stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
+:** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
+:** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
-d) a = 50 cm, d = 200 mm
+:Auf die Plätze, fertig, los!
+}}
-e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)
-f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)
+{{Aufgaben-M|1.8|[[Datei:Pasch.jpg|right]]Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.
-== <span style="color:#009ACD">5. Arbeitsauftrag - Anwendungsaufgabe Kinderzimmer</span> ==
+Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!}}
+Lösungshilfe: {{versteckt|:Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
-Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.
-Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.
-Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."
-Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
-== <span style="color:#009ACD">6. Arbeitsauftrag - Check dein Wissen</span> ==
-{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}
-{{Hinweis Achtung|Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!}}
-<quiz display="simple">
-{Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?}
-- Der Flächeninhalt bleibt gleich.
-+ Der Flächeninhalt verdoppelt sich
-- Das Rechteck ist dann viermal so groß.
-{Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert}
-- wahr
-+ falsch
-{Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert}
-+ wahr
-- falsch
-{Die Werte von Flächeninhalt und Umfang sind beim Quadrat gleich groß}
-- wahr
-+ falsch
-{Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)}
-+ wahr
-- falsch
-{Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)}
-- wahr
-+ falsch
-{Die folgenden vier Fragen beziehen sich auf folgenden Sachverhalt: Ein Rechteck ist 4m lang und 9m breit.
-Welche Aussagen sind richtig?
-Der Flächeninhalt beträgt 32m²}
-- wahr
-+ falsch
-{Der Umfang beträgt 26 cm²}
-- wahr
-+ falsch
-{Man kann 18 kleinere Rechtecke mit Flächeninhalt 2m² einbauen.}
-+ wahr
-- falsch
-{Ein Quadrat mit Seitenlänge 6m hat den gleichen Umfang.}
-+ wahr
-- falsch
-</quiz>
-= <span style="color:#551A8B">Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause</span> =
-Klickt auf den folgenden Link und bearbeitet die Aufgaben zum Flächeninhalt.
-{{Vorlage:Hinweis Hausaufgabe1}}
-[[Benutzer:Markus Bergmann]]
+:[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.jpg|250px|li]]
+}}
+{{Lösung versteckt|:Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
+:[[Datei:FeldertafelzweiWürfelgefüllt.jpg|250px|li]]
+:Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.
+:<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
+:<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
+:<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
+}}
-{{mitgewirkt|
+----
-* Engerer, Franziska
-* Henkelmann, Lisa
-* Hesse, Katharina}}
-[[Kategorie:Rechtecke]]
+{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel| <big> '''→ Weiter zu''' </big><colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize>]]}}
-[[Kategorie:Flächeninhalt]]
-[[Kategorie:Mathematik 5]]

Version vom 25. September 2009, 12:09 Uhr

Zufallsexperiment

Vorlage:Aufgaben-M

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Vorlage:Kasten grün

Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Hinweis: Du kannst das Multiplechoice-Quiz nochmal versuchen, indem du nach Aufgabe 1.5 die Buttons „Korrektur“ und „Neustart“ anklickst!

Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.

In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Vorlage:Aufgaben-M

Ergebnis	$\omega_i$	$6$
Ereignis	$E$	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
Ergebnismenge	$\Omega$	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left\| \Omega \right\|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	72
	216
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Lösung:

Das vermutete Gesetz lautet:

Vorlage:Kasten grün

\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.