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| {{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}} | | {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Potenzfunktionen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}} |
| __NOTOC__ | | __NOTOC__ |
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| ==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
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| ==Worum geht's?==
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| Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
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| Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
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| In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)
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| ==Informiere dich!== | | {{Box|1=Übung|2= |
| | Hier kannst Du Dein Wissen über die Potenzfunktionen testen. |
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| {{2Spalten | | <quiz display="simple"> |
| |[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]] | | { Gib die Eigenschaften des Graphen an, die für die angegebenen Funktionen zutreffen. |
| |{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
| | | typ="()" } |
| }}
| | | achsensymmetrisch | punktsymmetrisch | nicht symmetrisch |
| | -+- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | --+ <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | +-- <math>h(x)= x^{-2} \quad</math> |
| | </quiz> |
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| <br> | | <quiz display="simple"> |
| | {Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Funktion <math>f(x)=a \cdot x^{z}, a \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{Z}</math> einen kleinsten Wert besitzt?} |
| | + a ist positiv und z ist gerade. |
| | - a ist negativ und z ist gerade. |
| | - a ist positiv und z ist ungerade. |
| | - a ist negativ und z ist ungerade. |
| | </quiz> |
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| ==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>== | | <quiz display="simple"> |
| Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
| | {Welche Punkte liegen auf den Graphen der angegebenen Funktionen? |
| Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
| | | typ="()" } |
| Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!
| | | <math>(0/0)</math> | <math>(-1/1)</math> | <math>(1/1)</math> |
| | +-- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | +-- <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | --+ <math>h(x)= x^{-3} \quad</math> |
| | </quiz> |
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| [[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
| | <quiz display="simple"> |
| <br> | | {Für welche Funktionen ist der Definitionsbereich auf <math>\mathbb{R}^{+}_0</math> beschränkt?} |
| | - <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math> |
| | + <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math> |
| | - <math>h(x)= x^{-3} \quad</math> |
| | </quiz> |
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| ==Verstanden, worum es geht?== | | <quiz display="simple"> |
| | {[[Bild:potenztest1.jpg]]<br>Ordne den Graphen die entsprechenden Funktionsterme zu. |
| | | typ="()" } |
| | | a | b | c | d | e |
| | +---- <math>\frac{1}{8} x^2</math> |
| | ----+ <math>x^{-\frac{1}{3}}</math> |
| | --+-- <math>2 x^3 \quad</math> |
| | ---+- <math>-\frac 12 x^{\frac 12}</math> |
| | -+--- <math>x^{-3} \quad</math> |
| | </quiz> |
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| In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)
| | <quiz display="simple"> |
| | {Welche Graphen der unten stehenden Funktionen sind im Bereich <math>x \in \mathbb{R}^\mbox{+}</math> monoton steigend?} |
| | - <math>f(x)= -3 x^3 \quad</math> |
| | + <math>g(x)= x^{\frac 13}</math> |
| | + <math>h(x)= -x^{-2} \quad</math> |
| | </quiz> |
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| <br> | | <quiz display="simple"> |
| <p align="center">
| | {[[Bild:potenztest2.jpg]]<br>Ordne den obigen Tabellen (mit gerundeten Werten) die entsprechenden Graphenarten zu. |
| {{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}} | | | typ="()" } |
| </p>
| | | G<sub>a</sub> | G<sub>b</sub> | G<sub>c</sub> | G<sub>d</sub> | G<sub>e</sub> |
| <br><br> | | -+--- Parabel |
| | | ---+- Kubische Grundparabel |
| In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
| | --+-- Hyperbel |
| <br><br>
| | +---- Quadratwurzel |
| <p align="center">
| | ----+ Kubikwurzel |
| {{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}
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| </p>
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| <br><br>
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| ==Übung macht den Meister==
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| {{Box|1=Aufgabe|2=
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| Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
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| <br>
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| <br>
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| <math>f(x)=x^2-4x+3</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| <br> | |
| <math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| <br>
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| <math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br>
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| {{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| <br>
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| Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
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| <math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br>
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| {{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2
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| ==Polynomdivision==
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| Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br>
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| Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
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| <br><br><br>
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| Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.
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| {{2Spalten
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| |[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
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| |{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
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| }}
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| <br><br>
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| Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
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| <br>
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| |[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]
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| |}
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| <br><br><br>
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| ==Teste dich!==
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| {{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br>
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| Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5
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| <br>
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| <math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| <math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| <math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| <math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| '''
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| für Experten'''<br>
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| <math>(x^5-1):(x-1)</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| <math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
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| {{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br>
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| |Üben}}
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| <br>
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| ==Abschlussübung==
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| {{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
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| <br>
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| <math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br>
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| {{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| |Üben}}
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| <br>
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| <br>
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| '''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''
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| {{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}
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| | </quiz> |
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| | |3=Übung}} |
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| [[Kategorie:Mathematik]] | | [[Kategorie:Mathematik]] |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]] | | [[Kategorie:Interaktive Übung]] |
| [[Kategorie:LearningApps]] | | [[Kategorie:R-Quiz]] |
