Benutzer:Maria Eirich/Test Lernpfade 1 und Integralrechnung/Aufgaben II: Unterschied zwischen den Seiten

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==Aufgaben II==
{{Quadratische Funktionen erkunden}}
===Beispiel===
 
Das Integral <math>\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x</math> berechnet sich mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wie folgt:
 
<br><br>
{{Lernpfad Energie}}
<math>\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_1^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = 21</math>.
 
<br><br>
 
{{Aufgaben-M|17|
{{Vokabeln lernen}}
Berechne das bestimmte Integral!
 
# <math>\int\limits_2^5 \frac{2}{3}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^3 \sqrt{5} \ \mathrm{d}x;
 
  \qquad \int\limits_4^5 2x^2 \ \mathrm{d}x</math>
{{Lernpfad Holz/Inhalt}}
# <math>\int\limits_3^7 2 \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_2^5 1 \ \mathrm{d}x;
  \qquad \int\limits_2^4 0 \ \mathrm{d}x</math>
# <math>\int\limits_3^8 \frac{1}{\sqrt{x}}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^2 \frac{5}{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_4^9 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ \mathrm{d}x</math>
}}
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# <math>7; \quad 2 \sqrt{5}; \quad \frac{122}{3}</math>
# <math>8; \quad 3; \quad 0</math>
# <math>-2 (\sqrt{8} - \sqrt{3}); \quad 10 - 10 \sqrt{2}; \quad -1</math>
}}}}
<br>
{{Aufgaben-M|18|
Berechne das Integral.
# <math>\int\limits_0^3 (2x^3 + 3x - 2) \ \mathrm{d}x</math>
# <math>\int\limits_1^2 \frac{1 + 3x^2}{5} \ \mathrm{d}x</math>
# <math>\int\limits_1^3 \frac{3x^2 - 7\sqrt{x}}{x} \ \mathrm{d}x</math>
}}
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# <math>48</math>
# <math>\frac{8}{5}</math>
# <math>26 - 14 \sqrt{3}</math>
}}}}
<br>
{{Aufgaben-M|19|
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von <math>f</math> und der x-Achse.
# <math>f(x) = -x^3 + x</math>
# <math>f(x) = 4 x^2 - 3</math>
# <math>f(x) = (x^2 - 16)(x^2 + 3)</math>
}}
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Es ergeben sich die Nullstellen -1, 0 und 1. Damit müssen zwei Integrale ausgewertet werden. Diese erstrecken sich von der ersten bis zur zweiten Nullstelle sowie von der zweiten bis zur dritten. Insgesamt ergibt sich der Wert für die Fläche aus den Beträgen der einzelnen Integrale zu <math>\frac{1}{2}</math>. Nach der Regel zur Intervalladditivität könnte auch ein einzelnes Integral von der niedrigsten bis zur höchsten Nullstelle betrachtet werden, wenn nach dem Wert des Integrals gefragt wäre. Jedoch ist nach der Fläche gefragt. Deshalb müssen die Beträge der Integrale einzeln betrachtet werden!!! Vergleiche dazu den Wert des Integrals in denselben Grenzen, er ist 0.
# Nullstellen: <math>\frac{1}{2}\sqrt{3}</math> und <math>- \frac{1}{2}\sqrt{3}</math>. Der Flächeninhalt hat den Wert <math>2 \sqrt{3}</math>.
# Nullstellen: 4 und -4. Der Flächeninhalt hat den Wert <math>\frac{7936}{15}</math>.
<br>
Bemerkung: Hier gibt es nur positive Ergebnisse, da die Beträge der Integrale auszuwerten sind, denn es waren ja die Flächen gefragt und nicht die Integrale!
}}}}
<br>
<div align="center">
[[Mathematik-digital/Integral10|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Mathematik-digital/Integral12|>>Weiter>>]]
</div>
<br>
{{Kastendesign1|
BORDER = cornflowerblue|
BACKGROUND = cornflowerblue|
BREITE =100%|
INHALT=
[[Mathematik-digital/Integral2|Vorüberlegungen]] &nbsp; &#124;  &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral3|Ober- und Untersumme]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral4|Flächen bestimmen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral5|Bestimmtes Integral]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral6|Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral6a|Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral7|Stammfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral8|Aufgaben]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral9|Hauptsatz]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral10|Integrationsregeln]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Mathematik-digital/Integral11|Aufgaben II]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen|Autor]]
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}}

Version vom 28. November 2011, 21:23 Uhr

Aufgaben II

Beispiel

Das Integral berechnet sich mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wie folgt:

.

Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung



Vorlage:Kastendesign1

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