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| <!--==Aufgaben==-->
| | ===Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung=== |
| {{Aufgaben-M|10|
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| Bestimme jeweils eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu folgenden Funktionen <math>f(x)</math> durch '''umgekehrte Differentiation'''.
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| # <math>f(x)=x^2</math>
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| # <math>f(x)=x^3</math>
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| # <math>f(x)=3x</math>
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| # <math>f(x)=x^5</math>
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| # <math>f(x)=5x^2</math>
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| # <math>f(x)=x^4</math>
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| # <math>f(x)=2</math>
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| # <math>f(t)=2t^5</math>
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| # <math>f(x)=\frac{2}{5x^2}</math>
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| # <math>f(x)=\cos{(3x)}</math> (nur Lk)
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| # <math>f(x)=x+2\sin{(2x)}</math> (nur Lk)
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| # <math>f(x)=e^x</math>
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| # <math>f(x)=e^{-x}</math>
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| # <math>f(x)=2\cdot e^x</math>
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| # <math>f(x)=e^{-3x}</math>
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| # <math>f(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}</math>
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| # <math>f(x)=1+e^{\frac{1}{2}x}</math>
| |
| # <math>f(x)=\frac{5}{2}e^{2x-2}</math>
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| }}
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung|1=
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| Die allgemeinen Lösungen lauten:
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| <br>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3</math>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4</math>
| |
| # <math>F(x)=\frac{3}{2} \cdot x^2</math>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{6} \cdot x^6</math>
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| # <math>F(x)=\frac{5}{3} \cdot x^3</math>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{5} \cdot x^5</math>
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| # <math>F(x)= 2x</math>
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| # <math>F(t)=\frac{1}{3} \cdot t^6</math>
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| # <math>F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}=-\frac{2}{5x}</math>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{3}\sin{(3x)}</math>
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| # <math>F(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 - \cos{(2x)}</math>
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| # <math>F(x)=e^x</math>
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| # <math>F(x)=-e^{-x}</math>
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| # <math>F(x)=2\cdot e^x</math>
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| # <math>F(x)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-3x}</math>
| |
| # <math>F(x)=\frac{1}{3} e^{x+5}</math>
| |
| # <math>F(x)=x+2e^{\frac{1}{2}x}</math>
| |
| # <math>F(x)=\frac{5}{4}e^{2x-2}</math>
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| }}}}
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| <br><br>
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| {{Frage|
| |
| Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion <math>f(x)= a \cdot x^n</math>?
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| }}
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|{{Antwort|
| |
| <math>F(x)= \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c</math>
| |
| }}}}
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| <br><br><br> | | <br><br><br> |
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| {{Navigation Lernpfad Integral}}
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