|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| <br>Hier wiederholst du nochmal die wichtigsten Grundlagen der Binomialverteilung.<br><br>
| |
| In der ersten Übung wiederholst du die grundlegenden Begriffe der Binomialverteilung.<br><br>
| |
| {{Box|Übung 1: wichtige Begriffe der Binomialverteilung|2=
| |
| Fülle den Lückentext aus!
| |
| <div class="lueckentext-quiz">
| |
|
| |
|
| Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man ''' Bernoulli-Experiment'''. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine '''Bernoulli-Kette''' der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X die Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die '''Formel von Bernoulli''' (<math>P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}</math>) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Der '''Erwartungswert''' der Binomialverteilung wird durch <math>E(X)=n\cdot p</math> berechnet. Stellt man die Binomialverteilung in einer Grafik dar (p-k Diagramm) erhält man näherungsweise eine ''' Glockenkurve'''. Der Hochpunkt der Funktion liegt beim Erwartungswert. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige '''Verteilungsfunktion''', für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise <math>P(X\leq k)</math> üblich ist. Bei der Verteilungsfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmen k Wert aufsummiert: <math>P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)</math>.
| | {{Lernpfad|Das Ziel des Lernpfades ist es, dass du dein Verständnis zu dem Thema '''Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen''' vertiefst und im Anschluss sicher Klausur- und Abi-Aufgaben lösen kannst.<br><br> |
| | Der Lernpfad geht dazu auf folgende Inhalte ein: |
| | [[Datei:Zweiseitigertest.png|rechts|400px]] |
|
| |
|
| </div>|3=Arbeitsmethode
| | * [[Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung|Wiederholung Binomialverteilung]] |
| }}
| | |
| <br>
| | * [[Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Grundidee vom Signifikanztest|Grundidee vom Signifikanztest]] |
| Vor allem die grafische Anschauung der Binomialverteilung und der Umgang mit der Verteilungsfunktion sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2. <br>
| | |
| | * [[Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Aufbau und Durchführung eines Signifikanztests|Aufbau und Durchführung eines Signifikanztests]] |
|
| |
|
| {{Box|1=Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten|2=
| | * [[Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest|Fehlerarten beim Signifikanztest]] |
| [[Datei:Kohlekraft.jpg|rechts|100px]] | |
| Die Schüler*innen der Umweltgruppe befragen 1000 Menschen in Deutschland, ob sie den Klimawandel als Bedrohung ansehen. Für die folgenden Aufgaben wird angenommen, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen.
| |
| <br><br>
| |
| a) Skizziere die Binomialverteilung für die Befragung.
| |
| {{Lösung versteckt|1= Fertige ein p-k Diagramm an. Die Binomialverteilung ist näherungsweise eine Glockenkurve. Überlege dir, wo der Hochpunkt der Funktion liegt.
| |
| |2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| [[Datei:Neueins.png|600px]]
| |
| Den Hochpunkt hat die Funktion beim Erwartungswert (<math>E(X)=n\cdot p</math>)<br> In dieser Aufgabe errechnet sich der Erwartungswert also wie folgt: <math>E(X)=1000\cdot 0.71=710</math>.<br> Hinweis! Die Breite der Glockenkurve ergbit sich aus der Standartabweichung. Für die Skizze reicht es aus, wenn du die Breite der Kurve nach Gefühl einträgst.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| Bereche die Wahrscheinlichkeit dafür,...<br><br>
| | * [[Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest|Klausurtraining - Signifikanztest]] |
| b) dass in der Stichprobe '''genau''' 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
| |
| {{Lösung versteckt|1=In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.<br> [[Datei:Neuzwei.png|600px]]<br>Nutze die Formel von Bernoulli!<br> Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechner! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechnern ist es die Funktion binompdf(n,p,k))<br>
| |
| |2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| <math>B_{1000,0.71}(710)=\binom{1000}{710}\cdot 0.71^{710}\cdot (1-0.71)^{290}=0.0278</math><br>
| |
| Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| c) dass '''höchstens''' 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
| | Vor Bearbeitung des Lernpfades solltest du die Inhalte bereits in der Schule behandelt haben. Der Lernpfad dient nur zur Vertiefung und Übung des Themas. |
| {{Lösung versteckt|1= Höchtens heißt, es können 0,1,2,3, ...,680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br>In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.<br>[[Datei:NeuDrei.png|600px]]<br>
| |
| Nutze die Verteilungsfunktion (siehe Übung 1).<br> Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechnern! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechner ist es die Funktion binomcdf(n,p,k))<br>
| |
| |2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| <math>P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206</math><br>
| |
| Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06. %
| |
| }}
| |
|
| |
|
| d) dass '''mindestens''' 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
| | <u>Zeitbedarf</u>: 90min <br> |
| {{Lösung versteckt|1= Mindestens heißt, es können 740, 741, ...,1000 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br> In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert. <br> [[Datei:NeuVier.png|600px]]
| | <u>benötigtes Material:</u> Taschenrechner, Stift und Zettel <br> |
| Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:<br> <math>P(X\geq k)= 1-P(X\leq k-1)</math><br> Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit dem Taschenrechner berechnen. Hinweis! Merke dir diesen Trick! Du brauchst ihn später noch beim Signifikanztest.<br>
| | [[Datei: Hinweis für Lehrkräfte.pdf|mini]] |
| |2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| <math>P(X\geq740)=1-P(X\leq739)=0,0191</math><br>
| |
| Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.
| |
| }} | | }} |
| | Schau die das Video an! <br> |
| | Es führt das Beispiel ein, dass dich den Lernpfad über begleiten wird.<br> |
|
| |
|
| |3=Arbeitsmethode}} | | {{#ev:youtube|wMg8pyEof7A|800|center}} |
|
| |
|
| '''Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest! ''' | | '''Viel Spaß beim Bearbeiten! :)''' |
| {{Fortsetzung|weiter=Grundidee vom Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Grundidee_vom_Signifikanztest}} | | {{Fortsetzung|weiter=Wiederholung Binomialverteilung|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung}} |
