Benutzer:Maria Eirich/Hilfe und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Florian Bogner
(lsg 5.4)
 
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__NOCACHE__
= Das „Ziegenproblem“ =
==Geogebra==
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre><ggb_applet id="f8ZNkcQt" width="787" height="450" border="888888" /></pre>
Einbindung mit Hilfe der Material-ID aus [https://www.geogebra.org/materials/ GeoGebraTube]:


Auf der Materialseite findet man unter Teilen den Code zum '''Einbetten'''. Man wählt dann '''Mediawiki''' und kopiert den Code auf die Wiki-Seite.


</div>
{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.
<div class="width-1-2">
<ggb_applet id="f8ZNkcQt" width="787" height="450" border="888888" />
</div>
</div>


Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:


==Learning App==
Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht.
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>{{LearningApp|app=|width=400px|height=400px}}</pre>
'''Hinweis:'''


Die Parameter ''width'' und ''height'' sind optional und müssen in % bzw. px angegeben werden.
Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will.
Wird nichts eingegeben, wird als Vorgabewert eine Breite von 100% und eine Höhe von 400px verwendet.
}}
</div>
<div class="width-1-2">
{{LearningApp|app=py7d7b0x501|width=400px|height=400px}}
</div>
</div>


== YouTube-Videos ==
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|400|center}}</pre>
'''Hinweis:'''


*Die Zahl 400 gibt die Breite in Pixel an.
{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
*Mögliche Parameter: left, center, right
}}
</div>


<div class="width-1-2">
{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|400}}
</div>
</div>


==Verstecken und Anzeigen==
Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
'''Das schreibt man:'''
<pre>
<div class="box ueben">
== Üben ==
...
</div>
</pre>
</div>


<div class="width-1-2">
Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
'''Das sieht man:'''
<div class="box ueben">
== Üben ==
...
</div>


</div>
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
</div>




----


=== Folgende Boxen stehen zur Verfügung (analog oben) ===


<pre>
Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
<div class="box hervorhebung1">
== Hervorhebung 1 ==
...
</div>


<div class="box hervorhebung2">
Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder.  
== Hervorhebung 2 ==
...
</div>


<div class="box zitat">
Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
== Zitat ==
...
</div>


<div class="box arbeitsmethode">
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
== Arbeitsmethode ==
...
</div>


<div class="box unterrichtsidee">
== Unterrichtsidee ==
...
</div>


<div class="box meinung">
----
== Meinung ==
...
</div>


<div class="box lernpfad">
== Lenrpfad ==
...
</div>


<div class="box experimentieren">
'''Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!'''
== Experimentieren ==
...
</div>


<div class="box loesung">
== Lösung ==
...
</div>


<div class="box ueben">
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
== Üben ==
...
</div>


<div class="box kurzinfo">
== Kurzinfo ==
...
</div>


<div class="box experimentieren">
{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}}
== Experimentieren ==
...
</div>


<div class="box download">
{{Lösung versteckt|:Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
== Download ==
 
...
 
</div>
:[[Datei:BaumZiegenproblemAuto.jpg]]}}
</pre>
 
 
{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}}
 
{{Lösung versteckt|:Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemKandidat.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}}
 
Lösungshilfe: {{versteckt|:Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt.
 
:*1. Fall: Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen.
 
::'''Beispiel:''' Der Kandidat hat zufällig Tür 2 mit dem Hauptgewinn gewählt. Der Moderator öffnet nun zufällig Tür 1 oder 3.
 
 
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel1.jpg]]
 
 
:*2. Fall Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.
 
::'''Beispiel 2:''' Das Auto steht hinter Tür 1. Der Kandidat wählt Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen.
 
 
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel2.jpg]]}}
 
 
{{Lösung versteckt|:Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemModerator.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.4|Löse nun das „Ziegenproblem“. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}}
 
Lösungshinweis: {{versteckt|Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt.}}
 
 
{{Lösung versteckt|*Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemohneWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math>
 
 
 
*Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemmitWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}</math>
 
 
 
*<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;&nbsp;auf&nbsp;&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;&nbsp; !!!
}}
 
 
----
 
 
Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?
 
Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler '''„Number of doors“''' weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.
 
Würdest du '''jetzt''' wecheln???
 
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
 
 
Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
 
 
Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren:
{{Rechtsklick Fenster}}{{wpde|Ziegenproblem|Das Ziegenproblem}}
 
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Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt.
 
<colorize>Herzlichen Glückwunsch!</colorize>
 
[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner|→ zurück zur Übersicht!]]

Version vom 7. September 2009, 08:13 Uhr

Das „Ziegenproblem“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!


Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?

Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt



Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?

Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.

Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.

Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen



Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!


Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.


Vorlage:Aufgaben-M

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von


BaumZiegenproblemAuto.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von


BaumZiegenproblemKandidat.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt


Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:


BaumZiegenproblemModerator.jpg


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweis: Vorlage:Versteckt


  • Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:


ZiegenproblemohneWechsel.jpg



  • Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:


ZiegenproblemmitWechsel.jpg



  • Fazit: Wenn man die Türe wechselt verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von     auf     !!!



Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.

Würdest du jetzt wecheln???

Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen


Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt


Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren: Vorlage:Rechtsklick FensterDas ZiegenproblemWikipedia-logo.png


Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt.

Herzlichen Glückwunsch!

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