Überlegung zur Wendestelle beim logistischen Wachstum

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Wir benötigen wenigstens die zweite Ableitung von f:

f(t)=\frac{G}{1+a \cdot e^{-Gkt}}

\!\ f'(t) = k \cdot  f(t) \cdot (G-f(t))

(gemäß Ansatz s.o.; alternativ erhält man natürlich das gleiche Ergebnis, wenn man f "ordentlich" ableitet).

f''(t)= k\left( f'(t) \cdot (G-f(t))-f(t) \cdot f'(t)\right)

\!\ =k \cdot f'(t) \cdot (G-2 \cdot f(t))

f''(t_w)=0 \Leftrightarrow G=2 \cdot f(t_w)\Leftrightarrow f(t_w)=\frac{G}{2}

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle tw ergibt sich also nur dann, wenn der Funktionswert \frac{G}{2} ist.