Herleitung Logistisches Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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f'(t) = k* f(t)*(G-f(t))<math>\Rightarrow</math>  
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f'(t) = k\cdot  f(t)\cdot (G-f(t))<math>\Rightarrow</math>  
  
 
<math>\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k</math>    ''(Separation)''
 
<math>\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k</math>    ''(Separation)''
  
 
''(Partialbruchzerlegung)''
 
''(Partialbruchzerlegung)''
<math>\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}</math><math>\Rightarrow</math> f'(t)=f(t)(B-A)+A*G<math>\Rightarrow</math>
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<math>\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}</math><math>\Rightarrow</math> f'(t)=f(t)(B-A)+A\cdot G<math>\Rightarrow</math>
  
 
<math>A=B=\frac{f'(t)}{G}</math>  
 
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<math>\frac{f'(t)}{G*f(t)} +\frac{f'(t)}{G*(G-f(t)} =k</math><math>\Rightarrow</math>
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<math>\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k*t+C\Rightarrow</math>  
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<math>\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k\cdott+C\Rightarrow</math>  
  
 
ln(f(t))-ln(G-f(t))=G\cdot k\cdot t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
 
ln(f(t))-ln(G-f(t))=G\cdot k\cdot t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
  
<math>ln\frac{f(t)}{G-f(t)}</math>=G*k*t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
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<math>ln\frac{f(t)}{G-f(t)}</math>=G\cdotk\cdott+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
  
<math>\frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt}*C_2\Rightarrow</math>
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<math>\frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt}\cdotC_2\Rightarrow</math>
  
<math>f(t)=e^{Gkt}*C_2*G-e^{Gkt}*C_2*f(t)\Rightarrow  
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<math>f(t)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG-e^{Gkt}\cdotC_2\cdotf(t)\Rightarrow  
  
f(t)+e^{Gkt}*C_2*f(t)=e^{Gkt}*C_2*G\Rightarrow </math>
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f(t)+e^{Gkt}\cdotC_2\cdotf(t)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG\Rightarrow </math>
  
  
<math>f(t)(1+e^{Gkt}*C_2)=e^{Gkt}*C_2*G\Rightarrow</math>
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<math>f(t)(1+e^{Gkt}\cdotC_2)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG\Rightarrow</math>
  
<math>f(t)=\frac{e^{Gkt}*G*C_2}{1+e^{Gkt}*C_2} =\frac{G}{1+b*e^{-Gkt}}</math>
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<math>f(t)=\frac{e^{Gkt}\cdotG\cdotC_2}{1+e^{Gkt}\cdotC_2} =\frac{G}{1+b\cdote^{-Gkt}}</math>
  
 
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{{pdf|LogistischesWachstum.PDF|Nachfolgend eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. <u>ohne</u> Partialbruchzerlegung; außerdem wurde noch eine motivierende Anwendung angefügt;  }}[http://stormarnschule.lernnetz.de/index.html die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)]
 
{{pdf|LogistischesWachstum.PDF|Nachfolgend eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. <u>ohne</u> Partialbruchzerlegung; außerdem wurde noch eine motivierende Anwendung angefügt;  }}[http://stormarnschule.lernnetz.de/index.html die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)]

Version vom 18. Juni 2011, 13:35 Uhr

f'(t) = k\cdot f(t)\cdot (G-f(t))\Rightarrow

\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k (Separation)

(Partialbruchzerlegung) \frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}\Rightarrow f'(t)=f(t)(B-A)+A\cdot G\Rightarrow

A=B=\frac{f'(t)}{G}

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Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdotf“): \frac{f'(t)}{G\cdotf(t)} +\frac{f'(t)}{G\cdot(G-f(t)} =k \Rightarrow

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdott“): \frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k\cdott+C\Rightarrow


ln(f(t))-ln(G-f(t))=G\cdot k\cdot t+C1\Rightarrow

ln\frac{f(t)}{G-f(t)}=G\cdotk\cdott+C1\Rightarrow

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdotC“): \frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt}\cdotC_2\Rightarrow


Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdotC“): f(t)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG-e^{Gkt}\cdotC_2\cdotf(t)\Rightarrow f(t)+e^{Gkt}\cdotC_2\cdotf(t)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG\Rightarrow


Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdotC“): f(t)(1+e^{Gkt}\cdotC_2)=e^{Gkt}\cdotC_2\cdotG\Rightarrow


Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cdotG“): f(t)=\frac{e^{Gkt}\cdotG\cdotC_2}{1+e^{Gkt}\cdotC_2} =\frac{G}{1+b\cdote^{-Gkt}}



Pdf20.gif Nachfolgend eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. ohne Partialbruchzerlegung; außerdem wurde noch eine motivierende Anwendung angefügt; die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)