Herleitung Logistisches Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k \cdot t+C\Rightarrow</math>  
 
<math>\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k \cdot t+C\Rightarrow</math>  
  
ln(f(t))-ln(G-f(t))=G \cdot  k \cdot  t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
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<math>ln(f(t))-ln(G-f(t))=G \cdot  k \cdot  t+C_1\Rightarrow</math>
  
 
<math>ln\frac{f(t)}{G-f(t)}</math>=G \cdot k \cdot t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>
 
<math>ln\frac{f(t)}{G-f(t)}</math>=G \cdot k \cdot t+C<sub>1</sub><math>\Rightarrow</math>

Version vom 18. Juni 2011, 13:45 Uhr

 f'(t) = k \cdot  f(t) \cdot (G-f(t))\Rightarrow

\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k (Separation)

(Partialbruchzerlegung) \frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}\Rightarrow

f'(t)=f(t)(B-A)+A\cdot G\Rightarrow

A=B=\frac{f'(t)}{G}

(Jetzt beide Seiten integrieren)

\frac{f'(t)}{G \cdot f(t)} +\frac{f'(t)}{G \cdot (G-f(t)} =k\Rightarrow

\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k \cdot t+C\Rightarrow

ln(f(t))-ln(G-f(t))=G \cdot  k \cdot  t+C_1\Rightarrow

ln\frac{f(t)}{G-f(t)}=G \cdot k \cdot t+C1\Rightarrow

\frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt} \cdot C_2\Rightarrow

f(t)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G-e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot f(t)\Rightarrow 

f(t)+e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot f(t)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G\Rightarrow


f(t)(1+e^{Gkt} \cdot C_2)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G\Rightarrow

f(t)=\frac{e^{Gkt} \cdot G \cdot C_2}{1+e^{Gkt} \cdot C_2} =\frac{G}{1+b \cdot e^{-Gkt}}


Pdf20.gif Nachfolgend eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. ohne Partialbruchzerlegung; außerdem wurde noch eine motivierende Anwendung angefügt; die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)