Herleitung Logistisches Wachstum

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f'(t) = k* f(t)*(G-f(t))\Rightarrow

\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k (Separation)

(Partialbruchzerlegung) \frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}\Rightarrow f'(t)=f(t)(B-A)+A*G\Rightarrow

A=B=\frac{f'(t)}{G}

(Jetzt beide Seiten integrieren)

\frac{f'(t)}{G*f(t)} +\frac{f'(t)}{G*(G-f(t)} =k\Rightarrow

\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k*t+C\Rightarrow

ln(f(t))-ln(G-f(t))=G*k*t+C1\Rightarrow

ln\frac{f(t)}{G-f(t)}=G*k*t+C1\Rightarrow

\frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt}*C_2\Rightarrow