Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Aufgabe 2, Lösung verbessert)
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K (Aufgabe 3, Lösung verbessert)
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Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br />
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br />
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br />
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br />
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart <math>f(x) = x^n.</math><br />Hat man aber eine Potenzfunktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> sowohl monoton fallend als auch monoton steigend. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man <math>f</math> auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, auf dem sie streng monoton ist, dann ist sie dort umkehrbar und hat die Umkehrfunktion <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart <math>f(x) = x^n.</math><br />Hat man aber eine Potenzfunktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man <math>f</math> auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }}
}}
}}



Version vom 28. März 2009, 20:57 Uhr


Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
für


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .

ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:

Vertauschen von und ergibt schließlich die gesuchte Funktion: .

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Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .

Auflösen nach ergibt:

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Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und !

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit .

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*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

*: freiwillig


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*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)

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Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

mit zusammengesetzt.

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Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.
Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen?
Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?

Maehnrot.jpg Und nun gehts zum Abschlusstest

Datei:Pfeil.gif   Hier geht es weiter.