Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion und Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion: Unterschied zwischen den Seiten

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==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>==
==Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion==
Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe. <br>
Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> zu einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math> bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies zu umständlich bzw. im allgemeinen Fall zu schwierig für einen Grundkurs ist. <br>
Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen. <br>
Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen <math>f(x)</math> die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen. <br>
Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet. <br>
Anhand der gefundenen Funktionen <math>F(x)</math> sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken. <br>
{{Aufgaben-M|6|
Aber nun zur Aufgabe:
# Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>.
{{Aufgaben-M|8|
# Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben.
In unterem Geogebra-Applet siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> in blau gezeichnet und denjenigen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion in rot. <br>
Gib nun die Funktionsvorschrift einer neuen Funktion <math>f(x)</math> in der Eingabezeile des Geogebra-Applets ein, der Graph der neuen Flächeninhaltsfunktion wird automatisch gezeichnet und die Funktionsvorschrift angezeigt. <br>
Notiere Dir so lange in einer tabellarischen Gegenüberstellung die Funktionsterme von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> bis Du einen Zusammenhang erkennst. Welchen?
# <math>f(x) = 7x</math>
# <math>f(x) = 3x^5 + 4</math>
# <math>f(x) = x^2 - 3x + 2</math>
# <math>f(x) = 8</math>
# <math>f(x) = 0</math>
# <math>f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 2</math>
# Denke Dir weitere Funktionen selbst aus!
<br>
TIPP: Wenn Dir die Kommazahlen, die Geogebra anzeigt, Schwierigkeiten bereiten, dann schreibe sie in naheliegende Brüche um!
}}
}}
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<div align="center">
<div align="center">
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="flaechen_fkt.ggb" />
<ggb_applet height="450" width="550" useLocalJar="true" showResetIcon="true" showAlgebraInput="true" filename="stammfkt_ermitteln.ggb" />
</div>
</div>
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
<math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br>
# <math>F(x) = \frac{7}{2} \ x^2</math>
An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist.
# <math>F(x) = \frac{1}{2} \ x^6 + 4x</math>
}}}}
# <math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3 - \frac{3}{2} \ x^2 + 2 x</math>
<br>
# <math>F(x) = 8 x</math>
{{Aufgaben-M|7|
# <math>F(x) = 0</math>
Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!
# <math>F(x) = \frac{1}{5} \ x^5 - \frac{3}{4} \ x^4 + \frac{2}{3} \ x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2 x</math>
}}
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<div align="center">
Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist jeweils gleich der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math>. Es gilt: <math>F \ '(x)= f(x)</math>.
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="integral_wert.ggb" />
</div>
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br>
<math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
}}}}
}}}}
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Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende
{{Frage|
Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?
}}
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[[Mathematik-digital/Integral/Bestimmtes Integral|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Mathematik-digital/Integral/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion|>>Weiter>>]]
[[Benutzer:Dickesen/Integral6|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral7|>>Weiter>>]]
</div>
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{{Navigation Lernpfad Integral}}
{{Kastendesign1|
BORDER = cornflowerblue|
BACKGROUND = cornflowerblue|
BREITE =100%|
INHALT=
[[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral|Einführendes Beispiel]] &nbsp; &#124;  &nbsp;[[Benutzer:Dickesen/Integral2|Vorüberlegungen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral3|Ober- und Untersumme]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral4|Flächen bestimmen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral5|Bestimmtes Integral]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral6|Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral7|Stammfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral8|Aufgaben]] &nbsp; &#124; &nbsp;
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ÜBERSCHRIFT=<div align="center">Navigation</div>|
}}

Version vom 21. November 2009, 09:14 Uhr

Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion zu einer gegebenen Funktion bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies zu umständlich bzw. im allgemeinen Fall zu schwierig für einen Grundkurs ist.
Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen.
Anhand der gefundenen Funktionen sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von und jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken.
Aber nun zur Aufgabe: Vorlage:Aufgaben-M

GeoGebra


Vorlage:Lösung





Vorlage:Kastendesign1

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