Chaos und Fraktale und Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
;Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Links klickst.}}


== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
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Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node3.htm hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.


Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.
===1. Das Flächenproblem===
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
===2. Unter- und Obersumme===
[[bild:Integral1.png|right]]
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
**Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
**Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
**Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
**[[Einführung in die Integralrechnung|Lösung]]
*Zusammmenfassung im [[Media:Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt 1]]
*[[Media:Infini_AB2.pdf|Aufgaben zur Berechnung bestimmter Integrale]]
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra


=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
=== 3. Negative Fläche? ===
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"] (s. Arbeitsblatt 3)
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]?


=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
=== 4. Integralfunktion ===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html Applet] auch den Winkel:
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das [[Media:Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt 4]].
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?


=== Farne ===
===5. Aufgaben===
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]  
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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=== Weitere Informationen ===
===6. Hauptsatz der Integralrechnung ===
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
Anwendungen<br>
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]


== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
Maria Eirich und Andrea Schellmann,  14.09.2006
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf2|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2}}
*{{pdf2|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]


== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
[[Kategorie:Mathematik]]
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter}}
*{{Sierpinski_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]
Maria Eirich und Andrea Schellmann, 21.07.2006

Version vom 26. Januar 2007, 21:56 Uhr

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In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.


1. Das Flächenproblem

2. Unter- und Obersumme

Integral1.png

3. Negative Fläche?

4. Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt 4.

5. Aufgaben

6. Hauptsatz der Integralrechnung

Maria Eirich und Andrea Schellmann,  14.09.2006