Einführung in die Integralrechnung und Quadratische Funktionen/Kapitel 3: Die Normalform "f(x) = x² + bx + c": Unterschied zwischen den Seiten

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Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Main>Michael Schober
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung)
 
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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''</big>
{{Babel-2|Lernpfad|M-digital}}


__NOTOC__
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.


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'''In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''


===1. Das Flächenproblem===
*'''Von der Scheitelpunkts- zur Normalform'''
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
*'''Von der Normal- zur Scheitelpunktsform'''
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
}}
===2. Unter- und Obersumme===
[[bild:Integral1.png|right]]
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
**Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
**Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
**Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
**[[Einführung in die Integralrechnung|Lösung]]
*Zusammmenfassung im [[Media:Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt 1]]
*[[Media:Infini_AB2.pdf|Aufgaben zur Berechnung bestimmter Integrale]]
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra


=== 3. Negative Fläche? ===
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"] (s. Arbeitsblatt 3)
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]


=== 4. Integralfunktion ===
Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.  
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das [[Media:Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt 4]].


===5. Aufgaben===
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]


===6. Hauptsatz der Integralrechnung ===
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]


  Maria Eirich und Andrea Schellmann,  14.09.2006
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform'''</u></big></div>  
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Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der '''Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' und der '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''.
 
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
<br>
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<big>'''Aufgabe:'''</big>
 
Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5" gegeben.
Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br>
auf die Form "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gebracht werden.
 
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|  || <u>  </u> || <u>  Von der Scheitelpunktsform zur Normalform  </u> 
|-
| 1. || y<math>=</math>  || [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br> 
|-
| 2. || y<math>=</math> || <strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br> 
|-
| 3. || y<math>=</math> || <strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>
|-
| 4. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> - 8x + 21 </strong> <br>
|-
| 5. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>
|}
</div>
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{{Merke|
Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
}}
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> 
 
 
Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!
 
In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat.
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.
 
Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.
 
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.
 
Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.<br>
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'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|  || <u> Verfahren  </u> || <u>  Beispiel  </u> 
|-
| 1. || Normalform der Parabel:  || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>
|-
| 2. || Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>
|-
| 3. || Quadratische Ergänzung: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>
|-
| 4. || Scheitelpunktsform: || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> ||
|-
| 5. || Scheitelkoordinaten: || <strong> S[-3; 2] </strong>
|}
</div>
 
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{{Merke|
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".<br>
}}
 
 
Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
 
 
 
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
 
Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet. 
 
 
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2  || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2 || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> ||
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15 || f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10 || <math>S(-5\!\,|\!\,-10)</math> ||
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 6x || f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9 || <math>S(-3\!\,|\!\,-9)</math> ||
|}
</div>
 
 
 
Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die '''Scheitelpunkts-''' und '''Normalform'''. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>
Aber siehe selbst!! <br>

Version vom 10. September 2009, 09:36 Uhr

Vorlage:Lernpfad-M


Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform f(x) x2 + bx + c. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.



STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform



Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" und der Normalform "f(x) x2 + bx + c".

Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!


Aufgabe:

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) (x - 4)2 + 5" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) x2 + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform
1. y [x - xs]2 + ys
2. y [x - 4]2 + 5
3. y [x2 - 8x + 16] + 5
4. y x2 - 8x + 21
5. y x2 + bx + c















Merke

Die Normalform "f(x) x2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.



STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform


Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Bei der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

Verfahren Beispiel
1. Normalform der Parabel: y x2 + 6x + 11
2. Vergleich mit a2 + 2ab + b2: y x2 + 2 x 3 + 11
3. Quadratische Ergänzung: y x2 + 6x + 32 - 32 + 11
4. Scheitelpunktsform: y [x + 3]2 + 2
5. Scheitelkoordinaten: S[-3; 2]














Merke

Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) x2 + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys".


Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!


Aufgabe: Zuordnung - Gruppe

Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.


f(x) = x2 - 2x - 2 f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 3
f(x) = x2 + 10x + 15 f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 10
f(x) = x2 + 6x f(x) = x2 + 6x + 32 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 9


Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die Scheitelpunkts- und Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.
Aber siehe selbst!!

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