Quadratische Funktionen/Kapitel 3: Die Normalform "f(x) = x² + bx + c" und Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''</big>
__NOTOC__
{{Box|Lernpfad
=== Lernziele - Was lernst du in diesem Lernpfad? ===
In diesem Lernpfad lernst du den Begriff der Wahrscheinlichkeit kennen und wie man bestimmen kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Situationen eintreffen.


Dazu wirst du lernen, was ein Zufallsexperiment ist und du wirst die dazugehörigen Begriffe Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge kennenlernen.


'''In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
Im Anschluss wirst du erfahren, was man unter einem Laplace-Experiment versteht, das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von großer Bedeutung ist.
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}


*'''Von der Scheitelpunkts- zur Normalform'''
{{Vorlage:Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung}}
*'''Von der Normal- zur Scheitelpunktsform'''
}}


===Bevor es los geht: Die Checkliste===
Um den Lernpfad erfolgreich bearbeiten zu können, gibt es hier eine [https://wiki.zum.de/images/d/d7/Kompetenzratser_lernpfad.pdf '''Checkliste'''].


Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.  
Fülle nach dem Bearbeiten des jeweiligen Abschnitts aus, wie sicher du dich bei den genannten Kompetenzen fühlst. Du findest auch Übungsaufgaben, die zu den genannten Kompetenzen passen, so dass du schauen kannst, welche Aufgabentypen darunter fallen.


Vergleiche nach dem Abschlusstest, wie gut deine Selbsteinschätzung gewesen ist und wiederhole nochmal alle Themen, bei denen Unsicherheiten aufgetreten sind.




=== Für die Lehrkräfte: Didaktischer Kommentar ===
Um zu erfahren, wie der Lernpfad am besten im Unterricht eingesetzt werden kann, und welche Themen behandelt und Kompetenzen gefördert werden, steht der folgende diaktische Kommentar zum Download bereit:
{{pdf|Handout für Lehrkräfte.pdf|Didaktischer Kommentar}}


<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform'''</u></big></div> 
<br>
<br>
Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der '''Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' und der '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''.


Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
=== Fragen, Anregungen, Wünsche? ===
<br>
Wenn ihr Fragen, Lob, Kritik oder Verbesserungsvorschläge für den Lernpfad habt, dann könnt ihr gerne eine E-Mail senden an: lernpfad.stochastik@mail.de
<br>
<br>
<big>'''Aufgabe:'''</big>


Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5" gegeben.
Vielen Dank!
Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br>
auf die Form "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gebracht werden.


Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
[[Kategorie:Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung|!]]
 
[[Kategorie:Lernpfad]]
<div class="lueckentext-quiz">
[[Kategorie:Mathematik]]
{|
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
|-
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
|  || <u>  </u> || <u>  Von der Scheitelpunktsform zur Normalform  </u> 
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
|-
| 1. || y<math>=</math>  || [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br> 
|-
| 2. || y<math>=</math>  || <strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br> 
|-
| 3. || y<math>=</math> || <strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>
|-
| 4. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> - 8x + 21 </strong> <br>
|-
| 5. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
{{Merke|
Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
}}
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> 
 
 
Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!
 
In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat.
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.
 
Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.
 
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.
 
Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.<br>
<br>
 
'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|  || <u> Verfahren  </u> || <u>  Beispiel  </u> 
|-
| 1. || Normalform der Parabel:  || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>
|-
| 2. || Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>
|-
| 3. || Quadratische Ergänzung: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>
|-
| 4. || Scheitelpunktsform: || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> ||
|-
| 5. || Scheitelkoordinaten: || <strong> S[-3; 2] </strong>
|}
</div>
 
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
{{Merke|
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".<br>
}}
 
 
Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
 
 
 
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
 
Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet. 
 
 
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2  || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2 || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> ||
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15 || f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10 || <math>S(-5\!\,|\!\,-10)</math> ||
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 6x || f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9 || <math>S(-3\!\,|\!\,-9)</math> ||
|}
</div>
 
 
 
Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die '''Scheitelpunkts-''' und '''Normalform'''. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>
Aber siehe selbst!! <br>

Version vom 10. Dezember 2018, 13:08 Uhr


Lernpfad

Lernziele - Was lernst du in diesem Lernpfad?

In diesem Lernpfad lernst du den Begriff der Wahrscheinlichkeit kennen und wie man bestimmen kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Situationen eintreffen.

Dazu wirst du lernen, was ein Zufallsexperiment ist und du wirst die dazugehörigen Begriffe Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge kennenlernen.

Im Anschluss wirst du erfahren, was man unter einem Laplace-Experiment versteht, das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von großer Bedeutung ist.

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Bevor es los geht: Die Checkliste

Um den Lernpfad erfolgreich bearbeiten zu können, gibt es hier eine Checkliste.

Fülle nach dem Bearbeiten des jeweiligen Abschnitts aus, wie sicher du dich bei den genannten Kompetenzen fühlst. Du findest auch Übungsaufgaben, die zu den genannten Kompetenzen passen, so dass du schauen kannst, welche Aufgabentypen darunter fallen.

Vergleiche nach dem Abschlusstest, wie gut deine Selbsteinschätzung gewesen ist und wiederhole nochmal alle Themen, bei denen Unsicherheiten aufgetreten sind.


Für die Lehrkräfte: Didaktischer Kommentar

Um zu erfahren, wie der Lernpfad am besten im Unterricht eingesetzt werden kann, und welche Themen behandelt und Kompetenzen gefördert werden, steht der folgende diaktische Kommentar zum Download bereit: Pdf20.gif Didaktischer Kommentar


Fragen, Anregungen, Wünsche?

Wenn ihr Fragen, Lob, Kritik oder Verbesserungsvorschläge für den Lernpfad habt, dann könnt ihr gerne eine E-Mail senden an: lernpfad.stochastik@mail.de

Vielen Dank!