Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen und Einführung von Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
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==='''Funktionen''' – was ist das eigentlich genau?===
Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher Zusammenhänge.
Beispiele dafür sind: Der Zusammenhang zwischen zwei Größen wird gesucht, auch wenn die beiden Größen nicht ursächlich für einander sind. So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist natürlich ursächlich für das Körpergewicht. 
Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit Funktionen sehr genau beschreiben und erstellen kann.




 
Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen:
 
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
 
:::[[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>
 
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:


:::{| class="wikitable float left"
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Seitenlänge!! style="width:7em" |Fläche
! style="width:7em" |Körpergröße!! style="width:7em" |Gewicht
|-
|-
| style="text-align:center" |1 cm|| style="text-align:center" |1 cm<sup>2</sup>
| style="text-align:center" |154 cm|| style="text-align:center" |51 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |2 cm|| style="text-align:center" |4 cm<sup>2</sup>
| style="text-align:center" |158 cm|| style="text-align:center" |58 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |3 cm|| style="text-align:center" |9 cm<sup>2</sup>
| style="text-align:center" |161 cm|| style="text-align:center" |57 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |4 cm|| style="text-align:center" |16 cm<sup>2</sup>
| style="text-align:center" |172 cm|| style="text-align:center" |65 kg
|}
 
Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
 
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |x!! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
|-
|-
| style="text-align:center" |1|| style="text-align:center" |1
| style="text-align:center" |178 cm|| style="text-align:center" |70 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |2|| style="text-align:center" |4
| style="text-align:center" |183 cm|| style="text-align:center" |78 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |3|| style="text-align:center" |9
| style="text-align:center" |187 cm|| style="text-align:center" |90 kg
|-
|-
| style="text-align:center" |4|| style="text-align:center" |16
| style="text-align:center" |193 cm|| style="text-align:center" |89 kg
|}
|}


===Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?===
Um nun die Funktion sichtbar zu machen können wir die Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen.
[[Datei:Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png|rahmenlos]]
 
Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, wird nach dem Eintragen der Wertepaare ein Graph durch die Punkte gelegt. Eine Funktion kann auch nur eine Annäherung an die Wertepaare sein. In unserem Beispiel sieht man, dass man eine gerade durchlegen kann und somit eine Annäherung erhält.
[[Datei:Geogebra-export (2).png|rahmenlos]]
 
 
 
 
===Nun sollst du das Erstellen von Wertetabellen und das Erstellen von Funktionen durch Wertepaare im Koordinatensystem üben.===
<div class="box arbeitsmethode">
<div class="box arbeitsmethode">


==Aufgabe 1==
==Aufgabe 1==


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]].
'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Heft!''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]].


'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
In der folgenden Tabelle sind die Besucherzahlen eines Freibades während einer Woche dargestellt. 1 = Montag, 2 = Dienstag, 3 = Mittwoch...
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.
'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in dein Heft
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. Zeichne einen Graphen der jeden Punkt berührt.  
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |x!! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
! style="width:7em" |Wochentag!! style="width:7em" |Besucheranzahl
|-
|-
| style="text-align:center" |1|| style="text-align:center" |1
| style="text-align:center" |1|| style="text-align:center" |340
|-
|-
| style="text-align:center" |2|| style="text-align:center" |4
| style="text-align:center" |2|| style="text-align:center" |430
|-
|-
| style="text-align:center" |3|| style="text-align:center" |9
| style="text-align:center" |3|| style="text-align:center" |412
|-
|-
| style="text-align:center" |4|| style="text-align:center" |16
| style="text-align:center" |4|| style="text-align:center" |680
|-
| style="text-align:center" |5|| style="text-align:center" |25
|-
| style="text-align:center" |6|| style="text-align:center" |55
|-
| style="text-align:center" |7|| style="text-align:center" |578
|}
|}
Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Lucio, Merle und Fabian anzeigen|Lösungen verbergen}}
</div>


Dein Helfer Ben der Pinguin hat die Aufgabe 1 auch erledigt. Vergleiche deine Lösung mit ihm!
[[Datei:Penguin-158551.png|rahmenlos|32x32px]]


{{Box| |Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?|Hervorhebung1}}
{{Lösung versteckt|


 
[[Datei:Kurve Aufgabe 1 Agnes.png|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Ben anzeigen|Lösungen verbergen}}
{{Box|Aufgabe 2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|80px]].
</div>
 
Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?
 
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
{{Lösung versteckt|Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.
 
Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.
Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode}}
 
 
===Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:===
 
Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.




{{Box|Aufgabe 3|
==Aufgabe 2==


'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.|Arbeitsmethode}}
==[[Datei:Ruled paper note with pin.svg|32x32px]] Merke!==


Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt:" Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."


{{Box|Merke|
* Der Term


::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>


:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.|3=Merksatz}}


{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform}}
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform}}

Version vom 25. März 2020, 11:24 Uhr

Vorlage:Einführung in die Funktionen

Funktionen – was ist das eigentlich genau?

Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher Zusammenhänge. Beispiele dafür sind: Der Zusammenhang zwischen zwei Größen wird gesucht, auch wenn die beiden Größen nicht ursächlich für einander sind. So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist natürlich ursächlich für das Körpergewicht. Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit Funktionen sehr genau beschreiben und erstellen kann.


Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen:

Körpergröße Gewicht
154 cm 51 kg
158 cm 58 kg
161 cm 57 kg
172 cm 65 kg
178 cm 70 kg
183 cm 78 kg
187 cm 90 kg
193 cm 89 kg

Um nun die Funktion sichtbar zu machen können wir die Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen. Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png

Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, wird nach dem Eintragen der Wertepaare ein Graph durch die Punkte gelegt. Eine Funktion kann auch nur eine Annäherung an die Wertepaare sein. In unserem Beispiel sieht man, dass man eine gerade durchlegen kann und somit eine Annäherung erhält. Geogebra-export (2).png



Nun sollst du das Erstellen von Wertetabellen und das Erstellen von Funktionen durch Wertepaare im Koordinatensystem üben.

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du dein Heft! Notepad-117597.svg.

In der folgenden Tabelle sind die Besucherzahlen eines Freibades während einer Woche dargestellt. 1 = Montag, 2 = Dienstag, 3 = Mittwoch... a) Übernimm die Werte aus der Tabelle in dein Heft b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. Zeichne einen Graphen der jeden Punkt berührt.

Wochentag Besucheranzahl
1 340
2 430
3 412
4 680
5 25
6 55
7 578

Dein Helfer Ben der Pinguin hat die Aufgabe 1 auch erledigt. Vergleiche deine Lösung mit ihm! Penguin-158551.png


Lösungen


Aufgabe 2

Datei:Ruled paper note with pin.svg Merke!

Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt:" Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."



Die Parameter der Scheitelpunktform


Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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