Quadratische Funktionen erkunden/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform

Umformen von Termen

Äquivalente Terme

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der grün markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b1=b2=b) Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.

<popup name="Lösung">

1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A₁ (b)= 2b•4-2b

2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A₂ (b)= 3•2b

Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind gleichwertig.

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Erklärung:

Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.

Rechengesetze:

• Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:

a+b = b+a

a•b = b•a

• Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:

a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c

a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c

• Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:

a•(b+c) = a•b+a•c

für alle rationalen Zahlen a, b, c (a$\neq$ 0) gilt:

(b+c):a = b:a+c:a

Beispiel:

T(a;b)= 3a+(7b+2a)

^(KG)= 3a+(2a+7b)

^(AG)= (3a+2a)+7b

= 5a+7b

Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:

a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)

b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b

c)T(a;b)= (3+5•x)•x

<popup name="Lösung"> a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)

^(KG)= 7a+(6a+9b)

^(AG)= (7a+6a)+9b

= 13a+9b

b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b

^(KG)= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b

^(AG)=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b

= 6ab+20ab

= 26ab

c)T(a;b)= (3+5•x)•x

^(DG)= 3•x+5•x•x

= 3x+5x²

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Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder

Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:

• 5•x+3•x=

• 5•x-3•x=

<popup name="Lösung">

• 5•x+3•x= 8•x=8x

• 5•x-3•x= 2•x= 2x

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Erklärung:

Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x+n•x=(m+n)•x

Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:

m•x-n•x=(m-n)•x

Beispiel

T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2 Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:

• T(z)= 8•z²-7+3•z+(4•z²+2•z²)-2z
• T(n)= 2,2•n+2,8•n²-0,25+ $\left[ n(2.7+0,3n)\right]$
• T(a;b)= 4a²-2a+3b+2-8b²+a(2b+9)

<popup name="Lösung">

• T(z)= 8•z²-7+3•z+(4•z²+2•z²)-2z =

= 8z²-7+3z+6z²-2z =

= 8z²+6z²+3z-2z-7 =

= 14z²+z-7

• T(n)= 2,2•n+2,8•n²-0,25+ $\left[ n(2.7+0,3n)\right]$ =

= 2,2n+2,8n²-0,25+ $\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]$ =

= 2,2n+2,8n²-0,25+2,7n+0,3n² =

= 2,8n²+0,3n²+2,2n+2,7n-0,25 =

= 3,1n²+4,9n-0,25

• T(a;b)= 4a²-2a+3b+2-8b²+a(2b+9) =

= 4a²-2a+3b+2-8b²+2ab+9a =

= 4a²-2a+9a+2ab-8b²+3b+2 =

= 4a²+7a+2ab-8b²+3b+2

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Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl

Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.

T(x)= (3•a)•2 <popup name="Lösung"> T(x)= (3•a)•2=

^(AG) = 3•(a•2) =

^(KG) = 3•(2•a) =

^(AG) = (3•2)•a =

= 6•a

= 6a

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Erklärung:

Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man einen der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.

(4•a)•3 = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (4•3)•a = 12•a = 12a

Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.

T(a)= (14•a):2 <popup name="Lösung"> T(a)= (14•a):2=

= $\frac{14*a}{2}$

= $\frac{7*a}{1}$

= 7•a

= 7a

</popup>

Erklärung:

Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert.

(9•a):3 = $\frac{9*a}{3}$ = $\frac{3*a}{1}$ = 3 •a = 3a

Beispiel

Forme möglichst einfache Terme:

• (-6n):2
• 24•0,5b
• 2m•6
• 25y:(-0,1)
• $\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3$
• (2y+5y-6y)•2

<popup name="Lösung">

• (-6n):2= $\frac{-6n}{2}$ = $\frac{-3n}{1}$ = -3n
• 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
• 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
• 25y:(-0,1)= $\frac{25y}{-0,1}$ = $\frac{-250y}{1}$ = -250y
• $\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3$ = $\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3$ = $\left( \frac{4x}{12}\right) :3$ = $\left( \frac{x}{3}\right) :3$ = $\frac{x}{3} *\frac{1}{3}$ = $\frac{x}{9}$
• (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y

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Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Prüfe, ob die Terme äquivalent sind

1:

T₁ (x)= 5x-2x+6x

T₂ (x)= 2•x•2+5x (äquivalent) (!nicht äquivalent)

2 :

T₁ (y)= 4y-3•4y+15

T₂ (y)= 3•5+2y-4y-6y

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

3:

T₁ (y;z)= 2y-3+z

T₂ (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

4:

T₁ (z)= 4•$\frac{3}{2}$ -2z

T₂ (z)= 6+8z-5•20%-z•9

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

5:

T₁ (r)= 3r-2³ r+5-r

T₂ (r)= 3•r•2 (!äquivalent) (nicht äquivalent)

Aufgabe 2:

Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h_c verdreifacht? <popup name="Lösung"> A = $\frac{1}{2}$•c•h_c
A _neu = $\frac{1}{2}$•2•c•3•h_c = $\frac{1}{2}$•c•h_c•2•6 = $\frac{1}{2}$•c•h_c•6 = A•6 = 6A

Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.

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Aufgabe 3:

Wie ändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Länge verdoppelt, die Breite vervierfacht un die Höhe halbiert? <popup name="Lösung"> V = l•b•h
V_neu = 2•l•4•b• $\frac{1}{2}$ •h = 2•4•$\frac{1}{2}$•l•b•h = 4•l•b•h
Das Volumen des Quaders vervierfacht sich.

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Aufgabe 4:

Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.

ursprünglicher Term	3x+2x2-x+3x2	7x+x	x3-x2+2x3	x•x•x	x+x-2x	x-2x	x+x+3x2
1.Vorschlag	5x2+2x [S]	7x2 [E]	x+2x3 [H]	x3 [T]	0 [Z]	-x [E]	3x4 [?]
2.Vorschlag	6x4-3x2 [F]	8x [P]	3x3-x2 [I]	3x [L]	x2-2x [E]	-2x2 [R]	2x+3x2 [!]

Lösungswort: SPITZE!

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