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| {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Erdbeben und Logarithmus}}}} | | <onlyinclude><includeonly>{{Lösung versteckt|1={{{1}}}|2={{{2}}}|3={{{3|{{{2}}}}}}}}</includeonly></onlyinclude> |
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| {{Box|Info: Einstieg|
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| Wir haben nun den <u>'''Logarithmus'''</u> aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der <u>'''Magnitude'''</u>.
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| Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom <u>'''dekadischen Logarithmus'''</u> ('''<math>\lg</math>'''). '''<math>M</math>''' bezeichnet die <u>'''Richter-'''</u> oder <u>'''Lokal-Magnitude'''</u> und '''<math>A</math>''' den <u>'''Maximalausschlag'''</u> eines Seismometers nach Wood und Anderson.
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| |Kurzinfo}}
| | <nowiki>{{Aufdecken|Inhalt|Überschrift}}</nowiki> |
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| {{Box|1=Merke: Definition der Richter-Magnitude|2= | | {{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Überschrift|3=Überschrift}} |
| | </noinclude> |
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| Die <u>'''Richter-Magnitude'''</u> oder <u>'''Lokal-Magnitude'''</u> ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:
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| <blockquote>''In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist
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| <br />
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| <center><math>M = \lg A, </math></center>
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| <br />
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| wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref></blockquote>
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| <br />
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| '''Wie kann man den Maximalausschlag <math>A</math> in <math>100 \ km</math> Entfernung in Mikrometer berechnen, wenn man die Lokal-Magnitude kennt?'''
| | Diese Vorlage dient dazu ganze Seitenabschnitte in einer zuerst zusammegefalteten Überschrift einzufügen die sich auf Klick ausfalten. |
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| {{Lösung versteckt|
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| <center><math>A = 10^{M}</math></center>}}
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| <br />
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| '''Warum kommt eine Steigerung der Lokal-Magnitude um eine Einheit einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich?'''
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| {{Lösung versteckt|
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| <center><math>10^{M+1} = 10 \cdot 10^{M}</math> bzw.</center>
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| <center><math>M+1 = \lg A + 1 = \lg A + \lg 10 = \lg (A \cdot 10).</math></center>}}
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| <br />
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| Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie (<math>E</math>) hängt exponentiell von <math>M</math> ab:
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| <center><math>E \approx k \cdot 10^{\frac{3M}{2}}</math> mit <math>k \approx 6 \cdot 10^{4} Joule.</math></center>
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| <br />
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| Somit ist sie näherungsweise proportional zu <math>A^{\frac{3}{2}}</math> und somit zu
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| <br />
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| <center><math>10^{\frac{3M}{2}}=(10^{\frac{3}{2}})^{M} \approx 32^{M}.</math></center>
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| <br />
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| Steigt die Lokal-Magnitude um <math>1</math>, entspricht das also einer <u>'''Ver-32-fachung'''</u> der freigesetzten Energiemenge. Die Magnitude wird aus diesem Grund auch <u>'''logarithmisches Maß'''</u> genannt.<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
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| |3=Merksatz}}
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| {{Box|1=Aufgabe 15|
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| 2=<u>'''Logarithmische Skalen'''</u>
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| # Lies dir die obige Info zum Thema Richter-Magnitude genau durch.
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| # Nimm den '''Arbeitsplan (Aufgabe 15: Logarithmische Skalen)''' zur Hand. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
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| # Versuche, die folgenden Fragen durch eigene Überlegungen und Recherche im Internet stichwortartig am '''Arbeitsplan''' zu beantworten.
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| ## ''Warum ist die Verwendung des Logarithmus bei der Richter-Skala sinnvoll?''
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| ## ''Wie kann man eine logarithmische Skala allgemein beschreiben?''
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| ## ''Wo werden Logarithmen bzw. logarithmische Skalen neben der Erdbebenthematik noch angewendet?''
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| # Erstelle mit den eben gesammelten Informationen über logarithmische Skalen eine '''SmartArt-Grafik''' in '''Microsoft Word''' (Falls du noch nie so etwas erstellt hast, klicke [https://support.microsoft.com/de-de/topic/erstellen-einer-smartart-grafik-fac94c93-500b-4a0a-97af-124040594842 hier]!). Das Layout kannst du selber wählen, deiner Kreativität sind keine Grenzen gesetzt.
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| # Drucke die '''SmartArt-Grafik''' aus und klebe sie auf den '''Arbeitsplan''' zur entsprechenden Aufgabe.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Lösung: Aufgabe 15|
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <u>Zu 1.</u>: Die Richter-Skala liefert ein Beispiel für die Nützlichkeit des Logarithmus. Erdbeben können sowohl sehr kleine als auch extrem große Ausmaße annehmen. Würde man beispielsweise den Ausschlag <math>A</math> für die Angabe der Stärke verwenden, hätte man große Unterschiede zwischen den einzelnen Werten. Daher ist die Anwendung des Logarithmus in diesem Fall sinnvoll.<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
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| <u>Zu 2.</u>: Möchte man sehr kleine zusammen mit sehr großen Daten übersichtlich darstellen, werden oft logarithmische Skalen gebraucht. Dabei werden nicht die Ausgangszahlen angegeben, sondern ihre Logarithmen. Bei einer logarithmischen Skala wird ein Wert <math>x</math> immer im Abstand <math>\left\vert \log_{a} x \right\vert</math> vom Anfangspunkt aufgetragen. Verwendet man beispielsweise den dekadischen Logarithmus, so unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Werte um den Faktor <math>10</math>. Gleiche Abstände geben also jeweils gleiche Faktoren zwischen den Werten wieder.<ref>Barzel, B., Glade, M. & Klinger, M. (2021). ''Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch''. Berlin: Springer Berlin und Springer Spektrum.</ref>
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| <u>Zu 3.</u>: Logarithmen treten neben der Richter-Skala in weiteren Anwendungen auf. Der pH-Wert, der den sauren oder basischen
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| Charakter einer wässrigen Lösung angibt, der Schalldruckpegel eines Geräuschs, Sternhelligkeiten in der Astronomie oder Wellenlängen des Spektrums werden in logarithmischen Skalen gemessen.<ref>Neher, M. (2018). ''Anschauliche höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler''. Wiesbaden: Springer Vieweg.</ref>
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| |2=Lösungserwartung anzeigen|3=Lösungserwartung verbergen}}
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| |Lösung}}
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| {{Box|1=Aufgabe 16|
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| 2=<u>'''Richter-Skala A'''</u>
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| Beantworte die folgenden Fragen mithilfe der Fähigkeiten, die du bis jetzt erworben hast. Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 16: Richter-Skala A)''' hast du Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
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| <br />
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">
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| '''a)''' Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in <math>100 \ km</math> Entfernung gemessenen) Ausschlag von <math>0,1 \ mm \ (= 100 \ \mu m)</math> verursacht?
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| '''b)''' Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in <math>100 \ km</math> Entfernung gemessenen) Ausschlag von <math>0,5 \ mm \ (= 500 \ \mu m)</math> verursacht?
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| '''c)''' Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke <math>3</math> in <math>100 \ km</math> Entfernung?
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| '''d)''' Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke <math>5,5</math> in <math>100 \ km</math> Entfernung?
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| '''e)''' Gibt es Beben mit negativer Magnitude? (Diskutiere diese Frage mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler! <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>)
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| ''Die Fragen und Antworten stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
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| </div>
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| <div class="width-1-2">
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| {{Lösung versteckt|
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| '''a)''' <math>M = \lg 100 = 2</math>
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| '''b)''' <math>M = \lg 500 \approx 2,70</math>
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| '''c)''' <math>10^{3} \mu m = 1 000 \ \mu m = 1 \ mm</math>
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| '''d)''' <math>10^{5,5} \mu m = 316 227,766 \ \mu m \approx 316,23 \ mm</math>
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| '''e)''' Ja, das sind die Beben bzw. Bodenbewegungen, die einen kleineren Ausschlag als <math>1 \ \mu m</math> verursachen.}}
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| </div>
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| </div>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Merke: Erweiterung der Definition der Richter-Magnitude|2=
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| Richter definiert die Magnitude mittels Maximalausschlag in einer Entfernung von <math>100 \ km</math> vom Epizentrum. In der Realität ist es jedoch nur selten der Fall, dass sich genau in dieser Entfernung ein Seismometer befindet. Darum muss der Ausschlag in Abhängigkeit von der Entfernung zum Epizentrum angegeben und durch einen Ausgleichswert dividiert werden. Die Lokal-Magnitude wird somit üblicherweise mit der Formel
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| <br />
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| <center><math>M = \lg \biggl( \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \biggr)</math></center>
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| <br />
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| berechnet. <math>A(d)</math> bezeichnet den Maximalausschlag in der Entfernung <math>d</math> vom Epizentrum des Erdbebens. <math>A_{0}(d)</math> steht für den Maximalausschlag verursacht von einem Beben der Magnitude <math>0</math> in Entfernung <math>d</math>. Diese Funktion wird im Vorhinein regionenspezifisch bestimmt und steht im Fall eines Erdbebens für die Berechnung der Magnitude zur Verfügung.<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
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| |3=Merksatz}}
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| {{Box|1=Aufgabe 17|
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| 2=<u>'''Richter-Skala B'''</u>
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| Beantworte die folgenden Fragen gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler. <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>
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| <br />
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| Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 17: Richter-Skala B)''' habt ihr Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
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| <br />
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">
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| '''a)''' Wie groß ist <math>A_{0}(100 \ km)</math>?
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| '''b)''' Für eine bestimmte Region sei <math>A_{0}(d) = 10^{0,3 \Bigl( 1 - \frac{d}{100 \ km} \Bigr) }</math>. Nun ereignet sich ein Beben, das in <math>300 \ km</math> Entfernung zu einem Ausschlag von <math>1 \ cm \ (= 10^{4} \mu m)</math> führt. Wie groß ist die Magnitude?
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| '''c)''' Für eine bestimmte Region sei <math>A_{0}(d) = 10^{0,3 \Bigl( 1 - \frac{d}{100 \ km} \Bigr) }</math>. Nun ereignet sich ein Beben der Magnitude <math>5,2</math>. Wie groß ist der Seismometer-Ausschlag in <math>200 \ km</math> Entfernung vom Epizentrum?
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| '''d)''' Zwei Erdbeben ereignen sich mit dem gleichen Epizentrum. In <math>250 \ km</math> Entfernung ist der vom ersten Beben verursachte Ausschlag doppelt so groß wie der vom zweiten verursachte Ausschlag.
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| <br />
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| '''(1)''' In welchem Verhältnis stehen die Ausschläge der beiden Beben in einer Entfernung von <math>500 \ km</math>?
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| <br />
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| '''(2)''' Was lässt sich über die Magnituden der beiden Beben sagen?
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| ''Die Fragen und Antworten stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
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| </div>
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| <div class="width-1-2">
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| {{Lösung versteckt|
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| '''a)''' <math>M = 0 \Rightarrow 10^0 = 1</math>. Der Ausschlag beträgt <math>1 \ \mu m</math>.
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| '''b)''' <math>M = \lg \biggl( \frac{A(300 \ km)}{A_{0}(300 \ km)} \biggr) = \lg \biggl( \frac{10^{4}}{10^{0,3(1-3)}} \biggr) = 4,6</math>
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| '''c)''' <math>M = \lg \biggl( \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \biggr) \Leftrightarrow 10^{M} = \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \Leftrightarrow</math>
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| <math>A(d) = 10^{M} \cdot A_{0}(d)</math>,
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| <br />
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| <math>A(200 \ km) = 10^{5,2} \cdot A_{0}(200 \ km) = 10^{5,2} \cdot 10^{0,3(1-2)} =</math>
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| <math>10^{5,2 - 0,3} \approx 8 \cdot 10^{4} \mu m = 8 \ cm</math>.
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| '''d)'''
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| <br />
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| '''(1)''' Die Ausschläge stehen im gleichen Verhältnis wie bei der Entfernung von <math>250 \ km</math> (siehe '''(2)''').
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| <br />
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| '''(2)''' Wir wissen bereits, dass <math>A(d) = 10^{M} \cdot A_{0}(d)</math>. Für das erste Beben ist <math>A_{1}(d) = 10^{M_{1}} \cdot A_{0}(d)</math> und für das zweite Beben ist <math>A_{2}(d) = 10^{M_{2}} \cdot A_{0}(d)</math>. Der vom ersten Beben verursachte Ausschlag ist doppelt so groß wie der vom zweiten: <math>A_{1}(d) = 2 \cdot A_{2}(d)</math>. Somit folgt unabhängig von <math>d</math>, dass <math>2 = \frac{A_{1}(d)}{A_{2}(d)} = \frac{10^{M_{1}} \cdot A_{0}(d)}{10^{M_{2}} \cdot A_{0}(d)} = 10^{M_{1} - M_{2}}</math>. Daher ist <math>M_{1} - M_{2} = \lg 2 \approx 0,30</math>. Die Magnitude des ersten Bebens ist um <math>0,3</math> größer als jene des zweiten.
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| <br />
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| Ist ein Beben in einer bestimmten Entfernung – gemessen am verursachten Ausschlag – um einen bestimmten Faktor stärker als ein anderes mit dem gleichen Epizentrum, so gilt dies für jede Entfernung!
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| }}
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| </div>
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| </div>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Merke: Weitere Skalen|2=
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| Die Magnitude bzw. die freigesetzte Energiemenge ist nicht zwingend eine aussagekräftige Größe für die Zerstörung infolge eines Erdbebens. Faktoren wie die Beschaffenheit des Bodens, die Besiedlungsdichte oder die Verwundbarkeit (Vulnerabilität) der Bevölkerung beeinflussen die Auswirkungen an der Erdoberfläche. Es wurden daher weitere Skalen entwickelt, welche Erdbeben nach ihrer Zerstörungswirkung klassifizieren. Diese nennt man <u>'''Intensitätsskalen'''</u>. Die <u>'''Mercalli-Skala'''</u> oder die <u>'''Europäische Makroseismische Skala'''</u> sind Beispiele davon.<ref>Glaser, R., Hauter, C., Faust, D., Glawion, R., Saurer, H., Schulte, A. & Sudhaus, D. (2010). ''Physische Geographie kompakt''. Berlin: Springer Spektrum.</ref>
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| Im folgenden Videoausschnitt wir die <u>'''Mercalli-Skala'''</u> kurz vorgestellt:
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| <br/>
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| {{#evt:
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| service=youtube
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| |id=r0hLTNoSozs
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| |urlargs=start=321&end=381
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| |dimensions=800
| |
| |alignment=center
| |
| }}
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| <br/>
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| Du hast noch nicht genug von diesem Thema? Für mehr Infos, klicke hier: [https://www2.klett.de/sixcms/list.php?page=infothek_artikel&extra=TERRA-Online%20/%20Realschule&artikel_id=108160&inhalt=klett71prod_1.c.207177.de Weiterführende Informationen zum Thema Mercalli-Skala]
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| |3=Merksatz}}
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| <br />
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| {{Fortsetzung|weiter=Verhalten bei einem Erdbeben|weiterlink=Erdbeben und Logarithmus/Verhalten bei einem Erdbeben|vorher=Der Logarithmus|vorherlink=Erdbeben und Logarithmus/Der Logarithmus}}
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| Erstellt von: [[Benutzer:Lisa.birglechner|Lisa Birglechner]]
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| <references />
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:Geographie]]
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| [[Kategorie:Lernpfad]]
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| [[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
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