Potenzfunktionen - 1. Stufe und Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Seiten
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Main>Hans-Georg Weigand Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Hans-Georg Weigand Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Gerade Potenzen === | === Gerade Potenzen === | ||
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | ||
{| cellspacing="10" | {| cellspacing="10" | ||
|- style="vertical-align:top;" | |- style="vertical-align:top;" | ||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | ||
# Beschreibe | # Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | ||
#* Symmetrie | #* Symmetrie | ||
#* Monotonie | #* Monotonie | ||
#* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | ||
HINWEIS: | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.! | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.! | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | ||
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | :{{Lösung versteckt| | ||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k^n</math>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | }}<br> | ||
|| <ggb_applet height=" | || <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename=" | filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" /> | ||
|} | |} | ||
=== Ungerade Potenzen === | === Ungerade Potenzen === | ||
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | ||
{| <!--class="prettytable sortable" --> | {| <!--class="prettytable sortable" --> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height=" | | <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename=" | filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" /> | ||
|| | || | ||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | ||
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | # Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | ||
* Symmetrie | #* Symmetrie | ||
* Monotonie | #* Monotonie | ||
* größte und kleinste Funktionswerte | #* größte und kleinste Funktionswerte | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.! | ||
}} | }} | ||
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=== Teste dein Wissen === | === Teste dein Wissen === | ||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2; | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\frac{1}{16})</math> | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch Q( | # Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q \left( 0,5;8 \right)</math>? | ||
:{{Lösung versteckt| | |||
# Die Lösung ist <math>n=4</math>, dann gilt nämlich <math>f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}</math>. | |||
# Die Lösung ist <math>n=3</math>, dann gilt nämlich <math>f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8</math> | |||
}} | |||
}} | }} | ||
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == | == Die Graphen von f(x) = a*x<sup>-n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == | ||
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | ||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | {| <!--class="prettytable sortable"--> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | ||
# Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a | # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a | # Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | ||
}} | }} | ||
|| <ggb_applet height=" | || <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename=" | filename="4_ax_minus_n.ggb" /> | ||
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{| <!--class="prettytable sortable"--> | {| <!--class="prettytable sortable"--> | ||
|- | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height=" | | <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename=" | filename="4_ax_minus_n_test.ggb" /> | ||
|| | || | ||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | ||
Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a | Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math>, n eine natürliche Zahl | ||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1 | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben. | ||
# Bestimme a und n so, .... | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
}} | :{{Lösung versteckt| | ||
# <math>a = 2, n = 1</math>. | |||
# Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.}} | |||
}}<br> | |||
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Version vom 24. Januar 2009, 18:08 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a*x-n, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
