Rechnen mit Quadratwurzeln und Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter: Unterschied zwischen den Seiten

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
|{{Lernpfad-M|[[Bild:Titel_Wurzelrechnung.jpg|470px|middle]]
[[Trigonometrische_Funktionen 2|Einführung]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Station 1: Einfluss der Parameter]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen|Anwendungen]]
</div>
 
 
===FAQ===
[[Trigonometrische_Funktionen 2/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
 
 


'''Übungslernpfad zur Wiederholen und Vertiefen des Rechnens mit Quadratwurzeln'''
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
*'''Zeitbedarf:
'''Kompetenzen'''
*'''Material:''' Arbeitsblatt
&nbsp;{{versteckt|
*'''Hinweis:'''  Konzeption für Intensivierungsstunden
:#Auf dieser Seite lernst du welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben.
:#Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion.
:#Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen.
}}
}}
</div>
<br>
<br>
<br>
===Einfluss der Parameter===
{|
|
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von <math>\ a,b,c</math> und <math>\ d</math> anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
||{{#ev:youtube|NcVt-bFxu04|150}}
|}
|}


----
[[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Einteilung_in_ABC-Expertenteams|Einteilung in ABC-Expertenteams]]
{|
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von <math> \ a </math> !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ b </math>  !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ c </math>  !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ d </math>
|-
|   
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss von a|hier]] den Einfluss von
:<math> \ a </math>
auf die Graphen der Funktionen
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
und
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x  </math>.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss von b|hier]] den Einfluss von
:<math> \ b </math>
auf die Graphen der Funktionen
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
und
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss von c|hier]] den Einfluss von


== Vollständiges Radizieren ==
:<math> \ c </math>  
Die Quadratwurzel '''<math>\sqrt{r}</math>''' aus einer rationalen Zahl ist diejenige, nicht negative Zahl, deren '''Quadrat r''' ergibt.
'''r''' heißt '''Radikant''' der Wurzel.


===Bsp.:===
auf die Graphen der Funktionen
<math>\sqrt{4}=\sqrt{2\cdot 2}=\sqrt{2^2}=2</math>


:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu01.htm Einfach Übung]
und


==Addition und Subtraktion ==
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.
Summen und Differenzen von Quadratwurzeln lassen sich nur dann zusammenfassen, wenn die Radikanten gleich sind.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss von d|hier]] den Einfluss von  


===Bsp.:===
:<math> \ d </math>  
<math> 5 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{5} - 4 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{5} = 9 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2} - 4 \cdot \sqrt{5}</math>


auf die Graphen der Funktionen


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu11.htm 1. Übung zur Addition und Subtraktion]
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu12.htm 2. Übung]
und


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu13.htm 3. Übung]
:<math> x \rightarrow \cos x + d </math>.  
|}
||{{#ev:youtube|sSv2C9v6jPc|150}}
|}


==Multiplikation und Division ==
[[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Einteilung_in_123-Expertenteams|Einteilung in 123-Expertenteams]]
Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt:
<math> \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} </math> für <math> a, b \ge 0 </math>


Für die Division von Quadratwurzeln gilt:
----
<math>\frac {\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} </math> für <math> a \ge 0 \quad und \quad  b>0 </math>


=== Multiplikation===
'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu21.htm 1. Übung zur Multiplikation]


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu22.htm 2. Übung]
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)</math> und <math>\,\!x \rightarrow \cos(x)</math> in dein Heft oder mit Hilfe von diesem [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html Applet] und betrachte sie! Was fällt dir auf?
:[[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Tipp_zum_Zeichnen_ins_Heft|Tipp zum Zeichnen ins Heft]]
}}
||{{#ev:youtube|SQsZVmre3ZI|150}}
|}


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu23.htm 3. Übung]
{|
|
Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu24.htm 4. Übung]
{{Merksatz|MERK=
Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Sinusfunktion</span> lautet


:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>'''&nbsp;</span>.


=== Division ===
Entsprechend lautet die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Kosinusfunktion</span>
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu35.htm Übung zur Division (leicht)]


==Teilweise Radizieren==
:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d </math>'''&nbsp;</span>.
Man kann teilweise Radizieren, wenn sich der Radikant so faktorisieren lässt, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist. Andererseits lässt sich ein positiver Faktor vor der Quadratwurzel durch Quadrieren unter die Wurzel ziehen.


=== Teilweise Radizieren ohne Variablen ===
Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c,d \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a,b\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.}}
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu02.htm 1. Übung]


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu03.htm 2. Übung]
||{{#ev:youtube|NCfr2oh8Kec|150}}
|}


[http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/reellezahlen/wurzel.html 3. Übung mit Auswertung]
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{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.}}
||{{#ev:youtube|nzqgoOyNA6w|150}}
|}


=== Teilweise Radizieren mit Variablen ===
<ggb_applet height="470" width="660" filename="ÜbungSmily_11.ggb" /> <br>
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu04.htm 3. Übung]


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu05.htm 4. Übung]
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
<quiz>
Parameter gesucht! Je einer der Parameter <math> \ a,  b, c </math> und <math>\ d</math> wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!
| type="{}"}
Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls { a } varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.
Variiert man { c }, so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird { d } variiert.
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls { b } variiert wird.
</quiz>}}
||{{#ev:youtube|zQRGPeb47lM|150}}
|}
 
{|
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{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
* In diesem <!-- [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_funerk3.html Applet] --> [http://www.mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 Applet] (Klicke dann dort auf '''Funktionen erkennen 3'''!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest.
* [[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Applet|Memory]]
}}
||{{#ev:youtube|yNkD56kHAE0|150}}
|}
 
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{|
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[[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Lösung_zu_Aufgabe_1|Lösung zu Aufgabe 1]]
 
[[Trigonometrische_Funktionen 2/Einfluss_der_Parameter/Lösung_zu_Aufgabe_3|Lösung zu Aufgabe 3]]
 
----
 
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast! Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe 1 auch ein Hefteintrag "versteckt" ist!
||{{#ev:youtube|vZY8m7O8y1w|150}}
|}


==Rationalmachen des Nenners==
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Erklärung und Übung zum Rationalmachen des Nenners
[http://home.fonline.de/fo0126/algebra/alg52.htm Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 7]
==Teste Dein Können!==
Auf den Seiten des Stark-Verlages kannst Du Dein können individuell testen. Probiere es aus! Wähle Deine Jahrgangsstufe und das entsprechende Thema unter [http://www.stark-verlag.de/wbt/servlet/WBTServlet/wbt?action=TA_Startseite&pageId=-179443253.239027465&component=TestManager&wbt_unit=#currentstep Test des Stark-Verlages]


Weiter geht es mit


{{mitgewirkt|* Petra Bader}}
[[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]]

Version vom 8. Januar 2011, 17:59 Uhr


FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.


Kompetenzen  Vorlage:Versteckt




Einfluss der Parameter

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von und anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.


Einteilung in ABC-Expertenteams

Einfluss von Einfluss von Einfluss von Einfluss von

Untersuche hier den Einfluss von

auf die Graphen der Funktionen

und

.

Untersuche hier den Einfluss von

auf die Graphen der Funktionen

und

.

Untersuche hier den Einfluss von

auf die Graphen der Funktionen

und

.

Untersuche hier den Einfluss von

auf die Graphen der Funktionen

und

.

Einteilung in 123-Expertenteams


Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Vorlage:Arbeiten

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Vorlage:Merksatz

Vorlage:Arbeiten

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten


Lösung zu Aufgabe 1

Lösung zu Aufgabe 3


Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast! Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe 1 auch ein Hefteintrag "versteckt" ist!


Weiter geht es mit

Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr