Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Abschlusstest: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM-Unterrichten
Main>DinRoe
Main>Karl Kirst
K (→‎Aufgabe 2: linkfix)
(37 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 5: Zeile 5:
Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.
Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.


= Abschlusstest =
== Abschlusstest ==


== Aufgabe 1 ==
=== Aufgabe 1 ===
== Aufgabe 2 ==
<div class="zuordnungs-quiz">
In welchen Vorgängen liegt ein Zufallsexperiment vor?
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Multiple-Choice!
Bestimme, ob es sich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente handelt oder nicht.
== Aufgabe 3 ==
{|
Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze (rote, weiße) Kugel zu ziehen?
|-
|Zufallsexperiment || Eine Karte aus einem Kartenstapel ziehen || Wettervorhersage || Glücksrad drehen || Eine Person befragen, welche Partei sie wählen wird
|-
| kein Zufallsexperiment || Hütchenspielen || Testen wann Wasser zu kochen beginnt
|-
 
|}
</div>
 
Thema der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsexperiment Zufallsexperiment]
 
=== Aufgabe 2 ===
Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...
 
:a) eine schwarze Kugel zu ziehen?
 
:b) keine rote Kugel zu ziehen?
 
:c) eine rote oder weiße Kugel zu ziehen?




<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%
:a) P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%


P("rote Kugel") = 0,2093 => 20,93%
:b) P("keine rote Kugel") = 0,7907 => 79,07%


P("weiße Kugel") = 0,0349 => 3,49%
:c) P("weiße oder rote Kugel") = 0,2442 => 24,42%
</popup>
</popup>


== Aufgabe 4 ==
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 3 ===
Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:
Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:
:a) Die Zahl ist ungerade
:a) Die Zahl ist ungerade
Zeile 64: Zeile 84:
P(D) = 0,1951 => 19,51%
P(D) = 0,1951 => 19,51%
</popup>
</popup>
Themen der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis Ereignisse] und [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Laplace Experiment|Laplace-Experiment]]


== Aufgabe 5 ==
=== Aufgabe 4 ===
In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.
In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.
:a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?
:a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?
Zeile 82: Zeile 103:
</popup>
</popup>


== Aufgabe 6 ==
Thema der Aufgabe: [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Laplace Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 5 ===
Ein nicht fairer Würfel mit den Augenzahlen 1-4 hat bei 500 Testdurchläufen folgende Daten geliefert:
 
{| class="wikitable"
|-
! Augenzahl!! Eins !! Zwei !! Drei !! Vier
|-
| Anzahl || 152 || 49 || 190 || 109
|}
 
Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
 
:a) Wie häufig fällt die Augenzahl 3?
 
:b) Wie häufig fällt eine gerade Augenzahl?


:c) Wie wahrscheinlich ist es, dass nicht die 1 fällt?


<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
4+3=7
:a) P(A) = 0,38 => 38%
 
:b) P(B) = 0,396 => 39,6%
 
:c) P(C) = 0,696 => 69,6%
</popup>
</popup>
== Aufgabe 7 ==
 
Bei einer Tombola liegt die Wahrscheinlichkeit etwas zu gewinnen bei 25 %. Ein Hauptgewinn hat eine Wahrscheinlichkeit von P("Hauptgewinn") = <math>\frac{1}{50}</math>. Welche Wahrscheinlichkeit haben die restlichen Gewinne?
Thema der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit Gesetz der großen Zahlen]
 
=== Aufgabe 6 ===
Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
:a) A: Es handelt sich um ein „E“.
:b) B: Es handelt sich um einen Konsonanten.
:c) C: Es handelt sich um einen Vokal.




<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
P("restliche Gewinne") = 0,23 => 23%
:a) P(A) = 0,1176
 
:b) P(B) = 0,647
 
:c) P(C) = 0,3529
</popup>
</popup>


== Aufgabe 8 ==
Thema der Aufgabe: [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Laplace Experiment|Laplace-Experiment]]
Gib zu den folgenden Zufallsexperimenten die Ergebnismenge an:  
 
=== Aufgabe 7 ===
In einem Würfelspielt steht folgende Spielregel: "Man werfe zwei Würfel und bilde die größtmögliche Zahl aus den beiden Augenzahlen" (Beispiel: Wenn man eine 2 und eine 4 würfelt, ist das die Zahl 42)
 
:a) Gib den Ergebnisraum für dieses Spiel an.
 
:b) Gib folgende Ereignismengen an:
::1) A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
::2) B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.
::3) D: Die Zahl ist größer als 50.




<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
4+3=7
:a) <math>\Omega</math> = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 52, 62, 33, 43, 53, 63, 44, 54, 64, 55, 65, 66}
 
:b)
::1) A = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
::2) B = {41, 42, 43, 44, 54, 64}
::3) C = {53, 54, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 66}
</popup>
</popup>
== Aufgabe 9 ==
 
In einem Hut befinden sich 100 Lose. Davon sind 30 kleine Gewinne, 10 große Gewinne und 2 Hauptgewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, etwas zu gewinnen?
Themen der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ergebnis_und_Ergebnismenge Ergebnisraum] und [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis Ereignisse]
 
=== Aufgabe 8 ===
Eine Klassenarbeit in Mathematik hat den folgenden Notenspiegel:
{| class="wikitable"
|-
| Eins || Zwei || Drei || Vier || Fünf || Sechs
|-
| 2 || 6 || 9 || 7 || 3 || 1
|}
 
:a)Wie wahrscheinlich ist es eine Zwei zu haben?
 
:b) Wie wahrscheinlich ist es durchgefallen zu sein?
 
:c) Wie wahrscheinlich ist es, dass man die Note 3 oder besser geschrieben hat?
 
:d) Wie viele Schülerinnen und Schüler hätten eine 2 schreiben müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine 2 bei P(„Die Note 2“) = 0,25 liegt?




<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
P("Gewinn") = 0,42 => 42%
:a) P("Note Zwei") = 0,214 => 21,4%
 
:b) P("durchgefallen") = 0,143 => 14,3%
 
:c) P("Note 3 oder besser") = 0,607 => 60,7%
 
:d) Es hätten 7 SchülerInnen die Note 2 schreiben müssen.
</popup>
</popup>
Thema der Aufgabe: [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Laplace Experiment|Laplace-Experiment]]
=== Aufgabe 9 ===
Im Sommer 2009 gab es in Berlin folgende Zahlen an Schulabgängern:
{| class="wikitable"
|-
| Gesamtzahl || mit allgemeiner Hochschulreife || mit mittlerem Schulabschluss || Hauptschulabschluss || ohne Schulabschluss
|-
| 24 600 || 11 600 || 6 400 || 4 500 || 2 100
|}
Berechne die Wahrscheinlichkeit...


== Aufgabe 10 ==
:a) dass ein Schulabgänger im Jahr 2009 mit mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.


:b) dass ein Schüler mit allgemeiner Hochschulreife oder mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
:c) dass ein Schüler mit Schulabschluss von der Schule gegangen ist.


<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
4+3=7
:a) P("mittlerer Schulabschluss") = 0,2602 => 26,02%
 
:b) P("Hochschuleife oder mittlerer Schulabschluss") = 0,7317 => 73,17%
 
:c) P("Schulabschluss") = 0,9146 => 91,46%
</popup>
</popup>
== Aufgabe 11 ==
Themen der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit Gesetz der großen Zahlen] und [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis Ereignisse]
 
=== Aufgabe 10 ===
Ein Glücksrad ist in 12 gleichgroße Sektoren eingeteilt, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Das Glücksrad wird einmal gedreht.
 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man...
 
a) eine Zahl, die größer 10 oder kleiner als 3 ist?


b) eine Primzahl?
c) eine Zahl, die durch 4 teilbar ist?


<popup name="Lösung">
4+3=7
</popup>
== Aufgabe 12 ==
Zwei Würfel werden geworfen und es wird anschließend die Summe der Augenzahlen notiert.
:a) Gib den Ergebnisraum Ω für dieses Experiment an.
:b) Warum ist dies kein Laplace-Experiment?




Zeile 132: Zeile 244:
'''Lösung für a):'''
'''Lösung für a):'''


= {2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
P(A) = 0,33


'''Lösung für b):'''
'''Lösung für b):'''
Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Ergebnisse aus der Ergebnismenge nicht gleichwahrscheinlich sind.


So hat die Augensumme 2 nur eine Kombination der Würfel, die dazu führt (beide Würfel zeigen eine 1). Daher gilt:
P(B) = 0,4167


P("Augensumme 2") = <math>\frac{1}{36} = 0,0278</math> => 2,78%
'''Lösung für c):'''


Die Augensumme 3 hat schon zwei mögliche Kombinationen, die zu dem Ergebnis führt (erster Würfel zeigt 1 und zweiter Würfel zeigt 2 | Erster Würfel zeigt 2 und zweiter Würfel zeigt 1)
P(C) = 0,25
</popup>
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]


P("Augensumme 3") = <math>\frac{2}{36} = 0,0556</math> => 5,56%
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 
[[Kategorie:Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
=> Daher handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment
</popup>

Version vom 21. Januar 2018, 23:46 Uhr

Du bist nun am Ende des Lernpfades zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung angekommen.

Um dein Wissen über Wahrscheinlichkeiten zu testen, bearbeite alle Aufgaben des folgenden Abschlusstest, der durchmischt Aufgaben zu allen Themen dieses Lernpfades erhält.

Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.

Abschlusstest

Aufgabe 1

Zuordnung
Bestimme, ob es sich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente handelt oder nicht.

Zufallsexperiment Eine Karte aus einem Kartenstapel ziehen Wettervorhersage Glücksrad drehen Eine Person befragen, welche Partei sie wählen wird
kein Zufallsexperiment Hütchenspielen Testen wann Wasser zu kochen beginnt

Thema der Aufgabe: Zufallsexperiment

Aufgabe 2

Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

a) eine schwarze Kugel zu ziehen?
b) keine rote Kugel zu ziehen?
c) eine rote oder weiße Kugel zu ziehen?


<popup name="Lösung">

a) P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%
b) P("keine rote Kugel") = 0,7907 => 79,07%
c) P("weiße oder rote Kugel") = 0,2442 => 24,42%

</popup>

Thema der Aufgabe: Laplace-Experiment

Aufgabe 3

Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:

a) Die Zahl ist ungerade
b) Die Zahl ist durch 4 teilbar
c) Die Zahl ist eine Primzahl und gerade
d) Die Zahl enthält die Ziffer 5


<popup name="Lösung"> Lösung für a):

A: Eine ungerade Zahl wird gezogen

A = {13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53}

P(A) = 0,5122 => 51,22%

Lösung für b):

B: Eine Zahl wird gezogen, die durch 4 teilbar ist

B = {16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52}

P(B) = 0,2439 => 24,39%

Lösung für c):

C: Eine Zahl wird gezogen, die Primzahl ist und gerade

C = { }

P(C) = 0

Lösung für d):

D: Die Zahl die gezogen wird, enthält die Ziffer 5

D = {15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53}

P(D) = 0,1951 => 19,51% </popup> Themen der Aufgabe: Ereignisse und Laplace-Experiment

Aufgabe 4

In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.

a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im vierten Zug die rote zu ziehen, wenn die drei zuvor gezogenen Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden?


<popup name="Lösung"> Lösung für a):

P("rote Kugel ziehen") = 0,125 => 12,5%

Lösung für b):

P("rote Kugel ziehen") = 0,0833 => 8,33% </popup>

Thema der Aufgabe: Laplace-Experiment

Aufgabe 5

Ein nicht fairer Würfel mit den Augenzahlen 1-4 hat bei 500 Testdurchläufen folgende Daten geliefert:

Augenzahl Eins Zwei Drei Vier
Anzahl 152 49 190 109

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) Wie häufig fällt die Augenzahl 3?
b) Wie häufig fällt eine gerade Augenzahl?
c) Wie wahrscheinlich ist es, dass nicht die 1 fällt?

<popup name="Lösung">

a) P(A) = 0,38 => 38%
b) P(B) = 0,396 => 39,6%
c) P(C) = 0,696 => 69,6%

</popup>

Thema der Aufgabe: Gesetz der großen Zahlen

Aufgabe 6

Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) A: Es handelt sich um ein „E“.
b) B: Es handelt sich um einen Konsonanten.
c) C: Es handelt sich um einen Vokal.


<popup name="Lösung">

a) P(A) = 0,1176
b) P(B) = 0,647
c) P(C) = 0,3529

</popup>

Thema der Aufgabe: Laplace-Experiment

Aufgabe 7

In einem Würfelspielt steht folgende Spielregel: "Man werfe zwei Würfel und bilde die größtmögliche Zahl aus den beiden Augenzahlen" (Beispiel: Wenn man eine 2 und eine 4 würfelt, ist das die Zahl 42)

a) Gib den Ergebnisraum für dieses Spiel an.
b) Gib folgende Ereignismengen an:
1) A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
2) B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.
3) D: Die Zahl ist größer als 50.


<popup name="Lösung">

a) = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 52, 62, 33, 43, 53, 63, 44, 54, 64, 55, 65, 66}
b)
1) A = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
2) B = {41, 42, 43, 44, 54, 64}
3) C = {53, 54, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 66}

</popup>

Themen der Aufgabe: Ergebnisraum und Ereignisse

Aufgabe 8

Eine Klassenarbeit in Mathematik hat den folgenden Notenspiegel:

Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs
2 6 9 7 3 1
a)Wie wahrscheinlich ist es eine Zwei zu haben?
b) Wie wahrscheinlich ist es durchgefallen zu sein?
c) Wie wahrscheinlich ist es, dass man die Note 3 oder besser geschrieben hat?
d) Wie viele Schülerinnen und Schüler hätten eine 2 schreiben müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine 2 bei P(„Die Note 2“) = 0,25 liegt?


<popup name="Lösung">

a) P("Note Zwei") = 0,214 => 21,4%
b) P("durchgefallen") = 0,143 => 14,3%
c) P("Note 3 oder besser") = 0,607 => 60,7%
d) Es hätten 7 SchülerInnen die Note 2 schreiben müssen.

</popup> Thema der Aufgabe: Laplace-Experiment

Aufgabe 9

Im Sommer 2009 gab es in Berlin folgende Zahlen an Schulabgängern:

Gesamtzahl mit allgemeiner Hochschulreife mit mittlerem Schulabschluss Hauptschulabschluss ohne Schulabschluss
24 600 11 600 6 400 4 500 2 100

Berechne die Wahrscheinlichkeit...

a) dass ein Schulabgänger im Jahr 2009 mit mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
b) dass ein Schüler mit allgemeiner Hochschulreife oder mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
c) dass ein Schüler mit Schulabschluss von der Schule gegangen ist.

<popup name="Lösung">

a) P("mittlerer Schulabschluss") = 0,2602 => 26,02%
b) P("Hochschuleife oder mittlerer Schulabschluss") = 0,7317 => 73,17%
c) P("Schulabschluss") = 0,9146 => 91,46%

</popup> Themen der Aufgabe: Gesetz der großen Zahlen und Ereignisse

Aufgabe 10

Ein Glücksrad ist in 12 gleichgroße Sektoren eingeteilt, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Das Glücksrad wird einmal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man...

a) eine Zahl, die größer 10 oder kleiner als 3 ist?

b) eine Primzahl?

c) eine Zahl, die durch 4 teilbar ist?


<popup name="Lösung"> Lösung für a):

P(A) = 0,33

Lösung für b):

P(B) = 0,4167

Lösung für c):

P(C) = 0,25 </popup> Thema der Aufgabe: Laplace-Experiment