A4

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. Aufgabe a) bearbeitet von--Tws98OB (Diskussion) 20:56, 11. Dez. 2015 (CET)

Funktion und Ableitungen

Abituraufgabe 4

f_t(x)=ln(x^2+t)

f_t'(x)=\frac{2x}{x^2+t}

f_t''=\frac{2(x^2+t)-(2x\cdot 2x)}{(x^2+t)^2}

=\frac{2(x^2+t-2x^2)}{(x^2+t)^2}

=\frac{2(-x^2+t)}{(x^2+t)^2}


Symmetrie

f_t(-x)=ln((-x)^2+t)=f(x)=> Achsentymmetrisch

f_t(-x)=ln((-x)^2+t) \neq -f_t(x)=> Nicht Punktsymmetrisch


Nullstellen

f_t(x)=0

ln(x^2+t)=0

x^2+t=0

x=^+_- \sqrt{t}


Extremstellen

f_t'(x)=0

\frac{2x}{x^2+t}=0

2x=0

x=0

Hoch- oder Tiefpunkt

f_t''(x)=0

=\frac{2(0+t)}{(0+t)^2}

=\frac{2}{t} >0 => Tiefpunkt


T(0|ln(t))


Wendepunkt

. Aufgabe bearbeitet von:

. Aufgabe c) bearbeitet von: --Tws98OB (Diskussion) 11:25, 12. Dez. 2015 (CET)

f_4(x)=ln(x^2+4)

Grenzen:ln(8);ln(4)

Abituraufgabe 4 c)


y=ln(x^2+4)

e^y=x^2+4

e^y-4=x^2

\sqrt{e^y-4}

f^{-1}(x)=\sqrt{e^x-4}


V=\pi \int_{ln(4)}^{ln(8)}(\sqrt{e^x-4})^2dx

=\pi \int_{ln(4)}^{ln(8)}(e^x-4)dx

=\pi [e^x-4x]_{ln(4)}^{ln(8)}

=\pi(e^{ln(8)}-4 \cdot ln(8)-(e^{ln(4)}-4 \cdot ln(4)))

=\pi(8-4 \cdot ln(8)-4+4 \cdot ln(4))

=3,856

3,856 \cdot 5^3 "Eine Längeneinheit entsprechen 5 cm"

=482