Zweite Kursarbeit

.Aufgabe bearbeitet von: --Deeka98OB 22:51, 11. Dez. 2015 (CET)

$f(x)= \frac{2}{1+e^{-x}}$

$a.) Symmetrie$

Prüfen auf Achsensymmetrie:

$f(x)=f(-x)$

$f(-x)= \frac{2}{1+e^{x} } \neq f(x)$
Prüfen auf Punktsymmetrie:

$f(-x)=-f(x)$

$-f(x)=\frac{-2}{1+e^{x}} \neq f(-x)$

daraus folgt: weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch

$b.) Grenzwertverhalten$
$\lim_{x\to \infty} \frac{2}{1+e^{-x}}=0$
$\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{1+e^{-x}}=2$

$c.) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, da die Funktion den Grenzwert 0 hat und der y-Wert somit niemals 0 werden kann.
$f(0)=\frac{2}{1+e^{0}}=1$ Die Funktion hat einen gemeinsamen Punkt mit der y-Achse: Y(0/1)

$d.) Extrempunkte$

$f'(x)=\frac{0 \cdot(1+e^{-x})+2\cdot e^{-x}}{(1+e^{-x} )^2}= \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x} )^2}$
$f'(x)=0$→ es gibt keine Extrema, da die erste Ableitung hier nicht Null sein kann

$e.) Wendepunkte$

$f''(x)= \frac{-2 e^{-x}((1+ e^{-x})^{2})-2e^{-x}(2(1+e^{-x})\cdot(-e^{x}}{(1+e^{-x})^4}$( mit (1+e^{-x}) kürzen)
$= \frac{-2e^{-x}(1+e^{-x})+4e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}$

$= \frac{-2e^{-x}-2e^{-2x}+4e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}$

$= \frac{-2e^{-x}+2e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}$

$=\frac{2e^{-x}(-1+e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}$

$f''(x)=0$

$0=\frac{2e^{x}(-1+e^{-x}}{(1+e^x)^3}$

$x=0$

Vorzeichenwechselkriterium:
$f''(-1)<0$
$f''(1)>0$
Es gibt einen VZW, dass heißt ein Wendepunkt liegt vor

$W(0/1)$
$f.) Monotonieverhalten$

$f'(x)>0$ also streng monoton steigend
Die Funktion steigt im Wendepunkt W(0/1) am stärksten
$g.)$

X-Wert	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
Y-Wert	0,0359	0,0948	0,2384	0,5378	1	1,4621	1,7615	1,9051	1,964	1,9866

$h.) Definitions-und Wertebereich$

$Df=R$
$Wf=]0;2[$

$i.) Tangentengleichung bei x_{0}=-2$

$t(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$
$=0,209(x+2)+0,238$
$=0,209x+0,656$

.Aufgabe bearbeitet von: --Sinan98OB (Diskussion) 20:43, 15. Dez. 2015 (CET)

a.)

$f(x)=(5- \frac{1}{x} )^3$

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$g(x)=5- \frac{1}{x}$

$g'(x)= \frac{1}{x^2}$

$k(t)= (t)^3$

$k'(t)= 3(t)^2$

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$f'(x)= 3(5- \frac{1}{x} )^2\cdot \frac{1}{x^2}$

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b.)

$f(x)= \sqrt{1+(e^x)^2}$

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$g(x)= {1+(e^{2x})}$

$g'(x)= 2e^{2x}$

$k(t)= \sqrt{t}$

$k'(t)= \frac{1}{2 \sqrt{t} }$

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$f'(x)= \frac{2e^{2x}}{2 \sqrt{1+(e^x)^2} }$

$f'(x)= \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+(e^x)^2} }$

$f'(x)= \frac{e^{2x}\cdot\sqrt{1+(e^x)^2}}{1+(e^x)^2 }$

.Aufgabe bearbeitet von: --Joao99OB (Diskussion) 21:11, 11. Dez. 2015 (CET)

Gegeben: $f(x)=b+\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

$g(x)=b-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

a)
$\pi \int_{-a}^{a}(b+\sqrt{a^{2}-x^{2}})^{2}dx-\pi \int_{-a}^{a}(b-\sqrt{a^{2}-x^{2}})^{2}dx$

$=\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2})dx-\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}-2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2})dx$

$=\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2}-b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a^{2}+x^{2})dx$

$=\pi \int_{-a}^{a}4b \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$

$=4b\cdot \pi \int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$
b) Es handelt sich um einen Torus als Drehkörper, f(x) ist nach unten offen und g(x) ist nach oben offen, die dann durch Rotation einen Rettungsring als Kreisvolumen bildet. Der Parameter a entpricht demnach dem Radius des Kreises und b die Höhe des Kreismittelpunktes. Wird a und b größer, vergrößert sich auch der Rauminhalt. Die beiden Integrale ergeben zusammen einen Kreis, der sich dann durch Rotation zu einem Torus entwickelt.

. Aufgabe bearbeitet von: --Ben99OB (Diskussion) 20:03, 11. Dez. 2015 (CET)

a) Zerfallsfunktion

$f\left( x \right) =4\cdot { 0.95 }^{ t }$

b) Material übrig nach einer Woche

$1Woche=7Tage=168Stunden$

$f(x)=4\cdot { 0.95 }^{ 168 }$

$f(x)=7.23\cdot { 10 }^{ -4 }$

c) Wann ist genau die Hälfte noch übrig?

$\frac { 1 }{ 2 } ={ 0.95 }^{ t }$

$\frac { \log { (\frac { 1 }{ 2 } ) } }{ \log { (0.95) } } =t$

$13.51=t$

.Aufgabe bearbeitet von: --Addie98OB (Diskussion) 19:36, 13. Dez. 2015 (CET)

$n(x) = - \frac{1}{f'( x_{0})} (x- x_{0})+f( x_{0})$

$= - \frac{1}{ \frac{1}{ x_{0} }} (x- x_{0})+ln( x_{0})$

$= - x_{0}(x- x_{0})+ln( x_{0})$

$= -u(x-u)+ln(u)$

$= -ux + u^2+ln(u)$

$0 = -ux + u^2+ln(u)$

$ux = u^2 + ln(u)$

$x = u + \frac{ln(u)}{u}$

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$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

$g = u + \frac{ln(u)}{u} - u = \frac{ln(u)}{u}$

$h = ln(u)$

$A(u) = \frac{1}{2}\cdot \frac{ln(u)}{u} \cdot ln(u) = \frac{1}{2}\cdot \frac{ln^2(u)}{u}$

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$A'(u) = \frac{1}{2}\cdot \frac{2\cdot ln(u) \cdot \frac{1}{u}\cdot u - ln^2(x)\cdot 1}{u^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot ln(u) - ln^2(u)}{u^2}$

$0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot ln(u)-ln(u)^2}{u^2}$

$0 = \frac{2 \cdot ln(u)-ln(u)^2}{u^2}$

$0 = ln(u)\cdot(2-ln(u))$

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1.Möglichkeit:

$ln(u) = 0$

$e^{ln(u)}=e^0$

$u = e^0$

$u = 1$

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2: Möglichkeit:

$2-ln(u) = 0$

$2 = ln(u)$

$e^2 = e^{ln(u)}$

$e^2 = u$

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VZW:

$A'(0,5) < 0$

$A'(1,5) > 0$

$VZW von - zu + \rightarrow Tiefpunkt$

$A'(7) > 0$

$A'(8) < 0$

$VZW von + zu - \rightarrow Hochpunkt$

$f(e^2) = 2$

Im Punkt $P(e^2|2)$ hat das Dreieck den größten Flächeninhalt.

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Maximaler Flächeninhalt:

$x = u + \frac{ln(u)}{u}$

$x = e^2 + \frac{ln(e^2)}{e^2}$

$x = 7,66$

$g = x - u = 7,66 - e^2 = 0,27$

$h = ln(u) = ln(e^2) = 2$

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cdot 0,27 \cdot 2 = 0,27$