Die Zeit des ZUM-Wikis geht zu Ende!

01.09.2021: Das ZUM-Wiki kann nur noch gelesen werden.
Ende 2021: Das ZUM-Wiki wird gelöscht.

Mehr Infos hier.

Zweite Kursarbeit

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
< Europa-Schule Obermayr‎ | 2015-2017 LK M 11.1‎ | Hausaufgabenüberprüfungen, Musterklausuren und Leistungsnachweise 11.1‎ | Leistungsnachweise
Version vom 6. März 2016, 13:08 Uhr von FrauSchütze (Diskussion | Beiträge)

(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zweite Kursarbeit

Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe bearbeitet von: --Deeka98OB 22:51, 11. Dez. 2015 (CET)


f(x)= \frac{2}{1+e^{-x}}

a.) Symmetrie

Prüfen auf Achsensymmetrie:

f(x)=f(-x)

f(-x)= \frac{2}{1+e^{x} }  \neq f(x)
Prüfen auf Punktsymmetrie:

f(-x)=-f(x)

-f(x)=\frac{-2}{1+e^{x}} \neq f(-x)

daraus folgt: weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch

b.) Grenzwertverhalten
\lim_{x\to \infty} \frac{2}{1+e^{-x}}=0
\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{1+e^{-x}}=2

c.) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, da die Funktion den Grenzwert 0 hat und der y-Wert somit niemals 0 werden kann.
f(0)=\frac{2}{1+e^{0}}=1 Die Funktion hat einen gemeinsamen Punkt mit der y-Achse: Y(0/1)

 d.) Extrempunkte

f'(x)=\frac{0 \cdot(1+e^{-x})+2\cdot e^{-x}}{(1+e^{-x} )^2}= \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x} )^2}
f'(x)=0→ es gibt keine Extrema, da die erste Ableitung hier nicht Null sein kann

e.) Wendepunkte

f''(x)= \frac{-2 e^{-x}((1+ e^{-x})^{2})-2e^{-x}(2(1+e^{-x})\cdot(-e^{x}}{(1+e^{-x})^4} ( mit (1+e^{-x}) kürzen)
= \frac{-2e^{-x}(1+e^{-x})+4e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}

= \frac{-2e^{-x}-2e^{-2x}+4e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}

= \frac{-2e^{-x}+2e^{-2x}}{(1+e^{-x})^3}

=\frac{2e^{-x}(-1+e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}


f''(x)=0

0=\frac{2e^{x}(-1+e^{-x}}{(1+e^x)^3}

x=0

Vorzeichenwechselkriterium:
f''(-1)<0
f''(1)>0
Es gibt einen VZW, dass heißt ein Wendepunkt liegt vor

W(0/1)
f.) Monotonieverhalten

f'(x)>0 also streng monoton steigend
Die Funktion steigt im Wendepunkt W(0/1) am stärksten
g.)

X-Wert -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y-Wert 0,0359 0,0948 0,2384 0,5378 1 1,4621 1,7615 1,9051 1,964 1,9866
Mathematik

h.) Definitions-und Wertebereich

Df=R
Wf=]0;2[

i.) Tangentengleichung bei x_{0}=-2

t(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})
=0,209(x+2)+0,238
=0,209x+0,656

.Aufgabe bearbeitet von: --Sinan98OB (Diskussion) 20:43, 15. Dez. 2015 (CET)

a.)

f(x)=(5- \frac{1}{x} )^3

---

g(x)=5- \frac{1}{x}

g'(x)= \frac{1}{x^2}


k(t)= (t)^3

k'(t)= 3(t)^2

---

f'(x)= 3(5- \frac{1}{x} )^2\cdot  \frac{1}{x^2}


b.)

f(x)=   \sqrt{1+(e^x)^2}

---

g(x)=   {1+(e^{2x})}

g'(x)=  2e^{2x}


k(t)=   \sqrt{t}

k'(t)=    \frac{1}{2 \sqrt{t} }

---

f'(x)=    \frac{2e^{2x}}{2 \sqrt{1+(e^x)^2} }

f'(x)=    \frac{e^{2x}}{\sqrt{1+(e^x)^2} }

f'(x)=    \frac{e^{2x}\cdot\sqrt{1+(e^x)^2}}{1+(e^x)^2 }

.Aufgabe bearbeitet von: --Joao99OB (Diskussion) 21:11, 11. Dez. 2015 (CET)


Gegeben: f(x)=b+\sqrt{a^{2}-x^{2}}

g(x)=b-\sqrt{a^{2}-x^{2}}


a)
\pi \int_{-a}^{a}(b+\sqrt{a^{2}-x^{2}})^{2}dx-\pi \int_{-a}^{a}(b-\sqrt{a^{2}-x^{2}})^{2}dx


=\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2})dx-\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}-2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2})dx


=\pi \int_{-a}^{a}(b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}-x^{2}-b^{2}+2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a^{2}+x^{2})dx


=\pi \int_{-a}^{a}4b \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx


=4b\cdot \pi \int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx
b) Es handelt sich um einen Torus als Drehkörper, f(x) ist nach unten offen und g(x) ist nach oben offen, die dann durch Rotation einen Rettungsring als Kreisvolumen bildet. Der Parameter a entpricht demnach dem Radius des Kreises und b die Höhe des Kreismittelpunktes. Wird a und b größer, vergrößert sich auch der Rauminhalt. Die beiden Integrale ergeben zusammen einen Kreis, der sich dann durch Rotation zu einem Torus entwickelt.

. Aufgabe bearbeitet von: --Ben99OB (Diskussion) 20:03, 11. Dez. 2015 (CET)

a) Zerfallsfunktion

f\left( x \right) =4\cdot { 0.95 }^{ t }

b) Material übrig nach einer Woche

1Woche=7Tage=168Stunden

f(x)=4\cdot { 0.95 }^{ 168 }

f(x)=7.23\cdot { 10 }^{ -4 }

c) Wann ist genau die Hälfte noch übrig?

\frac { 1 }{ 2 } ={ 0.95 }^{ t }

\frac { \log { (\frac { 1 }{ 2 } ) }  }{ \log { (0.95) }  } =t

13.51=t

.Aufgabe bearbeitet von: --Addie98OB (Diskussion) 19:36, 13. Dez. 2015 (CET)

Dreieck TSP

n(x) = - \frac{1}{f'( x_{0})} (x- x_{0})+f( x_{0})

= - \frac{1}{ \frac{1}{ x_{0} }} (x- x_{0})+ln( x_{0})

= - x_{0}(x- x_{0})+ln( x_{0})

= -u(x-u)+ln(u)

= -ux + u^2+ln(u)

0 = -ux + u^2+ln(u)

ux = u^2 + ln(u)

x = u +  \frac{ln(u)}{u}


A =  \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

g = u +  \frac{ln(u)}{u} - u  = \frac{ln(u)}{u}

h = ln(u)

A(u) = \frac{1}{2}\cdot \frac{ln(u)}{u} \cdot ln(u)  =  \frac{1}{2}\cdot  \frac{ln^2(u)}{u}


A'(u) =  \frac{1}{2}\cdot  \frac{2\cdot ln(u) \cdot \frac{1}{u}\cdot u - ln^2(x)\cdot 1}{u^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot ln(u) - ln^2(u)}{u^2}

0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot ln(u)-ln(u)^2}{u^2}

0 = \frac{2 \cdot ln(u)-ln(u)^2}{u^2}

0 = ln(u)\cdot(2-ln(u))


1.Möglichkeit:

ln(u) = 0

e^{ln(u)}=e^0

u = e^0

u = 1


2: Möglichkeit:

2-ln(u) = 0

2 = ln(u)

e^2 = e^{ln(u)}

e^2 = u


VZW:

A'(0,5) < 0

A'(1,5) > 0

VZW von - zu + \rightarrow Tiefpunkt

A'(7) > 0

A'(8) < 0

VZW von + zu - \rightarrow Hochpunkt

f(e^2) = 2

Im Punkt P(e^2|2) hat das Dreieck den größten Flächeninhalt.


Maximaler Flächeninhalt:

x = u + \frac{ln(u)}{u}

x = e^2 + \frac{ln(e^2)}{e^2}

x = 7,66

g = x - u = 7,66 - e^2 = 0,27

h = ln(u) = ln(e^2) = 2

A =  \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cdot 0,27 \cdot 2 = 0,27

Maximaler Flächeninhalt