C11

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Version vom 14. Dezember 2016, 16:49 Uhr von Karl Kirst (Diskussion | Beiträge)

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1. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 21:44, 8. Jul. 2016 (CEST))

Aus dem Text geht hervor, dass eine eine von fünf fehlerhaften Fotozellen nicht entdeckt wird: { p }_{ nicht\quad entdeckt }=\frac { 1 }{ 5 }

1.1

E: Die Fotozelle wird erst bei der letzten Einzelkontrolle entdeckt und ausgesondert

P(E)=\frac { 1 }{ 5 } \cdot \frac { 1 }{ 5 } \cdot \frac { 4 }{ 5 } =3,2%

1.2

n=10

X= Zahl der fehlerhaften Fotozellen, die erkannt werden

E= Eine fehlerhafte Fotozelle wird entdeckt d.h. mindestens eine Kontrolle bemerkt sie

\overline { E }= Fehlerhafte Fotozelle wird nicht entdeckt d.h. alle Kontrollen haben versagt

P(\overline { E } )=\left( \frac { 1 }{ 5 }  \right) ^{ 3 }=0,8%

P(E)=1-0,008=0,992=99,2%


A:

P(X\ge 9)=1-P(X\le 8)=1-0,00276=0,99724=99,72%

Alternative Rechung:

P(X\ge 9)=P(X=9)+P(X=10)=\binom {10} {9}\cdot 0.992^{ 9 }\cdot 0,008^{ 1 }+\binom {10} {10}\cdot 0,992^{ 10 }\cdot { 0,008 }^{ 0 }=99,72%

(Für eine LaPlace-Näherung ist hier das n zu klein, \sigma =0,28<3)

B:

{ P }_{ n=5 }(X=3)\cdot P_{ n=5 }(X=5)=0,000625\cdot 0,9606=0,0006=0,06%

(Wichtig bei diesem Problem ist die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten, da es sich hier um Pfade handelt => Pfadregel)

2. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 22:25, 8. Jul. 2016 (CEST))

p= Wahrscheinlichkeit, dass eine Fotozelle reagiert

X= Zahl der alarmauslösenden Fotozellen

P(p)= Wahrscheinlichkeit, dass der Rauchmelder auslöst

Rauchmelder löst aus bei P(X\ge 2)

2.1

p=0,3

n=3

{ P }_{ 0,3 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,189+0,027=0,216=21,6%

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von p=0,3 stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder nicht Zuverlässiger ist.


p=0,5

n=3

{ P }_{ 0,5 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,375+0,125=0,5=50%

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von p=0,5 stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder weder zuverlässiger noch nicht Zuverlässiger ist.


p=0,7

n=3

{ P }_{ 0,7 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,441+0,343=0,784=78,4%

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von p=0,7 stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder Zuverlässiger ist als der mit nur einer Fotozelle.


2.2

Grafik zu 2.2 mit p\epsilon [0;1]

Grafik zu 2.2

P(p)=\binom {3} {2}\cdot { p }^{ 2 }\cdot (1-p)^{ 1 }+\binom {3} {3}\cdot p^{ 3 }\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ 0 }

=3\cdot { p }^{ 2 }\cdot \left( 1-p \right) +1\cdot { p }^{ 3 }\cdot 1

=3{ p }^{ 2 }-3{ p }^{ 3 }+1{ p }^{ 3 }

=-2{ p }^{ 3 }+3{ p }^{ 2 }

Analysis zum Graphen der Funktion:

P(p)=-2{ p }^{ 3 }+3{ p }^{ 2 }

P'(p)=-6{ p }^{ 2 }+6p=0

6p(-p+1)=0

{ x }_{ 1 }=0

{ x }_{ 2 }=1

(Das heißt, an diesen Stellen hat die Funktion eine waagerechte Tangente)

P''(p)=-12p+6=0

p=0,5

(Noch zu prüfender Wendepunkt)

P'''(p)=-12\neq 0

(Bestätigter Wendepunkt)

P''(0,2)=-2,4+6=3,6>0

(Linkskurve in eine Rechtskurve!)

2.3

Mit der Differenz R(p)=P(p)-p gibt man die Verbesserung von P(p) an im Vergleich zur Einzelwahrscheinlichkeit p.

(1) - Die Funktion R(p) wird abgeleitet.

(2) - Die Ableitung wird null gesetzt um eine waagerechte Tangente zu erschließen, diese liegt bei p_{ 1 }\approx 0,78.

(3) - Die Zweite Ableitung an dem Punkt p_{ 1 } ist kleiner als 0 was auf ein Maximum schließen lässt.

Daraus ergibt sich, dass die ideale Einzelwahrscheinlichkeit für das 3er Fotozellensystem 0,78 beträgt.

3. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 22:41, 8. Jul. 2016 (CEST))

Es wird linksseitig getestet,

n=850

H_{ 0 }:\quad p=0,04

H_{ 1 }:\quad p<0,04

\alpha =0,05

\mu =34

\sigma =5,71>3


Möglichkeit 1:

\overline { A } :\quad [0;a]

P(X\le a)\le 0,05

P(X\le 24)=0,0428\quad (WTR)


Möglichkeit 2:

P(X\le a)\le 0,05=\int _{ \frac { 0-0,5-34 }{ 5,71 }  }^{ \frac { a+0,5-34 }{ 5,71 }  }{ \varphi (t)dt }

=\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )-\Phi (\frac { 0-0,5-34 }{ 5,71 } )

=\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )-0

\Phi (x)=1-\Phi (-x)

\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )\le 0,05

1-\Phi (\frac { -a+33,5 }{ 5,71 } )\le 0,05

0,95\le \Phi (\frac { -a+33,5 }{ 5,71 } )

1.65\le \frac { -a+33,5 }{ 5,71 }

9,42\le -a+33,5

a\le 24,08

Antwortsatz: Der Ablehnungsbereich müsste 24 betragen, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art höchstens 5% beträgt.