Landesabitur Hessen 2009 A1: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>x \rightarrow ^{+}_{-} \infty  </math>
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<math>f_{k}(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1){2}}=^{e^{kx}} \frac{e^{kx}}{e^{kx}+2+\frac{1}{(e^{kx})}}
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== .Aufgabe  Lösungsvorschlag von --[[Benutzer:Vincent97|Vincent97]] ([[Benutzer Diskussion:Vincent97|Diskussion]]) 08:18, 5. Feb. 2014 (CET)==
  
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<math>f_k(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1)^2} =\frac{e^{kx}}{e^{2kx}+2e^{kx}+1} =\frac{e^{kx}}{e^{kx}(e^{kx}+2+e^{-kx})} =\frac{1}{e^{kx}+2+e^{-kx}}=f_k(-x)</math>
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Daraus folgt, dass die Funktion Achsen symmetrisch ist.
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<math>f_k(x)= \frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1)-2k \cdot e^{2kx}(e^{kx}+1)}{(e^{kx}+1)^4} =\frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1)-2k\cdot e^{2kx}}{(e^{kx}+1)^3} }=\frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1-2k \cdot e^{kx})}{(e^{kx}+1)^3}</math>
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<math>0=k\cdot e^{kx}(1-e^{kx})=k\cdot e^{kx}-k\cdot e^{2kx}</math>
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Damit hat man bewiesen, dass alle Grafen den Hochpunkt bei (0|0,25) haben.
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Der Graf hat keine Extrem- oder Wendepunkte
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<math>f_{k}(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1){2}}=^{e^{kx}} \frac{e^{kx}}{e^{kx}+2+\frac{1}{(e^{kx})}}
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1.) k>0,  <math>x \longrightarrow \infty</math>
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2.) k<0, <math>x \longrightarrow \infty</math>
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<math>= \frac{1}{k} H(g(x))</math>
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===. Aufgabe===
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<u>Voraussetzung:</u> f(-x)=f(x)
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<u>Behauptung:</u> f'(-x)=-f'(x)
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<u>Beweis:</u>
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<math>f(-x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0}- \frac{f(x)-f(x-h)}{h}=-\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}=-f'(x)</math>
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q.e.d.
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===. Aufgabe===
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<math>\int_0^{0.5}  \varphi (x)dx=0,6915-0,5=0,1915</math>
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<math>  \int_0^{0.5}  g(x)dx= \big[- \frac{a}{1,5(e^{1,5x}+1)} \big]^{0,5}_0=\frac{a}{1,5(1+1)}-\frac{a}{1,5(e^{0,75}+1)}=- \frac{a}{1,5}\cdot \big[ \frac{1}{e^{0,75}+1} - \frac{1}{2} \big]= \frac{a}{1,5}\cdot 0,18</math>
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<math> \frac{a}{1,5}\cdot 0,18  =0,1915</math>
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<math>0,12a=0,1915</math>
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<math>a=1,6</math>
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Mit dem a, das wir herausgefunden haben, können wir nun die Fläche im ersten Quadranten von g(x) berechnen:
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<math>\int_0^ \infty  g(x)dx=- \lim_{z \rightarrow  \infty }  =\big[\frac{1,6}{1,5(e^{1,5z}+1)}-\frac{1,6}{1,5(1+1)}\big]=0,53</math>
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Als erstes berechnet man die Fläche zwischen den Grafen innerhalb der Grenzen 0 und dem Schnittpunkt (1,2).
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<math>\int_0^ {1,2}  ( \varphi (x)-g(x))dx= \int_0^ {1,2}  \varphi (x)dx -\int_0^ {1,2} g(x)=0,8849-0,5+ \frac{1,6}{1,5}\cdot \big[ \frac{1}{e^{1,5x}+1} \big]^{1,2}_0=0,3849+  \frac{1,6}{1,5}( \frac{1}{e^{1,8}+1}-0,5)=0,3849-0,3820=0,00287 </math>
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Danach sucht man im zweiten Teil eine Grenze, die ausgehend vom Schnittpunkt genau die gleiche Fläche aufweist.
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<math>\int_{1,2}^z  (g(x)- \varphi (x))dx= \int^z_ {1,2} g(x)dx-\int^z_ {1,2} \varphi (x)dx=...</math>
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[[Kategorie:Europa-Schule Obermayr]]

Aktuelle Version vom 6. März 2016, 19:40 Uhr

(Aufgabe 2) können wir derzeit noch nicht bearbeiten.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr 17:24, 29. Nov. 2013 (CET)

Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 17:17, 15. Dez. 2013 (CET)

Abitur09

.Aufgabe Lösungsvorschlag von ----Hellmann (Diskussion) 22:12, 26. Jan. 2014 (CET)

x \rightarrow ^{+}_{-} \infty

f_{k}(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1){2}}=^{e^{kx}} \frac{e^{kx}}{e^{kx}+2+\frac{1}{(e^{kx})}}

1.) k>0, x \longrightarrow \infty

Nenner gegen  \infty  \longrightarrow  f_{k}(x) strebt gegen 0

2.) k<0, x \longrightarrow \infty

Nenner gegen  \infty  \longrightarrow  f_{k}(x) strebt gegen 0



verbesserte aufgabe

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 08:18, 5. Feb. 2014 (CET)

Aufgabe 4.2.pdf

Zusammenfassung der vorherigen Dateien von --Vincent97 (Diskussion) 15:45, 17. Feb. 2014 (CET)

. Aufgabe

f_k(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1)^2} =\frac{e^{kx}}{e^{2kx}+2e^{kx}+1} =\frac{e^{kx}}{e^{kx}(e^{kx}+2+e^{-kx})} =\frac{1}{e^{kx}+2+e^{-kx}}=f_k(-x)

Daraus folgt, dass die Funktion Achsen symmetrisch ist.


Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f_k(x)= \frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1)-2k \cdot e^{2kx}(e^{kx}+1)}{(e^{kx}+1)^4} =\frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1)-2k\cdot e^{2kx}}{(e^{kx}+1)^3} }=\frac{k \cdot e^{kx}(e^{kx}+1-2k \cdot e^{kx})}{(e^{kx}+1)^3}


0=k\cdot e^{kx}(1-e^{kx})=k\cdot e^{kx}-k\cdot e^{2kx}

k\cdot e^{kx}=k\cdot e^{2kx}

e^{kx}=1

 \frac{\ln (1)}{k}=x=0

f_k(x)= \frac{e^0}{(e^0+1)^2} = \frac{1}{4}

Damit hat man bewiesen, dass alle Grafen den Hochpunkt bei (0|0,25) haben.


k=0

f_0(x)= \frac{e^0}{(e^0+1)^2} = \frac{1}{4}

Der Graf hat keine Extrem- oder Wendepunkte


x \rightarrow ^{+}_{-} \infty

f_{k}(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1){2}}=^{e^{kx}} \frac{e^{kx}}{e^{kx}+2+\frac{1}{(e^{kx})}}

1.) k>0, x \longrightarrow \infty

Nenner gegen  \infty  \longrightarrow  f_{k}(x) strebt gegen 0

2.) k<0, x \longrightarrow \infty

Nenner gegen  \infty  \longrightarrow  f_{k}(x) strebt gegen 0


. Aufgabe

f_k(x)= \frac{e^{kx}}{(e^{kx}+1)^2}

g(x)=e^{kx}+1

g'(x)=k\cdot e^{kx}

h(t)=\frac{1}{t^2}

H(t)=-\frac{1}{t}

\int f_k(x) dx= \frac{1}{k} \int h(g(x))\cdot g'(x)  dx

= \frac{1}{k} H(g(x))

= -\frac{1}{k}\cdot \frac{1} {e^{kx}+1}  +c

=\frac{1} {k(e^{kx}+1)}+c=F_k(x)


. Aufgabe

Voraussetzung: f(-x)=f(x)

Behauptung: f'(-x)=-f'(x)

Beweis:

f(-x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0}- \frac{f(x)-f(x-h)}{h}=-\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}=-f'(x)

q.e.d.


. Aufgabe

\int_0^{0.5}  \varphi (x)dx=0,6915-0,5=0,1915

  \int_0^{0.5}  g(x)dx= \big[- \frac{a}{1,5(e^{1,5x}+1)} \big]^{0,5}_0=\frac{a}{1,5(1+1)}-\frac{a}{1,5(e^{0,75}+1)}=- \frac{a}{1,5}\cdot \big[ \frac{1}{e^{0,75}+1} - \frac{1}{2} \big]= \frac{a}{1,5}\cdot 0,18

 \frac{a}{1,5}\cdot 0,18  =0,1915

0,12a=0,1915

a=1,6

Mit dem a, das wir herausgefunden haben, können wir nun die Fläche im ersten Quadranten von g(x) berechnen:

\int_0^ \infty  g(x)dx=- \lim_{z \rightarrow  \infty }  =\big[\frac{1,6}{1,5(e^{1,5z}+1)}-\frac{1,6}{1,5(1+1)}\big]=0,53


Als erstes berechnet man die Fläche zwischen den Grafen innerhalb der Grenzen 0 und dem Schnittpunkt (1,2).

\int_0^ {1,2}  ( \varphi (x)-g(x))dx= \int_0^ {1,2}  \varphi (x)dx -\int_0^ {1,2} g(x)=0,8849-0,5+ \frac{1,6}{1,5}\cdot \big[ \frac{1}{e^{1,5x}+1} \big]^{1,2}_0=0,3849+  \frac{1,6}{1,5}( \frac{1}{e^{1,8}+1}-0,5)=0,3849-0,3820=0,00287

Danach sucht man im zweiten Teil eine Grenze, die ausgehend vom Schnittpunkt genau die gleiche Fläche aufweist.

\int_{1,2}^z  (g(x)- \varphi (x))dx= \int^z_ {1,2} g(x)dx-\int^z_ {1,2} \varphi (x)dx=...