Protokolle vom Mai 2013: Unterschied zwischen den Versionen

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(Aufgabe 1c)
(Wendestelle einer logistischen Funktion)
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===Wendestelle einer logistischen Funktion===
 
===Wendestelle einer logistischen Funktion===
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<u>Vermutung</u>
  
 
Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.
 
Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.
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Schranke ist bei <math>y=10</math>
 
Schranke ist bei <math>y=10</math>
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<math>f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }</math>
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<math>= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }</math>
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<math>= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }</math>
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<math>= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }</math>
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<math>= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }</math>
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<math>f''(t)=0</math>
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<math>0= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }</math>
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Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.
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<math>0=-0,25te^{-0,25t}</math>
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<math>\ln (0,25)=-0,25t</math>
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<math>\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55</math>
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<math>f(5,55)=5</math>
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===Hausaufgaben zum 08.05.2013===
 
===Hausaufgaben zum 08.05.2013===
  
 
Buch Seite 137 Aufgabe 1a,2b,7,8a
 
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Version vom 6. Mai 2013, 19:27 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 6.05.2013 / Thema:logistisches Wachstum

Vorlage:Kurzinfo-3

Protokoll von --OB3A 17:51, 6. Mai 2013 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Graphen der Wachstumsvorgänge

Hier nochmal einen Überblick über die Graphen verschiedener Wachstumsvorgänge.


Lineares Wachstum

Linear.jpg


Exponentielles Wachstum

Exponentiell.jpg


begrenztes Wachstum

Begrenztes.jpg


logisitisches Wachstum

Logistisches .jpg



Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum

\frac{f'(t)}{f'(t) \cdot (G-f(t))} =k


\frac{f'(t)}{f(t) \cdot G}+\frac{f'(t)}{(G-f(t)) \cdot G}  =k


\frac{f'(t)\cdot (G-f(t))+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t) \cdot G-f(t) \cdot f(t)+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{f(t) \cdot (G-f(t))}


Buch S. 137

Aufgabe 1a

f(0)=\frac{10}{1+4e}

f(0)=2

A=2

S=10



Aufgabe 1c

f(t)=\frac{10}{1+4e^{-0,25t} }

Ableiten mit Kettenregel

_______________________

h(z)=\frac{10}{z}  \qquad h'(z)=-\frac{10}{z^2}

g(t)=1+4e^{-0,25t}  \qquad g'(t)=-e^{-0,25t}

_______________________


f'(t)=-\frac{10}{(1+4e^{-0,25t})^2 } \cdot (-e^{-0,25t})


=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Probe:

a=G \cdot k

k=0,25


f'(t)=0,025 \cdot (10-f(t)) \cdot f(t)


=0,025 \cdot ( \frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )\cdot (10-\frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )

Erweitern

=\frac{2,5(1+4e^{-0,25t})-2,5 } {(1+4e^{-0,25t})^2 } =\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Wendestelle einer logistischen Funktion

Vermutung

Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.

Wendepunkt ist bei y=5

Schranke ist bei y=10

f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


f''(t)=0


0= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.


0=-0,25te^{-0,25t}

\ln (0,25)=-0,25t

\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55

f(5,55)=5



Hausaufgaben zum 08.05.2013

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