Protokolle vom Mai 2013: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum)
(Aufgabe 1a)
Zeile 145: Zeile 145:
  
 
====Aufgabe 1a====
 
====Aufgabe 1a====
 +
 +
In dieser Aufgabe soll der Anfangswert und die Schranke bestimmt werden.
 +
  
 
<math>f(0)=\frac{10}{1+4e}</math>  
 
<math>f(0)=\frac{10}{1+4e}</math>  
  
 
<math>f(0)=2</math>
 
<math>f(0)=2</math>
 +
  
 
<math>A=2</math>
 
<math>A=2</math>
Zeile 156: Zeile 160:
  
 
----
 
----
 +
 
====Aufgabe 1c====
 
====Aufgabe 1c====
  

Version vom 7. Mai 2013, 17:03 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 6.05.2013 / Thema:logistisches Wachstum

Vorlage:Kurzinfo-3

Protokoll von --OB3A 17:51, 6. Mai 2013 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Hausaufgabenbesprechung vom 29.05.2013

Übungsblatt 7

a)

k=1,39

f(t)=\frac{8000}{1+7999e^{-1,39t} }


b)

t=19,93 Tage


c)

t=6,83 Tage


d) 7942 Personen



Buch S. 137

Aufgabe 2a

k=0,81



Aufgabe 3

Um herraus zu finden welche Funktion zu welcher Figur gehört, haben wir erstmal f(o) berechnet. Dabei viel auf, dass bei Funktion I und II das selbe herraus kommt und bei den Funktionen III und IV ebenfalls.


I f(0)= 1,11

II f(0)= 1,11

III f(0)=2

IV f(0)=2

Nun begutachten wir jetzt die Figuren 1 und 3, danach die Figuren 2 und 4, da diese sich sehr ähnlich sehen.

Für die Funktionen I und II kommen durch die oben genannten Erkenntnisse nur Figur 1 und 3 in Frage. Wir betrachten nun den Wachstumsfaktor k bei den Funktionen um genaueres herauszufinden. Da der Wachstumsfaktor bei Funktion I am größten ist und damit auf einen Steilen Graphen hindeutet, gehört dieser zu Figur 3. Somit gehört die Funktion II zu Figur 1.

Das selbe Verfahren wenden wir jetzt auch bei Funktion III und IV an. Da bei Funktion IV ein schwächeres Wachstum ist, als bei Funktion III, gehört Funktion IV zu Figur 4 und Funktion III zu Figur 2.


Zusammengefasst bedeutet, dass ..

I -> Figur 3

II -> Figgur 1

III -> Figur 2

IV -> Figur 4



Graphen der Wachstumsvorgänge

Hier nochmal einen Überblick über die Graphen verschiedener Wachstumsvorgänge.


Lineares Wachstum

Linear.jpg


Exponentielles Wachstum

Exponentiell.jpg


begrenztes Wachstum

Begrenztes.jpg


logisitisches Wachstum

Logistisches .jpg



Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum

\frac{f'(t)}{f'(t) \cdot (G-f(t))} =k


Diese Funktion hatten wir schon mal in einer voringen Stunde bewiesen. Nun versuchen wir diese Formel auf einen anderen Weg herzuleiten. Die Aufgabe ist es, auf unsere Formel ohne Partialbruchzerlegung zu kommen.


Dafür ist uns das folgende gegeben:

\frac{f'(t)}{f(t) \cdot G}+\frac{f'(t)}{(G-f(t)) \cdot G}  =k


Um das Gegebene zu bestätigen bringen wir zunächst alles auf einen gemeinsamen Nenner und fassen was möglich ist zusammen.


\frac{f'(t)\cdot (G-f(t))+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t) \cdot G-f(t) \cdot f(t)+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{f(t) \cdot (G-f(t))}


Wie wir sehen ist das eine andere Möglichkeit sich die Formel für das logistische Wachstum herzuleiten.


Buch S. 137

Aufgabe 1a

In dieser Aufgabe soll der Anfangswert und die Schranke bestimmt werden.


f(0)=\frac{10}{1+4e}

f(0)=2


A=2

S=10



Aufgabe 1c

f(t)=\frac{10}{1+4e^{-0,25t} }

Ableiten mit Kettenregel

_______________________

h(z)=\frac{10}{z}  \qquad h'(z)=-\frac{10}{z^2}

g(t)=1+4e^{-0,25t}  \qquad g'(t)=-e^{-0,25t}

_______________________


f'(t)=-\frac{10}{(1+4e^{-0,25t})^2 } \cdot (-e^{-0,25t})


=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Probe:

a=G \cdot k

k=0,25


f'(t)=0,025 \cdot (10-f(t)) \cdot f(t)


=0,025 \cdot ( \frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )\cdot (10-\frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )

Erweitern

=\frac{2,5(1+4e^{-0,25t})-2,5 } {(1+4e^{-0,25t})^2 } =\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Aufgabe 1d

f'(t)=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 } =0,6

nach t mit einer biquadratischen Gleichung auflösen.

für e^{-0,25t} wird z eingesetzt.

Wendestelle einer logistischen Funktion

Vermutung

Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.

Wendepunkt ist bei y=5

Schranke ist bei y=10

f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


f''(t)=0


0= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.


0=-0,25te^{-0,25t}

\ln (0,25)=-0,25t

\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55

f(5,55)=5



Hausaufgaben zum 08.05.2013

Buch Seite 137 Aufgabe 1a,2b,7,8a