Protokolle vom Mai 2013

Protokoll vom 6.05.2013 / Thema:logistisches Wachstum

Protokoll von --OB3A 17:51, 6. Mai 2013 (CEST)	(Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt	(2 Unterrichtsstunden)

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Graphen der Wachstumsvorgänge

Hier nochmal einen Überblick über die Graphen verschiedener Wachstumsvorgänge.

Lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

begrenztes Wachstum

logisitisches Wachstum

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Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum

$\frac{f'(t)}{f'(t) \cdot (G-f(t))} =k$

$\frac{f'(t)}{f(t) \cdot G}+\frac{f'(t)}{(G-f(t)) \cdot G} =k$

$\frac{f'(t)\cdot (G-f(t))+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t) \cdot G-f(t) \cdot f(t)+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t)+0}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t)+0}{f(t) \cdot (G-f(t))}$

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Buch S. 137

Aufgabe 1a

$f(0)=\frac{10}{1+4e}$

$f(0)=2$

$A=2$

$S=10$

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Aufgabe 1c

$f(t)=\frac{10}{1+4e^{-0,25t} }$

Ableiten mit Kettenregel

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$h(z)=\frac{10}{z}$ $\qquad h'(z)=-\frac{10}{z^2}$

$g(t)=1+4e^{-0,25t}$ $\qquad g'(t)=-e^{-0,25t}$

_______________________

$f'(t)=-\frac{10}{(1+4e^{-0,25t})^2 } \cdot (-e^{-0,25t})$

$=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }$

Probe:

$a=G \cdot k$

$k=0,25$

$f'(t)=0,025 \cdot (10-f(t)) \cdot f(t)$

$=0,025 \cdot ( \frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )\cdot (10-\frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )$

Erweitern

$=\frac{2,5(1+4e^{-0,25t})-2,5 } {(1+4e^{-0,25t})^2 } =\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }$

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Aufgabe 1d

$f'(t)=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 } =0,6$

nach t mit einer biquadratischen Gleichung auflösen.

für $e^{-0,25t}$ wird z eingesetzt.

Wendestelle einer logistischen Funktion

Vermutung

Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.

Wendepunkt ist bei $y=5$

Schranke ist bei $y=10$

$f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^4 }$

$= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^4 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} ( -0,25te^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$f''(t)=0$

$0= 10 \frac{e^{-0,25t} ( -0,25te^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.

$0=-0,25te^{-0,25t}$

$\ln (0,25)=-0,25t$

$\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55$

$f(5,55)=5$

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Hausaufgaben zum 08.05.2013

Buch Seite 137 Aufgabe 1a,2b,7,8a