Protokolle vom Mai 2013

Protokoll vom 6.05.2013 / Thema:logistisches Wachstum

Protokoll von --OB3A 17:51, 6. Mai 2013 (CEST)	(Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt	(2 Unterrichtsstunden)

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Hausaufgabenbesprechung vom 29.05.2013

Übungsblatt 7

a)

k=1,39

$f(t)=\frac{8000}{1+7999e^{-1,39t} }$

b)

$t=19,93 Tage$

c)

$t=6,83 Tage$

d) 7942 Personen

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Buch S. 137

Aufgabe 2a

k=0,81

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Aufgabe 3

Um herraus zu finden welche Funktion zu welcher Figur gehört, haben wir erstmal f(o) berechnet. Dabei viel auf, dass bei Funktion I und II das selbe herraus kommt und bei den Funktionen III und IV ebenfalls.

I $f(0)= 1,11$

II $f(0)= 1,11$

III $f(0)=2$

IV $f(0)=2$

Nun begutachten wir jetzt die Figuren 1 und 3, danach die Figuren 2 und 4, da diese sich sehr ähnlich sehen.

Für die Funktionen I und II kommen durch die oben genannten Erkenntnisse nur Figur 1 und 3 in Frage. Wir betrachten nun den Wachstumsfaktor k bei den Funktionen um genaueres herauszufinden. Da der Wachstumsfaktor bei Funktion I am größten ist und damit auf einen Steilen Graphen hindeutet, gehört dieser zu Figur 3. Somit gehört die Funktion II zu Figur 1.

Das selbe Verfahren wenden wir jetzt auch bei Funktion III und IV an. Da bei Funktion IV ein schwächeres Wachstum ist, als bei Funktion III, gehört Funktion IV zu Figur 4 und Funktion III zu Figur 2.

Zusammengefasst bedeutet, dass ..

I -> Figur 3

II -> Figgur 1

III -> Figur 2

IV -> Figur 4

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Graphen der Wachstumsvorgänge

Hier nochmal einen Überblick über die Graphen verschiedener Wachstumsvorgänge.

Lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

begrenztes Wachstum

logisitisches Wachstum

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Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum

$\frac{f'(t)}{f'(t) \cdot (G-f(t))} =k$

$\frac{f'(t)}{f(t) \cdot G}+\frac{f'(t)}{(G-f(t)) \cdot G} =k$

$\frac{f'(t)\cdot (G-f(t))+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t) \cdot G-f(t) \cdot f(t)+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t)+0}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}$

$=\frac{f'(t)+0}{f(t) \cdot (G-f(t))}$

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Buch S. 137

Aufgabe 1a

$f(0)=\frac{10}{1+4e}$

$f(0)=2$

$A=2$

$S=10$

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Aufgabe 1c

$f(t)=\frac{10}{1+4e^{-0,25t} }$

Ableiten mit Kettenregel

_______________________

$h(z)=\frac{10}{z}$ $\qquad h'(z)=-\frac{10}{z^2}$

$g(t)=1+4e^{-0,25t}$ $\qquad g'(t)=-e^{-0,25t}$

_______________________

$f'(t)=-\frac{10}{(1+4e^{-0,25t})^2 } \cdot (-e^{-0,25t})$

$=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }$

Probe:

$a=G \cdot k$

$k=0,25$

$f'(t)=0,025 \cdot (10-f(t)) \cdot f(t)$

$=0,025 \cdot ( \frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )\cdot (10-\frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )$

Erweitern

$=\frac{2,5(1+4e^{-0,25t})-2,5 } {(1+4e^{-0,25t})^2 } =\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }$

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Aufgabe 1d

$f'(t)=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 } =0,6$

nach t mit einer biquadratischen Gleichung auflösen.

für $e^{-0,25t}$ wird z eingesetzt.

Wendestelle einer logistischen Funktion

Vermutung

Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.

Wendepunkt ist bei $y=5$

Schranke ist bei $y=10$

$f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^4 }$

$= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^4 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right] }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$= 10 \frac{e^{-0,25t} ( -0,25te^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

$f''(t)=0$

$0= 10 \frac{e^{-0,25t} ( -0,25te^{-0,25t} ) }{(1+4e^{-0,25t})^3 }$

Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.

$0=-0,25te^{-0,25t}$

$\ln (0,25)=-0,25t$

$\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55$

$f(5,55)=5$

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Hausaufgaben zum 08.05.2013

Buch Seite 137 Aufgabe 1a,2b,7,8a