Protokolle vom Oktober 2014

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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 1.10.2014 Thema: Besprechung der Musterklausur

Protokoll von: --Vincent97 (Diskussion) 21:52, 2. Okt. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer: C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Vincent97 (Diskussion) 20:26, 9. Okt. 2014 (CEST)

Lösungen der Hausaufgaben vom 26.09.

Seite 157 Nr.12b:

\mathbb{L}=\{(-r+5;4,5r-6;12,5r-16)\}

Aus diesen Lösungen und den vorgegebenen Ergebnissen kann man daraus schließen, dass r=2 ist.

Seite 183 Nr.3c:

M(-1|0|1)

Seite 183 Nr.8d:

Mc(1|1|1,5)

Mb(2|3|2,5)

Ma(2|3|3)

Damit man den Punkt herausbekommt, braucht man den Ortsvektor des Punktes. Dieser läßt sich durch die Formel \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a}) bestimmen. Die Herleitung geht wie folgt:

\vec{OM_c}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{AB}

\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})

\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})


Kurze Wiederholung von Addition und Subtraktion von Vektoren

Addition

Ein Repräsentant des Vektors \vec{b}(blau) muss so gewählt werden, dass der Startpunkt an den Endpunkt des Repräsentanten \vec{a}(schwarz) anschließt. Der neue Vektor \vec{a}+\vec{b}(rot) geht von Startpunkt des Repräsentanten \vec{a} bis zum Zielpunkt des Repräsentant \vec{b}.

VekAddneu.JPG

Subtraktion

Auch hier muss der Repräsentant \vec{b} wieder anders gewählt werden. Diesmal allerdings so, dass beide Repräsentant einen gemeinsamen Startpunkt haben. Der neue Vektor \vec{a}-\vec{b} hat seinen Zielpunkt beim Zeilpunkt des Minuenden.

VekSubneu1.JPG

\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}

\vec{AC}=\vec{BC}-\vec{BA}=\vec{AB}+\vec{BC}

ABCneu.JPG

Man sieht, dass es egal ist ob man addiert oder von B ausgeht und dann den Vektor \vec{AC} durch Subtraktion bekommt.


Musterklausur

Lösungsvorschläge unter




Protokoll vom 10.10.2014 Thema: Besprechung der Klausur und Zerlegung von Kräften

Protokoll von: --Hellmann (Diskussion) 11:41, 12. Okt. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer: C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Hellmann (Diskussion) 16:45, 27. Okt. 2014 (CET)

Besprechung der Klausur

Die Lösungen des ersten Leistungsnachweises in Q3 finden Sie hier



Zerlegung von Kräften

Das erste Beispiel für die Zerlegung von Kräften ist eine Laterne, die durch zwei Seile an zwei Hauswänden angebracht wird, da diese Laterne auf die Seile, an welchen sie hängt, Kraft auswirkt (zunächst gilt, dass die Gewichtskraft nach unten wirkt).


Der Hausabstand beträgt 8m, was in der Zeichnung 8cm entspricht. Außerdem entsprechen 20N 2cm in der Zeichnung, sowie 2kg.

Grafik


1.) G_{1}=G_{2}=40N

2.)G_{1}=G_{2}=80N

3.) G_{1}=G_{2}=160N (nur im Unterricht gemacht, aber keine Zeichnung im Protokoll vorhanden)


Danach wurde eine allgemeine Formel zur Berechnung der Kraftzerlegung der Laterne aufgestellt, indem eine weitere Skizze angefertigt und analysiert wurde.

Skizze zur aufgabe


Daraus folgt, dass G_{1} zu einhalb G gleich x zu d entspricht:

 \frac{G_{1}}{\frac{G}{2}}= \frac{x}{d}

Dadurch lässt sich dann G1 berechnen:

G_{1}=\frac{G}{2} \cdot \frac{x}{d}=\frac{G \cdot  \sqrt{16+d^{2}}} {2 \cdot d}


Daraus lassen sich dann folgende Kräfte für G1 (Kraft, die auf jeweils ein Seil einwirkt) berechnen, wenn man den Abstand d zwischen der Laterne und ihren Halterungen verändert:

d in m G_{1} in N
1 41
0,5 80,6
0,25 160,31
0,1 400,12

Umso kleiner der Abstand d wird, desto größer wird die Kraft, die (nach unten wirkt; nein!) von den Seilen aufzubringen ist.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 19:21, 3. Nov. 2014 (CET)



Wirtshaus zum goldenen Engel (2. Beispiel)

Bevor das Beispiel besprochen wurde, haben wir uns die erste Skizze auf dem Übungsblatt 2 angeschaut und haben dort festgestellt, dass am Punkt B gezogen wird und dass am Punkt C reingedrückt wird. Dies ist wichtig, um die Konstruktion des Skywalk im Grand Canyon zu verstehen, da dort so gut wie kein Längenunterschied zwischen den Punkten B und C zu sehen ist.

Deswegen haben wir, um diese Konstruktion besser nachvollziehen zu können, ein Beispiel mit einem Wirtshausschild verwendet, auf dem ein goldener Engel sitzt (siehe letzte Abbildung), der an der oberen Verankerung zieht und die untere Verankerung in die Hauswand reindrückt:

Aufgabe


Daraus folgt, dass G2 zu G das gleiche ist, wie 4 zu d:

\frac{G_{2}}{G}=\frac{4}{d}

G_{2}=\frac{4G}{d}


Daher ist G2 umgekehrt proportional zu G.


Auch für G1 lässt sich eine Formel in Abhängigkeit von d aufstellen:

\frac{G_{1}}{G}=\frac{\sqrt{16+d^{2}}}{d}

G_{1}=\frac{G\cdot\sqrt{16+d^{2}}}{d}


G1 dagegen ist wegen dem quadrierten d unter der Wurzel nicht umgekehrt proportional zu G.


d in m G_{2} in N G_{1} in N
4 300 424
3 400 500
1,5 800 854
1 1200 1237

Je kleiner die Länge d wird, desto mehr Kraft wirkt (zieht bzw. drückt) auf die beiden Befestigungen an der Wand.



Hausaufgaben für den 15.10.14

-Verbesserung des Leistungsnachweises Nr. 1

-Übungsblatt 2 lesen und die Skizzen auf der Rückseite anschauen

-S.174-175 lesen


Protokoll vom 15.10.2014 Thema: Vektoren im Raum zeichnen und Linear abhängige und unabhängige Vektoren

Protokoll von:--Jugu5797 (Diskussion) 23:24, 16. Okt. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer: C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Jugu5797 (Diskussion) 16:29, 13. Nov. 2014 (CET)

Skywalk (Wiederholung letzter Stunde)

Skywalk

Auf diesem Schaubild kann man die Kräfte,welche bei einem Betreten des amerikanischen Skywalks herrschen, erkennen. Auch die Gleichgewichts-Haltenden Kräfte sind zu sehen.

Die Gewichtskraft der Person, ist vertikal nach unten gerichtet. Damit der Skywalk ohne diagonale oder gar vertikale Stütze hält, herrschen noch die Kräfte F1 und F2. Die Gewichtskomponente F1 zieht quasi an der Felswand, an der der Skywalk befestigt ist. Dagegen drückt die Gewichtskraft F2 in die Felswand rein.

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Vektoren im Raum zeichnen

Nachdem wir uns bereits ein gewisse Zeit schon mit Vektoren beschäftigt haben, ist nun die Zeit gekommen, dieselbigen auch zu Zeichnen.

vektoren im raum

In grün ist der Vektor \vec{b}= \begin{pmatrix}
 3 \\
  8\\
  4
 \end{pmatrix} .

Wir sind folgendermaßen Vorgegangen:

  1. Wir markierten die jeweiligen Faktoren auf ihren Achsen. Wie zum Beispiel den Wert 4 auf der x3 Achse.
  2. Wir zogen eine Linie, ausgehend von dem Wert 3 auf der x1 Achse, parallel zur x2 Achse.
  3. Nun zeichneten wir eine Linie, welche am Wert 8 auf der x2 Achse begann und parallel zur x1 Achse verläuft.
  4. Von dem Schnittpunkt der beiden Linien aus, zogen wir eine Linie, welche in diesem Fall 4 Schritte weit hoch führte. Also quasi die Länge des Faktors auf der x3 Achse vom Nullpunkt aus.
  5. Der Punkt an dem die Linie endet, ist der Zielpunkt des \vec{b} Vektors.

Nach dem selben Verfahren zeichneten wir auch den Vektor \vec{a} = \begin{pmatrix}
5 \\
 6\\
  3
 \end{pmatrix}. Dieser ist im Schaubild rot gezeichnet.

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linear abhängig und unabhängig

Zwei Vektoren

Linear abhängig heißt, dass man den einen Vektor durch einen anderen Vektor darstellen kann, indem man ihn verlängert beziehungsweise verkürzt. Dies geschieht durch Vorfaktoren.


Abbildungenzwei

Abbildung 1 zeigt: Diese beiden Vektoren sind voneinander linear abhängig (l.a.). Das heißt:

x \cdot \vec{a}=\vec{b}

\rightarrow \vec{a}, \vec{b} \quad l.a.

Die Abhänigkeit ist hier auch umgekehrt vohanden. Das heisst \vec{b} kann durch den \vec{a} dargestellt werden.

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Abbildung 2 zeigt: Diese beiden Vektoren sind voneinander linear unabhängig (l.u.). Das heißt:

x \cdot \vec{c} \neq \vec{d}

\rightarrow \vec{c}, \vec{d} \quad l.u.

Man kann keinen der beiden Vektoren durch den jeweils anderen darstellen.

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Daraus Schlussfolgern wir: Zwei Vektoren sind linear abhängig wenn sie parallel sind.

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Sobald der \vec{0} dabei ist, sind die Vektoren linear voneinander abhängig.

0 \cdot \vec{a} = \vec{0}

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Beispiel:

\vec{a}=\begin{pmatrix}
5\\
  0
 \end{pmatrix} \quad \vec{b}=\begin{pmatrix}
25\\
  0
 \end{pmatrix}

\vec{b}=5 \cdot \vec{a}

\rightarrow l.a.

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Drei Vektoren

Wenn ein Vektor von einem anderem abhängig sein kann, dann können das auch 3 Vektoren miteinander. Die Vorfaktoren sind zwar teilweise nicht gleich ersichtlich, aber wir sind ja geübt im Umgang mit linearen Gleichungssystemen.

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Abbildungen

Die Abbildung 3 zeigt drei Vektoren; \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}.

Hierbei ist zu erkennen: \vec{c} ist linear abhängig von \vec{b} und \vec{a}.

x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} = \vec{c}

Der \vec{a} wurde mit dem Faktor x verlängert und der \vec{b} mit dem Faktor y, sodass beide ein Parallelogramm bilden können, welche eine Ecke am Zielpunkt des \vec{c} hat.

Da das geht, gelten die Vektoren als linear abhängig, auch wenn sie in einer anderen Kombination nicht als linear abhängig gelten könnten.

Das heißt im spezifischen Fall: Man kann drei Vektoren erst als linear unabhängig bezeichnen, wenn in allen Kombinationen keine lineare Abhängigkeit festgestellt werden konnte.

Dies wird noch deutlicher in den folgenden Beispielen.

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Beispiel 1

\vec{a}=\begin{pmatrix}
 1 \\
  0
 \end{pmatrix} \quad \vec{b}=\begin{pmatrix}
 7 \\
  0
 \end{pmatrix} \quad \vec{c}=\begin{pmatrix}
 0 \\
  8
 \end{pmatrix}

beispielvektoren

Trotz der Tatsache, dass in der dritten Kombination die Vektoren unabhängig voneinander sind, sind sie insgesamt jedoch linear abhängig, da bei mindestens einer Kombination (in diesem Fall sogar zwei) eine lineare Abhängigkeit festgestellt werden konnte.

Als allgemeine Definition kann man also schreiben:


Vektoren heißen linear abhängig, wenn es gelingt, wenigstens einen als Linearkombintation der Anderen darzustellen.

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Beispiel 2:

\vec{a} = \begin{pmatrix}
 1 \\
  0\\
  0
 \end{pmatrix} \quad
\vec{b} = \begin{pmatrix}
 0 \\
  1\\
  0
 \end{pmatrix} \quad 
\vec{c} = \begin{pmatrix}
 0\\
  0\\
  1
 \end{pmatrix}

Man erkennt hier schon -was leider selten der Fall ist-, dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sind.

x \cdot 0 beziehungsweise y \cdot 0 kann niemals 1 werden, was aber der Fall sein müsste.

Trotzdem, hier nochmal als Beispiel "ausführlicher" gerechnet mit x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b}= \vec{c}:

beispielkeins

Diese Vektoren sind also unabhängig, da keine der Vektoren von den jeweils zwei anderen Vektoren, darstellbar ist.

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Beispiel 3:

\vec{a} = \begin{pmatrix}
 1 \\
  4\\
  5
 \end{pmatrix} \quad
\vec{b} = \begin{pmatrix}
 0 \\
  2\\
  1
 \end{pmatrix} \quad 
\vec{c} = \begin{pmatrix}
 1\\
  2\\
 3
 \end{pmatrix}

beispiel drei

Hier wird nochmals deutlich: Erst wenn alle drei Vektoren nicht als Linearkombination der beiden Anderen darstellbar sind, können wir die Vektoren als linear unabhängig bezeichnen.

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Ferien

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