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| ==2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen==
| | [[Datei:Chebarkul meteorite sample on lake ice.jpg|miniatur|500px|Meteoriten-Fundstück der Uralischen Föderalen Universität Ural, gefunden am Tschebarkulsee in der Nähe des Meteor-Einschlags]] |
| | Ein '''Meteorit''' [meteoˈrit] ist ein relativ kleiner Festkörper kosmischen Ursprungs, der die Erdatmosphäre durchquert und den Erdboden erreicht hat. |
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| | Der Bildungsort der Meteoriten ist das [[Sonnensystem]]. Sie ermöglichen wertvolle Einblicke in dessen Frühzeit. |
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| Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
| | Als Meteoroiden bezeichnet man den Ursprungskörper, solange er sich noch im interplanetaren Raum befindet. Beim Eintritt in die Erdatmosphäre erzeugt er eine Leuchterscheinung, die als Meteor bezeichnet wird. Der Meteoroid verglüht entweder als Sternschnuppe in der Erdatmosphäre oder erreicht als Meteorit den Boden. |
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| {{Box|Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih| Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.
| | ==Aktueller Anlass: Meteoriteneinschlag bei Tscheljabinsk - Vorbeiflug des Asteroiden== |
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| Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.
| | ===Meteoriteneinschlag bei Tscheljabinsk vom 15. Februar 2013=== |
| Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).|Üben}}
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| [[Datei:Lineare Funktionen erkennen Arbeitsauftrag.png|center]]
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| {{Lösung versteckt|Welche Zuordnung liegt vor? Der Leihdauer x (in h) werden die Kosten y (in €) zugeordnet. Erstellen eine Wertetabelle für 0,1,2,... Stunden und zeichne den Graphen.|Tipp|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 1 Lösung.png|center]]|Lösung zu Aufgabe 1|Verbergen}}
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| {{Box|Lineare Funktionen erkennen - Apfelschorle| Aufgabe 2: Nach der Bootsfahrt sind sie durstig und kaufen Getränkte. Ein Glas Apfelschorle kostet 1,50€.
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| Schreibe die Aufgabe jeweils in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.
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| Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 2 Lösung.png]]|Lösung zu Aufgabe 2|Verbergen}}
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| {{Box|Lineare Funktionen erkennen - Pool| Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
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| Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.
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| Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 3 Lösung berichtigt.png]]|Lösung zu Aufgabe 3|Verbergen}}
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| {{Box| Gemeinsamkeiten und Unterschiede| Vergleiche die drei Aufgaben. Welche Gemeinsamkeiten stellst du fest? Welche Unterschiede gibt es? Notiere mindestens eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied.| Unterrichtsidee}}
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| {{Lösung versteckt|Vergleiche die Graphen und die Funktionsgleichungen miteinander. Fällt dir etwas auf?|Tipp|Verbergen}}
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| Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">[[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 1 Erklärung.png]]</div>
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| <div class="width-1-2">[[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 2 Erklärung.png]]</div>
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| </div>
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| [[Datei:Lineare Funktionen erkennen Aufgabe 3 Erklärung berichtigt.png|460x460px]]
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| Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
| | *[http://www.spiegel.de/wissenschaft/weltall/tscheljabinsk-meteorit-masse-des-himmelskoerpers-a-884349.html Tscheljabinsk-Meteorit: Kleiner Durchschnittstyp, große Explosion] (Spiegel-Online, 19.02.2013) |
| [[Datei:Lineare Funktionen erkennen Zusammenfassung.png]]
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| {{Box|1=Lineare Funktionen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = mx + b</b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph scheidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).|3=Merksatz}}
| | :"17 Meter groß, höchstens 10.000 Tonnen Masse - nach kosmischen Maßstäben war der Brocken, der über Tscheljabinsk explodierte, eher bescheiden. Und um einen Exoten handelte es sich laut russischen Forschern auch nicht. Trotzdem entfachte er eine Explosion mit der Sprengkraft Dutzender Atombomben." |
| | <!--* [http://www.bild.de/news/ausland/meteoroiten/meteorit-russland-aufprall-28557956.bild.html Auch in Nordamerika sollen am Freitag Abend Meteoriteneintritte in die Atmosphäre beobachtet worden sein Bild.de]--> |
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| | *[http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/meteorit-ueber-russland-erdbeben-zeigt-einschlag-a-883749.html Bilanz des Meteoritenunfalls: Kälteschock nach dem Einschlag] (Spiegel-Online, 15.02.2013) |
| | *[http://www.tagesschau.de/ausland/asteroid150.html Am Tag nach den Ereignissen] |
| | *[http://www.tagesschau.de/ausland/meteorit132.html Die Zahl steigt auf mehr als 1000] |
| | *[http://tagesschau.de/ausland/meteorit100.html Etwa vierhundert Verletzte bei Meteoriteneinschlag] |
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| Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du in den nachfolgenden Kapiteln.
| | <iframe width="640" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/IPnpi2iRDII" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen=""></iframe> |
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| {{#ev:youtube|blY2qdFV4ag|center}}
| | ;mehr Informationen: |
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| {{Box|Übung 1: Lineare Funktionen erkennen|Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzen App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.|Üben}} | | *{{wpde|Meteor bei Tscheljabinsk vom 15. Februar 2013}} |
| {{LearningApp|app=7222616|widtht=100%|height=400px}}
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| {{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}
| | ===Asteroid kommt der Erde näher als der Mond=== |
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| {{LearningApp|app=p1syaqysj20|width=100%|height=400px}}
| | *[http://www.tagesschau.de/ausland/asteroid116.html Bericht] |
| <br />
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| ==2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph== | | <iframe width="640" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/Q8Yr2FQcTR0" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen=""></iframe> |
| ===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
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| Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionenvv f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="900" height="500"></ggb_applet>
| | ;mehr Informationen: |
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| Übertrage die Merksätze in dein Heft:
| | *{{wpde|2012 DA14}} |
| {{Box| Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also: | |
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| Ist m > 0, steigt die Funktion.
| | ==Was ist ein Meteorit, was ist ein Asteroid?== |
| Ist m < 0, fällt die Funktion.|Merksatz}}
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| Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
| | ... |
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| Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.<br />
| | ==Arten von Meteoriten== |
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| {{Box|Übung 2: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}
| | ===Steinmeteorit=== |
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| {{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}} | | [[Datei:Meteorit-Benthullen.JPG|400px|miniatur|zentriert|{{wpde|Benthullen (Meteorit)|Meteorit Benthullen}}, Oldenburg/Oldbg]] |
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| {{h5p|id=796620|height=300}}
| | ===Eisenmeteorit=== |
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| | [[File:Meteorit von Treysa 2.JPG|miniatur|zentriert|400px|left|Meteorit von Treysa]] |
| | [[File:Eisen - Meteorit 02.jpg|400px|miniatur|zentriert|Typische Strukturen im Anschliff von Eisenmeteoriten]] |
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| ===Die Steigung m linearer Funktionen===
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| Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
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| <br /><ggb_applet id="dnhgkk6c" width="800" height="400" />
| | ===Stein-Eisenmeteorit=== |
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| Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
| | [[Datei:Meteorit-Brahin.jpg|miniatur|400px|zentriert|{{wpde|Brahin (Meteorit)|Meteorit Brahin}}]] |
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| Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus [[Datei:Steigung m .png|30px]] bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
| | ==Meteoriteneinschläge im Gebiet von Deutschland und Nachbarländern== |
| <br />
| | ===Meteoritenereignisse in historischer Zeit=== |
| | {{Zitat|[[File:Meteorit Hrascina 1751.jpg|miniatur|400px|Der Meteoreisenfall von Hraschina bei Agram am 26. Mai 1751, in: Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, XXXV. Band, No. 11; Vienna, 1859]]"Im Jahre von der Geburt des Gottessohnes MDLXXXI, am XXVI. Tag des Monats Juli, dem Tag der heiligen Anna, kam zwischen der XVII. und XVIII. Stunde aus Gottes Fügung im Thüringer Wald auf einem Ort, der Flur bei Niederreißen heißt, unweit von der Stadt Buttstätdt, ein sehr großer und schrecklicher Wind mit großem Lärm, Blitz und Donnern, aus welchem Wind ein großer Stein hinuntergefallen ist ..." |
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| {{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
| | |aus: Grausame und schreckliche Neuigkeiten - Der Meteoritenfall von Niederreißen Sonderdruck Nationale Forschungs- und Gedenkstätten der Klassischen Deutschen Litertur in Weimar, (nach 1982 gedruckt)}} |
| | In der gleichen Quelle werden weitere Meteoritenfälle beschrieben: |
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| Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]|3=Arbeitsmethode}}
| | *772 in Friesland: Als das Jahr Gottes 772 geschrieben wurde, regneten in Friesland bei den zwei Städten Esens und Norden Steine aus dem Himmel, unter welchen Steinen auch ein sehr großer Stein heruntergefallen ist, und auch mit schrecklichenm Donnern und Wind". |
| | *847 unweit von Hamburg |
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| Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
| | {{Zitat|[[File:Metorit caigut damunt Terrassa el 1704.jpg|miniatur|400px|El dia de Nadal del 1704 un gran llum va aparèixer al cel de Catalunya. Es tractava d’un meteorit d’un quilogram de tipus rocós que es va estavellar prop de Catalunya.]]Der Untermässinger Meteorit ist überaus berühmt. |
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| {{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|460|center}}
| | ... Waldarbeiter hatten den kosmischen Irrläufer im Jahr 1920 beim Roden von Wurzelstöcken auf dem Katzenberg bei Untermässing ...., entdeckt... Der Himmelskörper besteht zu 90 Prozent aus Eisen und zu nahezu zehn Prozent aus Nickel. Er war in 1,5 m Tiefe von den Wurzeln einer Fichte umwachsen, deren Alter man auf gut 100 Jahre schätzte. Ein Zeitgenosse schrieb über ein Ereignis am Abend des 9. August 1807 südlich von Nürnberg, dass eine Feuerkugel über den Himmel gerast sei - es könnte der Meterorit gewesen sein, der schließlich bei Untermässing aufschlug... Wissenschaftler fanden heraus, dass der 80-Kilo-Batzen rund 4,55 Milliarden Jahre alt ist und womöglich von der Vesta abstammt. |
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| | ... Kein Vergleich mit dem bisher bei Bitburg in Rheinland Pfalz: 1,5 Tonnen Trümmer aus dem All wurden dort 1805 entdeckt. Dieser schwerste je in Deutschland gefundene Meteorit wurde zur Eisengewinnung nahezu vollständig eingeschmolzen. |
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| '''Prüfe dich!''' <small>(Quiz erstellt von Florian Ferstl)</small>
| | |Nürnberger Nachrichten, 5. März 2013}} |
| <div class="multiplechoice-quiz">
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| Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte A und B auf der Geraden liegen.) (Je größer <math>\Delta y</math> bei gleichem <math>\Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
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| </div>
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| ===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
| | [[File:Knyahinya Meteorite Fall.jpg|miniatur|200px|Knyahinya Meteorit 1866, Ukraine]] |
| {{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}
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| <div class="grid">
| | Heute wird der Untermässinger Meteorit im Museum der Naturhistorischen Gesellschaft Nürnberg aufbewahrt. |
| <div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
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| <div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
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| </div>
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| Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
| | *[http://www.nordbayern.de/region/roth/himmelskorper-vor-dem-schrotthandler-gerettet-1.976050 Thalmässing: Himmelskörper vor dem Schrotthändler gerettet] |
| <div class="grid">
| | *[http://www.donaukurier.de/lokales/kurzmeldungen/hilpoltstein/Hilpoltstein-Untermaessinger-Meteorit-ist-ploetzlich-wieder-interessant;art74357,2726649 Untermässinger Meteorit plötzlich wieder interessant] |
| <div class="width-1-2"> leicht: m ist eine natürliche Zahl[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png]]</div>
| | *[http://www.br.de/themen/wissen/meteoriten-bayern-geschichte-100~_image-5_-9c6161500b35e0212ab78451135c1de70c63511f.html '''Bericht BR mit Filmen, Bildern von den jeweiligen Meteoriten und interaktiven Karten zum Thema'''] |
| <div class="width-1-2"> mittel: m ist negativ [[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png]]</div>
| | *{{wpde|Liste_der_Meteoriten_Deutschlands}} |
| </div>
| | *{{wpde|Meteorit}} |
| schwer: m ist ein Bruch
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| [[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png]] | |
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| | ===Der Neuschwansteinmeteorit=== |
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| {{Box|Übung 3 : Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu.|Üben}}
| | <iframe width="450" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/4_7W8xKPhPA" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen=""></iframe> |
| <div class="grid"> | |
| <div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
| |
| <div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
| |
| <div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
| |
| </div> | |
|
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| {{Box|Übung 4: Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört.|Löse S. 126 Nr. 5, 6
| | <iframe width="480" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/WSsJwqdMK0Y" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen=""></iframe> |
| | Aufnahmen einer Tierbeobachtungskamera |
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| S. 129 Nr. 2, 4 und
| | *{{wpde|Neuschwanstein (Meteorit)|Der Fall des Neuschwanstein-Meteoriten}} |
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| S. 130 Nr. 6, 7
| | ==Weblinks== |
| im Heft.|Üben}}
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| <br />
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-3">{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}</div> | | *{{wpde|Meteorit}} |
| <div class="width-1-3">{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.
| |
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| |
| https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
| |
| |Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
| |
|
| |
|
| https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|Tipp zu S. 129 Nr. 4|Verbergen}}</div>
| | ==Siehe auch== |
| <div class="width-1-3">{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
| | *[[Ries-Ereignis]] - ein Meteoriteneinschlag in Deutschland |
| https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
| |
| |Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}</div>
| |
| </div>
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| | | [[Kategorie:Astronomie]] |
| | | [[Kategorie:Geographie]] |
| | | [[Kategorie:Geologie]] |
| | | [[Kategorie:Physische Geographie]] |
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| ===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
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| {{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}
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| Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.
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| 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
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| 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
| |
| 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
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| Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
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| <div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 2.png]]</div>
| |
| <div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
| |
| </div>
| |
| Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
| |
| <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
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| </div>
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| | |
| {{Box|Übung 5|Bearbeite S. 126 Nr. 2 (du kannst immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz zeichnen)
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| S. 129 Nr. 3, Nr. 5 (du kannst immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz zeichnen) und
| |
| | |
| S. 130 Nr. 8.
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| Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|
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| {{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3: Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i): Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|Tipp 4 zu d bis i|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5: Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6: Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
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| |Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
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| https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll.
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| | |
| Wenn du bei den LearningApps Brüche so schreiben möchtest, wie du es aus dem Unterricht kennst, schreibe statt 2/3 folgendes $$\frac{2}{3}$$ |S. 130 Nr. 8 Alterative zur Partnerarbeit|Verbergen}}
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| ==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==
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| ===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
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| Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
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| Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
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| [[Datei:Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5 berichtigt.png]]
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| Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
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| {{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
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| {{Box|Übung 6: Wertetabelle erstellen|Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
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| https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
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| ===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
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| Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
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| Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?
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| geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
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| ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
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| In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
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| [[Datei:F(x) = 2x + 5 Punkt A liegt nicht auf dem Graphen.png]]
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| {{Box| Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
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| Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
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| Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
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| (Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
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| Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
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| <span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5 A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)
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| <span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5
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| 10 = 6 + 5
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| 10 = 11 <b>(f)</b>
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| Es ergibt sich eine <b>falsche</b> Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt <b>nicht</b> auf dem Graphen.
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| Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:
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| <b>Punktprobe:</b>
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| <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>
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| <span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5
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| 13 = 8 + 5
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| 13 = 13 <b>(w)</b>
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| Es ergibt sich eine <b>wahre</b> Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also <b>liegt</b> der Punkt auf dem Graphen.
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| Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center}}</div>
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| <div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center}}</div>
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| </div>
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| ===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
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| Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
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| 1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben
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| Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?
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| geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5
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| ges: zugehöriger y-Wert
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| Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:
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| f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5
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| <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5
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| = 3 + 5
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| = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)
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| Sie müssen 8€ bezahlen.
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| 2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:
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| Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
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| geg: y = 10 und f(x) = 2x+5
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| ges: zugehörige x-Koordinate
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| Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
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| f(x) = 2x + 5
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| <span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5
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| 5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2
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| 2,5 = <span style="color:red">x</span> P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)
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| Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
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| {{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}}
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| {{Box|Übung 7: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
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| {{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}
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| {{Box|Übung 8: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}}
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| <br />
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| ===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
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| {{Box| Übung 9: Aufstellen der Funktionsgleichung | Löse S. 130 Nr. 9 und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1= Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
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| Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
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| Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}
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| ===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
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| {{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
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| {{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
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| P<sub>y</sub> (0Ib)
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| Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
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| N (x<sub>N</sub>I0)|3=Merksatz}}
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| [[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]
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| {{Box|Übung 10: Nullstellen| Bestimme die Nullstellen der linearen Funktionen in der nachfolgenden App.|Üben}}
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| {{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}
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| {{Box|Übung 11: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|
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| {{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
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| y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
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| Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}
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| ==2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub - Anwendungen==
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| Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:
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| {{Box| Anwendungsaufgaben lösen|1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also
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| geg:...
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| ges:...
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| 2. Welche mathematischen Informationen habe ich?
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| - y-Achsenabschnitt
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| - Steigung
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| - Nullstelle
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| - einen beliebigen Punkt
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| 3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.
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| - Funktionsgleichung aufstellen
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| - Schaubild/Graph zeichnen
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| - Koordinaten von Punkte berechnen
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| 4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.|Merksatz}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|mini]]
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| Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.
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| a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.
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| b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.
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| c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe deine Ergebnis am Graphen.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] <math>\rightarrow</math>Kosten [€]
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| x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.|Tipp zu a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Du hast 20€ zur Verfügung. Also ist y = 20€. Setze dies in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach x auf.<br>
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| 20 = 3x + 5 |2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 2: Fahrradtour| [[Datei:Fahrradtour Graph.png|mini]]
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| Mit den geliehenen Rädern unternehmt zwei Freunde und du eine Fahrradtour.
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| Um 9:00 Uhr geht es los.
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| a) Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an.
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| b) Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung.
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| c) Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause. Wie muss der Graph dann verlaufen?|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt| Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.|Tipp 1 zu b)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.
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| Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.
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| Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.
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| Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt. |2=Tipp 2 zu b)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt| 1= Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.
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| Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.
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| Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.|2=Tipp 3 zu b)|3=Verbergen}}|Tipps zu b)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt| Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.|Tipp zu c)|Verbergen}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 3: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]]
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| Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden.
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| [[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]]
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| a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.
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| b) Auf welche Höhe befindest du dich nach 6 Sekunden? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.
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| c) Berechne die Nullstelle der Funktion und prüfe dein Ergebnis am Graphen. Welche Bedeutung hat die Nullstelle bezogen auf die Fallzeit und Fallhöhe?
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| d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle?
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| Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.
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| Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.|2=Tipp 3 zu a)|3=Verbergen}}
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| |2=Tipps zu a)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490
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| ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0.
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| [[Datei:Graph Fallschirmsprung.png|mini|center]]|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 4| Löse Buch S.138 Nr. 14 "Tour der Leiden"|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Steigung berechnet sich immer mit m = [[Datei:Steigung m .png|center]]
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| Berechne also den Höhenunterschied <math>\Delta </math>y und den Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x und bestimme damit die Steigung.|2= Tipp 1 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:
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| Höhenunterschied <math>\Delta </math>y = 740m – 720m = 20m;
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| Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x = 1,5km = 1500m;
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| | |
| also ist m = <math>\tfrac{20}{1500}</math> =0,013 = 1,3%|2= Tipp 2 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied <math>\Delta </math>y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x dividierst.|2= Tipp zu Nr. 14 b)|3=Verbergen}}
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| <br />
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| {{Fortsetzung|vorher=1) Zuordnungen und Funktionen|vorherlink=Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1)_Zuordnungen_und_Funktionen}}
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| [[Kategorie:Mathematik-digital]]
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| [[Kategorie:LearningApps]] | |
| [[Kategorie:Sekundarstufe 1]] | |
| [[Kategorie:Funktion]] | |
| [[Kategorie:H5P]] | |
