Main>Reinhard Schmidt |
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| <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | | __NOTOC__ |
| '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>
| | <div class="grid" style="margin-top:50px;"><div class="width-1-2"> |
| | <span style="color:#B75A27; background: #ffffff; padding:5 px; float:right; margin-top:-120px; font-size:120px;" class="brainy hdg-book03"> </span> |
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| | == Highlights == |
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| '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''
| | [[File:Buch-Icon.svg|75px|link=Altern und Tod]] [[Altern und Tod|Unterrichtseinheit: Altern und Tod]] |
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| == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | | [[File:Pfad-Icon.svg|75px|link=Lernpfade Ethik/Einführung in den Utilitarismus]] [[Lernpfade Ethik/Einführung in den Utilitarismus|Lernpfad: Einführung in den Utilitarismus]] |
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| === Funktionsgraph kennenlernen === | | [[File:Mitmachen-Icon.svg|75px|link=Dürfen wir Tiere essen?]] [[Dürfen wir Tiere essen?|Doppelstunde: Dürfen wir Tiere essen?]] |
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| {| cellspacing="10"
| | </div><div class="width-1-2" style="margin-top:20px;"> |
| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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| Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br />
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| # Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
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| #* Definitionsbereich
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| #* Monotonie
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| #* größte und kleinste Funktionswerte
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| # Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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| :{{Lösung versteckt|
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| : zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
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| : zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. | |
| }}
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| }}<br>
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| || <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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| filename="Woerler_001b.ggb" />
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| |}
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| === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | | == Suche im Bereich Ethik == |
| | <inputbox> |
| | type=search |
| | searchfilter=Kategorie:Ethik |
| | </inputbox> |
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| {| cellspacing="10"
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| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
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| Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
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| # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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| #* Definitionsbereich
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| #* Symmetrie
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| #* Monotonie
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| #* größte und kleinste Funktionswerte
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| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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| :{{Lösung versteckt|
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| : zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
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| : zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
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| }}
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| }}<br>
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| || <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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| filename="Woerler_001.ggb" />
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| |}
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| <!--
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| neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}-->
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| == Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln == | | ==[[:Kategorie:Ethik|'''Themenliste Ethik''']]== |
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| Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
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| Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel).
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| Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
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| :<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
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| Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
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| === Beispiel: Quadratwurzeln ===
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| [[Bild:diagonale.png|right|165px]] | |
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| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
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| Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:
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| :<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
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| Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
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| Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:
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| :<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
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| Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.
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| === Beispiel: Kubikwurzel ===
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| Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />
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| :<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
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| Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
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| :<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
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| == Einfluss von Parametern ==
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| <ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |
| filename="8_ax1nc_w.ggb" />
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| {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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| In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
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| # Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
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| # Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
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| :{{Lösung versteckt|
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| : Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
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| }}<br>
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| }}
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| <!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
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| == *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
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| <small>(freilwillig)</small>
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| ==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====
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| Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>
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| Wegen
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| :<math>(-2)^3 = -8</math>
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| erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
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| :<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
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| Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
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| :<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>
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| ==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====
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| Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
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| :<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
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| Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.
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