Lernpfad Energie/Armbrustschießen im Weltall und Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke: Unterschied zwischen den Seiten

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Auf dieser Seite findest Du eine Art Gedankenexperiment. Sollte dir das Beispiel vielleicht ein bisschen zu sehr nach Grundschule klingen, lasse dich nicht stören: Physiker sind häufig etwas kindisch.
__NOTOC__
{{Box|1=Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke|2=
[[Bild:Blatt.jpg|250px|right]]
In diesem Lernpfad wollen wir achsensymmetrische Vierecke und Dreicke kennenlernen. Dazu wollen wir als erstes nochmal wiederholen, was sich hinter dem Begriff der Achsensymmtrie verbirgt.


== Eine seltsame "Hausaufgabe" ==
'''Notiere alle Merksätze und Definitionen in dein Heft!'''
[[Datei:Ganymede g1 true.jpg|miniatur|Jupitermond Ganymed]]
[[Datei:Water ice clouds hanging above Tharsis PIA02653 black background.jpg|miniatur|Planet Mars]]
[[Datei:Armbrust MK1888.png|miniatur|Alte Abbildung einer Armbrust]]
Der Weltraum – unendliche Weiten. Wir befinden uns in einer fernen Zukunft …
Die Zwillinge Paul und Pauline haben bei Jugend forscht einen vierwöchigen Weltraum-Trip gewonnen, der zu mehreren Planeten und Monden des Sonnensystems führt.


Ihre Physiklehrerin, Frau Mileva, hat ihnen allerdings eine Art „Hausaufgabe“ mitgegeben: Sie sollen zwei Spielzeug-[http://de.wikipedia.org/wiki/Armbrust Armbrüste] mit auf ihren Weltraum-Ausflug nehmen, eine große und eine kleine. Sie sollen die „universelle Wirksamkeit“ der beiden Spielzeuge bestimmen. Was sie mit „universeller Wirksamkeit“ meint, sagt sie ihnen allerdings nicht. Sie meint, als junge Forscherinnen und Forscher sollen sie sich selbst etwas überlegen.
;Zeitbedarf: 45 Min.
;Material: dein Heft, Stifte und ein Lineal!


=== Schuss nach oben auf Himmelskörpern ===
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|left|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
Pauline hat eine Idee:
|3=Lernpfad}}


"Wir schießen auf den verschiedenen Himmelskörpern im Universum Bolzen mit den Armbrüsten nach oben. Dann messen wir, wie hoch sie fliegen. Natürlich schreiben wir auch alles auf, was sonst noch wichtig sein könnte: Z.B. der Ortsfaktor auf den Himmelskörpern <math>g</math> und die Masse <math>m</math> der Bolzen.
{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Achsenspiegelung}}}}
Vielleicht finden wir ja irgendeine Größe, die auf allen Himmelskörpern, also im ganzen Universum gleich ist. Dann wäre diese Größe sozusagen 'universell' "


Paul ist auch einverstanden: Auf dem Erdmond, dem Planeten Mars und auf dem Jupitermond Ganymed führen Sie sorgfältige Messungen durch. Hier eine Tabelle mit ihren Ergebnissen:
[[Bild:Spiegel1.jpg|400px|center]]


{| class="wikitable"
=1.Station: Wiederholung zur Achsensymmetrie=
Kannst du dich noch an den Begriff der Achsensymmetrie erinnern? Oder wann eine Figur achsensymmetrisch ist?
Nein? Dann wollen wir uns diese Begriffe zusammen erarbeiten. Vielleicht fällt dir ja dann wieder ein, was es damit auf sich hat.
Also los geht´s!
 
{{Box|1=Symmetrieachse|2=
In unserem alltäglichen Leben gibt es einige Gegenstände, die besondere Eigenschaften aufweisen.Hier siehst du einige Beispiele dafür. Erkennst du die Besonderheiten?
 
[[Bild:Schmetterling1.jpg|300px]] [[Bild:Blatt.jpg|250px]] [[Bild:Residenz.jpg|290px]] [[Bild:Verkehrszeichen.jpg|200px]]
 
 
{{Lösung versteckt|
Du siehst, dass alle Figuren in der Mitte geteilt werden können. Beide Teile haben dieselben Merkmale. Sie werden daher '''symmetrisch''' genannt. Wenn man die beiden Teile übereinander legt, überdecken sie sich, d.h sie sind dann '''deckungsgleich''' oder '''kongruent'''. Da diese Gegenstände aus der Natur kommen, sind sie natürlich nicht zu 100% kongruent. Die Gerade in der Mitte nennen wir '''Symmetrieachse'''.
 
[[Bild:SchmetterlingA.jpg|250px]] [[Bild:Blatt1.jpg|250px]] [[Bild:Residenz1.jpg|250px]] [[Bild:Verkehrszeichen1.jpg|250px]]
}}
 
Fallen dir noch mehr Gegenstände aus dem Alltag ein, die symmetrisch sind? Schreibe sie in deinem Heft auf!
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=Was heißt achsensymmetrisch und kongruent?|2=
[[Bild:Spiegel2.jpg|200px|right]]
 
* Eine Figur heißt '''achsensymmetrisch''', falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken.
* Die beiden Hälften sind dann '''kongruent''' zueinander.
* Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt '''Symmetrieachse'''.
* Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder diagonal durch die Figur verlaufen.
* Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben!
|3=Merke}}
 
{{Box|1=Ordne zu!|2=
<big>'''Zuordnung'''</big>
 
Ordne die Bilder den richtigen Eigenschaften zu. Dazu musst du die Flaggen mit der linken Maustaste ziehen und fallen lassen, wenn der Hintergrund rot wird.
 
Übertrage anschließend je zwei Flaggen mit einer und zwei Symmetrieachsen in dein Heft und zeichne die Symmetriachsen ein!
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| keine Symmetrieachse|| [[Bild:Griechenland.gif|70px]] || [[Bild:USA.gif|70px]]  || [[Bild:Tschecien.gif|70px]] ||
|-
|-
! Armbrust!! Himmelskörper (Ortsfaktor g [N/kg]) !! Bolzenmasse m [kg] !! max. Flughöhe h [m]
| eine Symmetrieachse || [[Bild:Belgien.gif|70px]] || [[Bild:Norwegen.gif|70px]] || [[Bild:Deutschlandflagge.gif|70px]] ||
|-
|-
| klein || Mars (3,7) || 0,01|| 67,6
| zwei Symmetrieachsen || [[Bild:Jamaika.gif|70px]] || [[Bild:Österreich.gif|70px]] || [[Bild:Mazedonien.gif|70px]] ||
|-
|-
| klein || Mars (3,7) || 0,02 || 33,8
| vier Symmetrieachsen || [[Bild:Schweiz.gif|70px]] ||
|}
</div>
 
Konntest du alle Flaggen richtig zuordnen? Prima! Dann können wir ja zur nächsten Aufgabe gehen.
 
{{Box|1=Zeichne achsensymmetrische Figuren|2=
 
Übertrage die drei Figuren in dein Heft und erweitere sie zu einer achsensymmetrischen Figur!
 
[[Bild:Hausvervollst.png|300px]] [[Bild:Stern vervollst.png|300px]] [[Bild:Figur.png|300px]]
 
Hier findest du die Lösung! 
 
{{Lösung versteckt|
[[Bild:Haus3.png|300px]] [[Bild:Stern1.png|300px]]  [[Bild:Figur1.png|300px]]
}}
|3=Arbeitsmethode}}
'''Ich denke, du weißt jetzt wieder, was der Begriff der Achsensymmetrie heißt und was achsensymmetrische Figuren sind!'''
[[Bild:Spiegel3.jpg|400px|center]]
 
Bevor wir mit einem neuen Thema anfangen, lernen wir noch eine 2.Definition für das Wort achsensymmetrisch kennen. Diese hängt mit der Achsenspiegelung zusammen, die wir in den beiden vorherigen Lernpfaden durchgenommen haben.
 
{{Box|1=Definition Achsensymmetrische Figur|2=
Eine Figur, die man durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abbilden kann, heißt '''achsensymmetrisch'''.
|3=Merksatz}}
 
=2.Station: Achsensymmetrische Vierecke=
 
{{Box|1=Finde achsensymmetrische Vierecke|2=
In dieser Aufgabe musst du herausfinden, welche Vierecke achsensymmetrisch sind. Es befinden sich fünf Vierecke im Such-Rätsel. Wenn du dich an Aufgabe 2 erinnerst, fallen dir vielleicht schon zwei Vierecke ein, die du bereits kennst. Viel Spaß beim Suchen!
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
<div class="suchsel-quiz"><br>
 
Finde die Wörter! ''(Waagrecht (von links nach rechts), senkrecht (von oben nach unten)
und diagonal (von links unten nach rechts oben oder von oben links nach unten rechts),  
gefundene Wörter werden grün markiert)''
{|
|Quadrat
|-
|-
| klein || Erdmond (1,6) || 0,01|| 156,2
|Rechteck
|-
|-
| klein || Erdmond (1,6) || 0,02|| 78,1
|Raute
|-
|-
| klein || Ganymed (1,4) || 0,01|| 178,6
|Trapez
|-
|-
| klein || Ganymed (1,4)|| 0,02|| 89,3
|Drachen
|}
</div>
Hast du alle Vierecke gefunden? Falls du nicht auf alle gekommen bist, findest du hier die Lösung.
{{Lösung versteckt|
 
Es gibt also fünf Vierecke, die achsensymmetrisch sind: das Quadrat, das Rechteck, die Raute, der Drachen und das Trapez.
[[Bild:Vierecke.png|600px|center]]
<br>'''Achtung!''' Nicht alle Trapeze sind achsensymmetrisch. Nur das gleichschenklige Trapez gehört in diese Gruppe.
}}
 
{{Box|1=Wieviele Symmetrieachsen?|2=
In dieser Aufgabe wollen wir herausfinden, wieviel Symmetrieachsen jedes der Vierecke hat.
<br>
Ordne den Vierecken ihren Namen und das Bild ihrer Symmetrieachsen  zu. Dazu musst du die Bilder mit der linken Maustaste ziehen und fallenlassen, wenn der Hintergrund rot wird. Viel Spaß!
 
|3=Arbeitsmethode}}
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
 
{|
|-
|-
| groß|| Mars (3,7) || 0,01|| 270,4
| [[Bild:Quadrat.png|70px]]||[[Bild:QuadratO.png|75px]]||Quadrat
|-
|-
| groß|| Mars (3,7) || 0,02 || 135,2
| [[Bild:Raute1.png|60px]]||[[Bild:RauteO.png|50px]]||Raute
|-
|-
| groß|| Erdmond (1,6) || 0,01|| 624,8
| [[Bild:Rechteck.png|90px]]||[[Bild:RechteckO.png|90px]]||Rechteck
|-
|-
| groß|| Erdmond (1,6) || 0,02|| 312,4
| [[Bild:Drachen.png|110px]]||[[Bild:DrachenO.png|110px]]||Drachen
|-
| groß|| Ganymed (1,4) || 0,01|| 714,4
|-
| groß|| Ganymed (1,4)|| 0,02|| 357,2
|-
|-
| [[Bild:Trapez.png|110px]]||[[Bild:TrapezO.png|75px]]||Trapez
|}
|}
</div>
<br>
Überprüfe, ob du alle Symmetrieachsen gefunden hast.
{{Lösung versteckt|
Hier siehst du nochmal alle Symmetrieachsen eingezeichnet.
[[Bild:Vierecke1.png|center]]
}}
{{Box|1='''Achsensymmetrische Vierecke:'''|2=
[[Bild:Spiegel2.jpg|200px|right]]
Es gibt fünf achsensymmetrische Vierecke: das '''Quadrat''', das '''Rechteck''', die '''Raute''', den '''Drachen''' und das '''gleichschenklige Trapez'''.
<br>
Dabei besitzen Drachen und Trapez jeweils eine Symmetrieachse, das Rechteck und die Raute zwei und das Quadrat sogar vier.
<br>
Man kann die Vierecke durch die Lage ihrer Symmetrieachsen unterscheiden. Dabei gibt es zwei Fälle.
*'''1. Fall''': Die Symmetrieachse verläuft durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks (Drachen, Raute).
*'''2. Fall''': Die Symmetrieachse geht durch die Mittelpunkte gegenüberliegender, paralleler Seiten eines Vierecks (Rechteck, Trapez).
*Beim Quadrat trifft sowohl Fall 1, als auch Fall 2 zu.
|3=Merksatz}}


{{Box
{{Box|1=Test|2=
|Aufgaben 1.1: Ein grober Blick auf die Messdaten
Du kennst jetzt alle achsensymmetrsichen Vierecke und weißt, wieviele Symmetrieachsen sie haben. Kannst du auch folgende Fragen dazu richtig beantworten? Dabei können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
|Paul schreibt in sein elektronisches Notizbuch einen kurzen Text über seine ersten Eindrücke. Dem Speicher ist allerdings die kosmische Höhenstrahlung nicht bekommen. Fülle die Lücken aus:
<div class="multiplechoice-quiz">
|Arbeitsmethode
 
}}
Bei welchem Viereck stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander? (Raute) (!Trapez) (Rechteck)
<div class="lueckentext-quiz">
 
Wenn wir auf dem gleichen Himmelskörper mit der gleichen Armbrust schießen, fliegt ein schwerer Bolzen '''weniger hoch''' als ein leichter Bolzen. Wenn ich mich nicht sehr täusche, dann ist das
Welche Vierecke haben mehr als eine Symmetrieachse?(!Drachen) (Quadrat) (Raute) (!Trapez) (Rechteck)
'''Produkt''' aus der Bolzenmasse <math>m</math> und der maximalen Flughöhe <math>h</math> bei sonst gleichen Bedingungen immer gleich. Frau Mileva nennt so einen Zusammenhang, glaube ich, '''antiproportional'''.
 
Noch so ein Zusammenhang besteht auch zwischen der '''Flughöhe''' und dem '''Ortsfaktor'''.
Die Raute hat ...? (je zwei Paar gleich großer Winkel) (!rechte Winkel) (!ein Paar gleich großer Winkel)
Wenn ich alle Bedingungen gleich lasse und nur die Armbrust wechsle, schießt die '''kleine''' Armbrust weniger hoch. Diese Armbrust ist also wohl '''weniger wirksam'''.
 
Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten?(!Drachen) (Quadrat) (!Rechteck) (Raute)


Wir wollen eine universelle Formel für die Wirksamkeit finden; nennen wir die Wirksamkeit als Formelzeichen doch einfach mal '''<math>W</math>'''. Dann müssen wir irgendwie Masse <math>m</math>, Ortsfaktor <math>g</math> und maximale Höhe <math>h</math> so miteinander verrechnen, dass immer der gleiche Wert für die gleiche Armbrust herauskommt. Die drei Größen haben unterschiedliche Maßeinheiten. Die Rechenarten '''Plus und Minus''' kann man also von vornherein vergessen. Bleiben '''Mal und Geteilt'''.
Bei welchem Viereck verlaufen die Symmetrieachsen durch die Seitenmitten? (Rechteck) (!Raute) (Quadrat) (!Raute)
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}


Hast du alle Fragen richtig beantwortet? Dann geht´s jetzt zur nächsten Station.
<br>
[[Bild:Spiegel4.jpg|300px|center]]
<br>


{{Box
=3.Station: Achsensymmetrische Dreiecke=
|Aufgaben 1.2: Kreatives Formelfinden
'''Es gibt zwei achsensymmetrische Dreiecke. Mal sehen, ob du herausfindest, wie sie heißen.'''
|Kannst Du nach Pauls Überlegungen eine Formel finden, die bei allen Zeilen der kleinen Armbrust immer wieder den gleichen Wert liefert und bei allen Zeilen der großen Armbrust auch immer nur einen einzigen Wert (jedenfalls ungefähr). Diese beiden Werte sollten natürlich unterschiedlich sein. Eigentlich ist die Lösung sehr einfach; falls Du aber nach fünf Minuten nicht darauf kommst, schau Dir mal die fertige Lösung an.


{{Lösung versteckt|Eine Formel, die funktioniert, wäre
{{Box|1=Erzeuge ein achsensymmetrische Dreieck|2=
Ziehe am Punkt C. Wann wird das Dreieck achsensymmetrisch? Wieviele Symmetrieachsen hat das Dreieck?


<math>W= m \cdot g \cdot h</math>. |Lösung anzeigen|Verbergen}}
<ggb_applet height="500" width="900" showResetIcon="true" id="upx7awy8" />  
|3=Arbeitsmethode}}


Versuche die Fragen richtig zu beantworten! Klicke dabei entweder auf Richtig oder Falsch!


Überprüfe Deine Formel an mindestens 5 Zeilen der Tabelle. Falls Du das Ergebnis zufriedenstellend findest, schreibe einen entsprechenden Notizbucheintrag für unsere beiden Jungforscher, den sie so an Frau Mileva schicken können. Darin sollte auch die Maßeinheit für die universelle Wirksamkeit beschrieben werden, denn zu (fast) jeder physikalischen Größe gehört auch eine Maßeinheit. Und natürlich sollte auch die Wirksamkeit der beiden Armbrüste berechnet werden.
<quiz display="simple">
|Arbeitsmethode
{Die Symmetrieachse muss durch einen Eckpunkt des Dreiecks gehen?}
}}
+ Richtig
- Falsch
|| Die Symmetrieachse geht hier durch den Eckpunkt C. Dieser Punkt ist ein Fixpunkt.


=== Schüsse im freien Weltraum ===
{Das Dreieck wird durch eine Symmetrieachse halbiert?}
[[Datei:Space Shuttle vs Soyuz TM - to scale drawing.png|miniatur|Laderaum eines Raumschiffs]]
+ Richtig
Während einer längeren Flugstrecke durch's All meint Paul:
-Falsch
„Was ist, wenn Frau Mileva mit 'universell' gar nicht die verschiedenen Himmelskörpern gemeint hat, sondern die Wirksamkeit in Bereichen des Universums weit weg von jedem Himmelskörper?“
|| Ja! Denn die Symmetrieachse verläuft durch den Eckpunkt C und halbiert daher die Seite AB (Basis des Dreiecks). Also auch das Dreieck.
Pauline hält dagegen: „Unseren Test mit der Flughöhe können wir dann aber vergessen. Wir wissen ja, dass ohne Schwerkraft der Bolzen ewig weiterfliegen würde, wenn er nicht irgendwo anstößt.“
Paul: „Vielleicht sollten wir dann die Geschwindigkeit des Bolzens messen. Das ist ja kein Problem, wenn wir im langen Laderaum des Raumschiffs den Bolzen abschießen und die Flugzeit bis zur anderen Seite des Laderaums messen.“


Wieder stellen sie eine Tabelle auf. Die Wirksamkeit aus dem ersten Experiment schreiben sie schon einmal dazu.
{Die Winkel am Punkt A und B müssen unterschiedlich groß sein, damit das Dreieck achsensymmetrisch wird! }
- Richtig
+ Falsch
|| Falsch! Die Winkel sind genau gleich groß, wenn das Dreieck achsensymmetrisch ist.


{| class="wikitable"
{Zwei Seiten im Dreieck müssen gleich lang sein?}
|-
+ Richtig
! Armbrust!! Wirksamkeit aus Vorgängerexperiment W [N <math>\cdot</math>m] !! Bolzenmasse m [kg] !! Geschwindigkeit v [m/s]
- Falsch
|-
|| Ja! Die Seiten AC und BC sind gleich lang. Sie heißen Schenkel des Dreiecks.
| klein || 2,5  || 0,01|| 22,4
|-
| klein || 2,5 || 0,02 || 15,8
|-
| groß|| 10 || 0,01|| 44,8
|-
| groß|| 10 || 0,02 || 31,6
|-
|}


{{Box
{Das Dreieck hat genau zwei Symmetrieachsen.}
|Aufgaben 1.3: Schwierigere Zusammenhänge
- Richtig
|Pauline macht sich einen Notizbucheintrag. Auch bei ihrem Gerät hat die kosmische Höhenstrahlung zugeschlagen.
+ Falsch
|Arbeitsmethode
|| Das Dreieck hat nur eine Symmetrieachse. Nämlich die durch den Eckpunkt C.
}}


<div class="lueckentext-quiz">
</quiz>
Ob man es hinbekommt, auch aus den Geschwindigkeiten der verschiedenen Bolzen unsere  ersten Werte für die Wirksamkeit auszurechnen. Vielleicht sollten wir zuerst einmal annehmen, dass die Wirksamkeit wieder proportional zur Bolzenmasse ist, denn das war ja auch bei unseren ersten Versuchen so. Die Formel wäre dann also '''<math>W=</math>''' '''<math>m \cdot</math>''' '''irgendwas mit <math>v</math>'''.


Aber bei der Geschwindigkeit wird's schwierig: Man sieht, dass bei '''vierfacher''' Wirksamkeit nur die '''doppelte''' Geschwindigkeit gemessen wird, oder anders gesagt: '''verdoppelt''' sich die Geschwindigkeit, '''vervierfacht''' sich die Wirksamkeit. </div>
Na kannst du dir denken, wie dieses Dreick heißt?


Hier der Merksatz:


{{Box
{{Box|1='''Gleichschenkliges Dreieck:'''|2=
|Aufgaben 1.4: Eine neue Formel für die Wirksamkeit
* Ein achsensymmetrisches Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Sie werden '''Schenkel''' des Dreiecks genannt.[[Bild:Gleichschenklig.png|400px|right]]
|
* Daher nennt man solch ein Dreieck '''gleichschenkliges Dreieck'''.
* Die dritte Seite des Dreiecks wird als Grundlinie oder '''Basis''' bezeichnet.
* Außerdem sind die beiden Winkel an der Basis gleich groß. Sie heißen daher '''Basiswinkel'''.
* Die Symmetrieachse des Dreiecks geht durch den Eckpunkt, welcher der Basis  gegenüberliegt.
* Dieser Eckpunkt ist ein Fixpunkt.
* Das Dreieck wird durch die Symmetrieachse halbiert. Dabei wird je ein Schenkel auf den zweiten abgebildet und umgekehrt.
|3=Merksatz}}


Kannst Du nach Paulines Notizbucheintrag eine passende Formel finden, die die Wirksamkeit in Abhängigkeit von der Bolzenmasse und der Geschwindigkeit des Bolzens beschreibt? Es ist nicht ganz leicht, aber probiere einfach ein bisschen herum; das machen Physiker auch häufig so. Klicke erst auf die Lösung, wenn Du entweder selbst eine sinnvoll erscheinende Lösung hast, oder mindestens 5 Minuten vergeblich herumprobiert hast.


{{Lösung versteckt|Eine Formel, die funktioniert, wäre
{{Box|1=Vierecke in Dreiecke zerlegen|2=
Alle achsensymmetrischen Vierecke können durch ihre Diagonalen in gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Zeichne dir die Vierecke und die Teildreicke in dein Heft. Zähle dann wieviel Dreiecke du in jedem Viereck entdeckst!


<math>W= m \cdot \frac{1}{2}\cdot v^2</math>.
{{Lösung versteckt|


Meistens schreibt man bei Formeln die Zahlen vorne hin. Dann würde die Formel so aussehen:
'''Drachen'''<br>
[[Bild:DrachenD.png|200px]] <br>Den Drachen kann man in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn der Drachen hat je zwei gleich lange Seiten. <br>
<br>
'''Raute'''<br>
[[Bild:RauteD.png|450px]] <br>Die Raute kann man in vier gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn die Raute hat bekanntlich vier gleich lange Seiten. Außerdem sind diese Dreicke jeweils kongruent zueinander.<br>
<br>
'''Trapez'''<br>
[[Bild:TrapezD.png|300px]] <br> Das Trapez kann insgesamt in vier Teildreiecke zerlegt werden, davon sind zwei gleichschenklig. <br>
<br>
'''Rechteck'''<br>
[[Bild:RechteckD.png|400px]] <br> Das Rechteck besitzt insgesamt vier gleichschenklige Teildreiecke. Dabei sind je zwei Dreiecke kongruent zueinander.<br>
<br>
'''Quadrat'''<br>
[[Bild:QuadratD.png|600px]] <br>Das Quadrat kann man sogar in insgesamt acht gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Hier gibt es sogar Dreiecke die gleichschenklig und rechtwinklig sind. Des Weiteren sind alle Dreiecke kongruent.
}}
|3=Arbeitsmethode}}


<math>W= \frac{1}{2} \cdot m  \cdot v^2</math>.  
{{Box|1=Gleichseitiges Dreieck|2=
Es gibt noch ein achsensymmetrisches Dreieck. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks.
<br>
[[Bild:Gleichseitig.png|300px|center]]
<br>
<div class="schuettel-quiz">


Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Achte dabei auf Rechtschreibfehler.


Teste diese Lösung an den Messwerten, vor allem, wenn Du selbst nicht auf eine Lösung gekommen warst.|Anzeigen|Verbergen}}
Bei diesem Dreieck sind alle '''drei''' Seiten gleich lang. Es wird daher '''gleichseitiges''' Dreieck genannt.
|Arbeitsmethode
}}


== Wo bleibt die Wirksamkeit ==
Dabei können je zwei Seiten des Dreiecks die '''Schenkel''' sein. Im gleichseitigen Dreick gibt es daher drei
Auf einer langweiligen Flugstrecke stellt Pauline eine Frage, die sie schon seit ein paar Tagen umtreibt:
'''Symmetrieachsen'''.


"Nur eine gespannte Armbrust ist doch wirksam. Wenn ich aber auf einem Planeten nach oben schieße, ist die Armbrust aber nach weniger als einer Sekunde entspannt, sie sollte also nicht mehr wirksam sein. Trotzdem fliegt der Bolzen noch weiter und weiter nach oben. Irgendwo muss die Wirksamkeit doch geblieben sein".
Außerdem sind alle drei '''Winkel''' gleich groß. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck folgt, dass die Winkel das Maß 60° besitzen.


"Stimmt schon," meint Paul "bei der Geschwindigkeitsmessung war das einfacher. Da war der Bolzen direkt nach dem Abschuss schon schnell."
</div>
Konntest du zu allen Wörtern die richtige Lösug finden? Dann weißt du ja jetzt, wie das Dreieck heißt. Super!
|3=Arbeitsmethode}}


"Na, schnell war der Bolzen beim Abschuss nach oben ja zunächst auch", entgegnet Pauline, "er wurde dann halt immer langsamer, je höher der Bolzen kam".
Hier findest du den Merksatz:


"Kann es sein", denkt Paul laut nach, "dass die Wirksamkeit sozusagen irgendwie in der Geschwindigkeit des Bolzens steckt?“
{{Box|1='''Gleichseitiges Dreieck:'''|2=
* Ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ist das '''gleichseitige Dreieck'''. [[Bild:Gleichseitig1.png|300px|right]]
* Bei diesem Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
* Es können je zwei Seiten des Dreiecks die Schenkel sein, daher hat dieses Dreieck drei Symmetrieachsen.
* Ein gleichseitiges Dreieck hat außerdem drei gleich große Winkel.
* Aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks ergibt sich für jeden Winkel das Maß 60°.
|3=Merksatz}}


"Und wo ist sie dann hin, als der Bolzen langsamer wurde?"


"Naja, einfach verschwunden vielleicht; verbraucht sozusagen".
=4.Station: Übungen=


"Dann ist es es aber seltsam", führt Pauline den Gedanken weiter, "dass der Bolzen dann wieder schnell nach unten kam – beinahe hätte er mich bei einem Experiment getroffen, das war richtig gefährlich. Eigentlich hatten wir doch gesagt, dass man Wirksamkeit braucht, um den Bolzen schnell zu machen. Und da oben am höchsten Punkt war ja keine andere Armbrust ...".
{{Box|1=Memory|2=
Hier gibts nochmal ein Memory. Es gehören immer drei Kärtchen zusammen.
Folgende Kategorien sind zu finden:
* achsensymmetrische Verkehrsschilder
* nicht achsensymmetrische Verkehrsschilder
* achsensymmetrische Automarken
* nicht achsensymmetrische Automarken
* achsensymmetrische Gegenstände aus dem Alltag
|3=Üben}}


[[Datei:Energieumwandlung Armbrust.png|rechts|300px]]
<div class="memo-quiz">
{|
|-
| [[Bild:Achtung.jpg|100px]] || [[Bild:Halteverbot2.jpg|80px]] || [[Bild:Sackgasse.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:PfeilR.jpg|100px]] || [[Bild:Zebrastreifen1.jpg|100px]] || [[Bild:Halteverbot.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Mazda.jpg|100px]] || [[Bild:Renault.jpg|80px]] || [[Bild:Mercedes1.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Skoda1.jpg|100px]] || [[Bild:Seat.jpg|100px]] || [[Bild:Fiat.jpg|100px]]
|-
| [[Bild:Gulli.jpg|100px]] || [[Bild:Fussmatte1.jpg|100px]] || [[Bild:Ahorn.jpg|100px]]
|}
</div>


"Kann es sein, dass sich die Wirksamkeit erst in der Armbrust gesteckt hat, dann in der Geschwindigkeit des Bolzens, dann in der Höhe des Bolzens über dem Planeten, und dann wieder in der Geschwindigkeit des Bolzens?"


Er macht eine Skizze:
{{Box|1=Kreuze an!|2=
<quiz display="simple">
{''' Kreuze die richtige Antwort an. Es können auch mehrere Kästchen richtig sein.'''
| typ="[]"}
| Quadrat | Drachen | Raute | Rechteck| Trapez | gleichschenkliges Dreieck | gleichseitiges Dreieck


"Und vor dem Spannen der Armbrust?" fragt Pauline wieder
-----++ Welche der Figuren hat keine Diagonalen?
+--+--- Welche der Figuren besitzt rechte Winkel?
+-++--- Bei welchen Figuren stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander?
+++--++ Bei welchen Figuren verläuft die Symmetrieachse durch mind. einen Eckpunkt?
+--+--+ Welche Figur hat mehr als zwei gleich große Winkel?
++--++- Welche Figur besitzt nur eine Symmetrieachse und welche hat die meisten Symmetrieachsen?


"Vorher war sie wohl in deinen oder meinen Muskeln"
</quiz>
|3=Üben}}


"Und noch vorher?"
{{Box|1=Zusatzaufgabe|2=
Du kennst bereits achsensymmetrische Dreiecke und Vierecke und deren Symmetrieachsen. Aber wieviel Symmetrieachsen hat eigentlich ein Kreis?
[[Bild:KreisS1.png|200px|center]]


"Vielleicht in deinem Frühstück!"
{{Lösung versteckt|


"Apropos Frühstück. Beim Frühstück habe ich eine Funknachricht von Frau Mileva bekommen. Wir sollen in der Bordbibliothek mal schauen, was man unter <tt>altgriechisch wirksamkeit begriffsklärung</tt> findet."
[[Bild:KreisS.png|200px|center]]
Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Hier siehst du einige davon eingezeichnet. Alle Symmetrieachsen verlaufen dabei durch den Mittelpunkt des Kreises. Das heißt alle Symmetrieachsen sind Zentralen des Kreises. Somit stellt jede Zentrale eine Spiegelachse des Kreises dar, an der er auf sich selbst abgebildet werden kann.  
}}
|3=Üben}}
<br>
[[Bild:Spiegel9.jpg|400px|center]]


{{Box
|Aufgaben 1.5: Internet-Recherche
|
Ihr habt zwar nicht die Bordbibliothek der Zukunft, aber vielleicht einen Zugriff auf's heutige Internet. Vielleicht versteckt sich ja hinter Frau Milevas Begriff der "Wirksamkeit" ein ganz anderer Begriff, wenn man ihn vom Deutschen ins klassische Griechisch übersetzt.


In diesem Fall wäre es interessant, einmal zu schauen, ob wir Paulines und Pauls Formeln im Internet wiederfinden.
{{Fortsetzung
|Arbeitsmethode
|vorher=Eigenschaften der Achsenspiegelung
|vorherlink=Eigenschaften der Achsenspiegelung
}}
}}


{{Lernpfad Energie}}
 
[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Sekundarstufe_1]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:Achsenspiegelung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Dreiecke]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Vierecke]]
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Version vom 19. November 2018, 21:52 Uhr


Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke
Blatt.jpg

In diesem Lernpfad wollen wir achsensymmetrische Vierecke und Dreicke kennenlernen. Dazu wollen wir als erstes nochmal wiederholen, was sich hinter dem Begriff der Achsensymmtrie verbirgt.

Notiere alle Merksätze und Definitionen in dein Heft!

Zeitbedarf
45 Min.
Material
dein Heft, Stifte und ein Lineal!
Mathematik-digital


Lernpfadgruppe Mathematik-digital.de
Spiegel1.jpg

1.Station: Wiederholung zur Achsensymmetrie

Kannst du dich noch an den Begriff der Achsensymmetrie erinnern? Oder wann eine Figur achsensymmetrisch ist? Nein? Dann wollen wir uns diese Begriffe zusammen erarbeiten. Vielleicht fällt dir ja dann wieder ein, was es damit auf sich hat. Also los geht´s!


Symmetrieachse

In unserem alltäglichen Leben gibt es einige Gegenstände, die besondere Eigenschaften aufweisen.Hier siehst du einige Beispiele dafür. Erkennst du die Besonderheiten?

Schmetterling1.jpg Blatt.jpg Residenz.jpg Verkehrszeichen.jpg


Du siehst, dass alle Figuren in der Mitte geteilt werden können. Beide Teile haben dieselben Merkmale. Sie werden daher symmetrisch genannt. Wenn man die beiden Teile übereinander legt, überdecken sie sich, d.h sie sind dann deckungsgleich oder kongruent. Da diese Gegenstände aus der Natur kommen, sind sie natürlich nicht zu 100% kongruent. Die Gerade in der Mitte nennen wir Symmetrieachse.

SchmetterlingA.jpg Blatt1.jpg Residenz1.jpg Verkehrszeichen1.jpg

Fallen dir noch mehr Gegenstände aus dem Alltag ein, die symmetrisch sind? Schreibe sie in deinem Heft auf!


Was heißt achsensymmetrisch und kongruent?
Spiegel2.jpg
  • Eine Figur heißt achsensymmetrisch, falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken.
  • Die beiden Hälften sind dann kongruent zueinander.
  • Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt Symmetrieachse.
  • Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder diagonal durch die Figur verlaufen.
  • Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben!


Ordne zu!

Zuordnung

Ordne die Bilder den richtigen Eigenschaften zu. Dazu musst du die Flaggen mit der linken Maustaste ziehen und fallen lassen, wenn der Hintergrund rot wird.

Übertrage anschließend je zwei Flaggen mit einer und zwei Symmetrieachsen in dein Heft und zeichne die Symmetriachsen ein!
keine Symmetrieachse Griechenland.gif USA.gif Tschecien.gif
eine Symmetrieachse Belgien.gif Norwegen.gif Deutschlandflagge.gif
zwei Symmetrieachsen Jamaika.gif Österreich.gif Mazedonien.gif
vier Symmetrieachsen Schweiz.gif

Konntest du alle Flaggen richtig zuordnen? Prima! Dann können wir ja zur nächsten Aufgabe gehen.


Zeichne achsensymmetrische Figuren

Übertrage die drei Figuren in dein Heft und erweitere sie zu einer achsensymmetrischen Figur!

Hausvervollst.png Stern vervollst.png Figur.png

Hier findest du die Lösung!

Haus3.png Stern1.png Figur1.png

Ich denke, du weißt jetzt wieder, was der Begriff der Achsensymmetrie heißt und was achsensymmetrische Figuren sind!

Spiegel3.jpg

Bevor wir mit einem neuen Thema anfangen, lernen wir noch eine 2.Definition für das Wort achsensymmetrisch kennen. Diese hängt mit der Achsenspiegelung zusammen, die wir in den beiden vorherigen Lernpfaden durchgenommen haben.


Definition Achsensymmetrische Figur
Eine Figur, die man durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abbilden kann, heißt achsensymmetrisch.

2.Station: Achsensymmetrische Vierecke

Finde achsensymmetrische Vierecke
In dieser Aufgabe musst du herausfinden, welche Vierecke achsensymmetrisch sind. Es befinden sich fünf Vierecke im Such-Rätsel. Wenn du dich an Aufgabe 2 erinnerst, fallen dir vielleicht schon zwei Vierecke ein, die du bereits kennst. Viel Spaß beim Suchen!

Finde die Wörter! (Waagrecht (von links nach rechts), senkrecht (von oben nach unten) und diagonal (von links unten nach rechts oben oder von oben links nach unten rechts), gefundene Wörter werden grün markiert)

Quadrat
Rechteck
Raute
Trapez
Drachen

Hast du alle Vierecke gefunden? Falls du nicht auf alle gekommen bist, findest du hier die Lösung.


Es gibt also fünf Vierecke, die achsensymmetrisch sind: das Quadrat, das Rechteck, die Raute, der Drachen und das Trapez.

Vierecke.png


Achtung! Nicht alle Trapeze sind achsensymmetrisch. Nur das gleichschenklige Trapez gehört in diese Gruppe.


Wieviele Symmetrieachsen?

In dieser Aufgabe wollen wir herausfinden, wieviel Symmetrieachsen jedes der Vierecke hat.

Ordne den Vierecken ihren Namen und das Bild ihrer Symmetrieachsen zu. Dazu musst du die Bilder mit der linken Maustaste ziehen und fallenlassen, wenn der Hintergrund rot wird. Viel Spaß!

Zuordnung

Quadrat.png QuadratO.png Quadrat
Raute1.png RauteO.png Raute
Rechteck.png RechteckO.png Rechteck
Drachen.png DrachenO.png Drachen
Trapez.png TrapezO.png Trapez


Überprüfe, ob du alle Symmetrieachsen gefunden hast.

Hier siehst du nochmal alle Symmetrieachsen eingezeichnet.

Vierecke1.png


Achsensymmetrische Vierecke:
Spiegel2.jpg

Es gibt fünf achsensymmetrische Vierecke: das Quadrat, das Rechteck, die Raute, den Drachen und das gleichschenklige Trapez.
Dabei besitzen Drachen und Trapez jeweils eine Symmetrieachse, das Rechteck und die Raute zwei und das Quadrat sogar vier.
Man kann die Vierecke durch die Lage ihrer Symmetrieachsen unterscheiden. Dabei gibt es zwei Fälle.

  • 1. Fall: Die Symmetrieachse verläuft durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks (Drachen, Raute).
  • 2. Fall: Die Symmetrieachse geht durch die Mittelpunkte gegenüberliegender, paralleler Seiten eines Vierecks (Rechteck, Trapez).
  • Beim Quadrat trifft sowohl Fall 1, als auch Fall 2 zu.


Test

Du kennst jetzt alle achsensymmetrsichen Vierecke und weißt, wieviele Symmetrieachsen sie haben. Kannst du auch folgende Fragen dazu richtig beantworten? Dabei können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

Bei welchem Viereck stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander? (Raute) (!Trapez) (Rechteck)

Welche Vierecke haben mehr als eine Symmetrieachse?(!Drachen) (Quadrat) (Raute) (!Trapez) (Rechteck)

Die Raute hat ...? (je zwei Paar gleich großer Winkel) (!rechte Winkel) (!ein Paar gleich großer Winkel)

Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten?(!Drachen) (Quadrat) (!Rechteck) (Raute)

Bei welchem Viereck verlaufen die Symmetrieachsen durch die Seitenmitten? (Rechteck) (!Raute) (Quadrat) (!Raute)

Hast du alle Fragen richtig beantwortet? Dann geht´s jetzt zur nächsten Station.

Spiegel4.jpg


3.Station: Achsensymmetrische Dreiecke

Es gibt zwei achsensymmetrische Dreiecke. Mal sehen, ob du herausfindest, wie sie heißen.


Erzeuge ein achsensymmetrische Dreieck

Ziehe am Punkt C. Wann wird das Dreieck achsensymmetrisch? Wieviele Symmetrieachsen hat das Dreieck?

GeoGebra

Versuche die Fragen richtig zu beantworten! Klicke dabei entweder auf Richtig oder Falsch!

1 Die Symmetrieachse muss durch einen Eckpunkt des Dreiecks gehen?

Richtig
Falsch

2 Das Dreieck wird durch eine Symmetrieachse halbiert?

Richtig
Falsch

3 Die Winkel am Punkt A und B müssen unterschiedlich groß sein, damit das Dreieck achsensymmetrisch wird!

Richtig
Falsch

4 Zwei Seiten im Dreieck müssen gleich lang sein?

Richtig
Falsch

5 Das Dreieck hat genau zwei Symmetrieachsen.

Richtig
Falsch


Na kannst du dir denken, wie dieses Dreick heißt?

Hier der Merksatz:


Gleichschenkliges Dreieck:
  • Ein achsensymmetrisches Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Sie werden Schenkel des Dreiecks genannt.
    Gleichschenklig.png
  • Daher nennt man solch ein Dreieck gleichschenkliges Dreieck.
  • Die dritte Seite des Dreiecks wird als Grundlinie oder Basis bezeichnet.
  • Außerdem sind die beiden Winkel an der Basis gleich groß. Sie heißen daher Basiswinkel.
  • Die Symmetrieachse des Dreiecks geht durch den Eckpunkt, welcher der Basis gegenüberliegt.
  • Dieser Eckpunkt ist ein Fixpunkt.
  • Das Dreieck wird durch die Symmetrieachse halbiert. Dabei wird je ein Schenkel auf den zweiten abgebildet und umgekehrt.


Vierecke in Dreiecke zerlegen

Alle achsensymmetrischen Vierecke können durch ihre Diagonalen in gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Zeichne dir die Vierecke und die Teildreicke in dein Heft. Zähle dann wieviel Dreiecke du in jedem Viereck entdeckst!


Drachen
DrachenD.png
Den Drachen kann man in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn der Drachen hat je zwei gleich lange Seiten.

Raute
RauteD.png
Die Raute kann man in vier gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Denn die Raute hat bekanntlich vier gleich lange Seiten. Außerdem sind diese Dreicke jeweils kongruent zueinander.

Trapez
TrapezD.png
Das Trapez kann insgesamt in vier Teildreiecke zerlegt werden, davon sind zwei gleichschenklig.

Rechteck
RechteckD.png
Das Rechteck besitzt insgesamt vier gleichschenklige Teildreiecke. Dabei sind je zwei Dreiecke kongruent zueinander.

Quadrat
QuadratD.png
Das Quadrat kann man sogar in insgesamt acht gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Hier gibt es sogar Dreiecke die gleichschenklig und rechtwinklig sind. Des Weiteren sind alle Dreiecke kongruent.


Gleichseitiges Dreieck

Es gibt noch ein achsensymmetrisches Dreieck. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks.

Gleichseitig.png


Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Achte dabei auf Rechtschreibfehler.

Bei diesem Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Es wird daher gleichseitiges Dreieck genannt.

Dabei können je zwei Seiten des Dreiecks die Schenkel sein. Im gleichseitigen Dreick gibt es daher drei Symmetrieachsen.

Außerdem sind alle drei Winkel gleich groß. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck folgt, dass die Winkel das Maß 60° besitzen.

Konntest du zu allen Wörtern die richtige Lösug finden? Dann weißt du ja jetzt, wie das Dreieck heißt. Super!

Hier findest du den Merksatz:


Gleichseitiges Dreieck:
  • Ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck.
    Gleichseitig1.png
  • Bei diesem Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
  • Es können je zwei Seiten des Dreiecks die Schenkel sein, daher hat dieses Dreieck drei Symmetrieachsen.
  • Ein gleichseitiges Dreieck hat außerdem drei gleich große Winkel.
  • Aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks ergibt sich für jeden Winkel das Maß 60°.


4.Station: Übungen

Memory

Hier gibts nochmal ein Memory. Es gehören immer drei Kärtchen zusammen. Folgende Kategorien sind zu finden:

  • achsensymmetrische Verkehrsschilder
  • nicht achsensymmetrische Verkehrsschilder
  • achsensymmetrische Automarken
  • nicht achsensymmetrische Automarken
  • achsensymmetrische Gegenstände aus dem Alltag
Achtung.jpg Halteverbot2.jpg Sackgasse.jpg
PfeilR.jpg Zebrastreifen1.jpg Halteverbot.jpg
Mazda.jpg Renault.jpg Mercedes1.jpg
Skoda1.jpg Seat.jpg Fiat.jpg
Gulli.jpg Fussmatte1.jpg Ahorn.jpg


Kreuze an!

Kreuze die richtige Antwort an. Es können auch mehrere Kästchen richtig sein.

Quadrat Drachen Raute Rechteck Trapez gleichschenkliges Dreieck gleichseitiges Dreieck
Welche der Figuren hat keine Diagonalen?
Welche der Figuren besitzt rechte Winkel?
Bei welchen Figuren stehen die Symmetrieachsen senkrecht aufeinander?
Bei welchen Figuren verläuft die Symmetrieachse durch mind. einen Eckpunkt?
Welche Figur hat mehr als zwei gleich große Winkel?
Welche Figur besitzt nur eine Symmetrieachse und welche hat die meisten Symmetrieachsen?


Zusatzaufgabe

Du kennst bereits achsensymmetrische Dreiecke und Vierecke und deren Symmetrieachsen. Aber wieviel Symmetrieachsen hat eigentlich ein Kreis?

KreisS1.png


KreisS.png

Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Hier siehst du einige davon eingezeichnet. Alle Symmetrieachsen verlaufen dabei durch den Mittelpunkt des Kreises. Das heißt alle Symmetrieachsen sind Zentralen des Kreises. Somit stellt jede Zentrale eine Spiegelachse des Kreises dar, an der er auf sich selbst abgebildet werden kann.


Spiegel9.jpg


Eigenschaften der Achsenspiegelung
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