Java/Schleife und Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate: Unterschied zwischen den Seiten

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main>Karl Kirst
(eval)
 
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<language>Java</language>
{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|<u>Vorwissen</u>]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.
{{Kurzinfo-2|Java|Idee}}
[[Datei:Porsche918Spyder.jpg|alternativtext=|mini|Porsche 918 Spyder|ohne]]
|Kurzinfo
}}
<br />


== Aufgabenstellung ==
==Der Porsche 918 Spyder==
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder in den ersten 9 Sekunden. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^3+4,5t^2</math> beschreiben.
[[Datei:Weg-Zeit-Kurve Porsche.png|alternativtext=|mini|500x500px|<math>s(t)=0,2t^3+4,5t^2 </math>]]


Häufig benötigt man beim Programmieren eine mehrfache Ausführung eines Teilbereichs.
:{| class="wikitable"
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
|-
|0||0
|-
|1||4,7
|-
|2||19,6
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|3||45,9
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|4||84,8
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|5||137,5
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|6||205,2
|-
|7
|289,1
|-
|8
|390,4
|-
|9
|510,3
|}


Denkbar ist es, dass ein Programmierer dazu einfach Zeilen wiederholt.
==Mittlere Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 1.1|Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe eine mittlere Änderungsrate in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. <u>[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen#Die mittlere .C3.84nderungsrate|Weitere Hilfe.]]</u> |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
{{Box|Aufgabe 1.2 (ca. 15-20 min)|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.


So lässt sich z.B. das kleine 1 x 1 von 3 wie folgt ausgeben:
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br />
Überprüfe deine Ergebnisse in [[/Lösungskontrolle/|<u>diesem Applet</u>]] mit Hilfe [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen#Die mittlere .C3.84nderungsrate|<u>des geometrischen Zusammenhangs</u>]] der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.


<eval id="4d59a5b697e64">
|Arbeitsmethode
System.out.println("3 x 1 = 3");
}}
System.out.println("3 x 2 = 6");
System.out.println("3 x 3 = 9");
System.out.println("3 x 4 = 12");
System.out.println("3 x 5 = 15");
System.out.println("3 x 6 = 18");
System.out.println("3 x 7 = 21");
System.out.println("3 x 8 = 24");
System.out.println("3 x 9 = 27");
</eval>
 
== Lösung mit while-Schleife ==
 
Eleganter ist da schon die Verwendung der [[java/while-Schleife|while-Schleife]]
 
<source lang="java">
int faktor = 1;
while ( faktor <= 9 ) {
    System.out.println("3 x " + faktor + " = " + 3*faktor );
    faktor++;
}
</source>
 
== Lösung mit for-Schleife ==


Für genau diesen Fall gibt es aber auch eine Schleife: die for-Schleife. Sie ist immer dann sinnvoll einsetzbar, 
* wenn eine bestimmte Anzahl von Wiederholungen durchgeführt werden soll.
* wenn eine Variable von einem bestimmten Wert bis zu einem anderen gezählt werden soll.


Das folgende Beispiel macht genau das selbe wie die while-Schleife im obigen Beispiel:
<br />


<source lang="java">
==Momentane Änderungsrate==
for ( int faktor = 1; faktor <= 9; faktor ++ ) {
{{Box|Aufgabe 1.3|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall und die dritte Sekunde als rechte oder linke Grenze. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal, sodass die Geschwindigkeit zur dritten Sekunde möglichst genau bestimmt wird und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> [[/Tabelle/|zur Tabelle]]
      System.out.println("3 x " + faktor + " = " + 3*faktor );
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>  
}
b) Führen Sie die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in [[/Aufgabe 2 b)/|diesem Applet]] durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halten Sie dies schriftlich fest.<br />
</source>
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
{{Lösung versteckt|Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt <math>P(3|f(3))</math> am Graphen von <math>f</math> hat. Diese Gerade nennt man Tangente.
{{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
}}|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}


== Weitere Beispiele ==
d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
{{Lösung versteckt|Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}<br />


<source lang="java">
{{Box|Aufgabe 1.4|Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.
//allgemeiner Aufbau
{{Lösung versteckt|Wie sind Sie bei Aufgabe 1.3 vorgegangen um einen möglichst genauen Wert für die Geschwindigkeit in der dritten Sekunden zu erhalten?
for ( Zählvariable mit Anfangswert; Anfangswert; Bedingung; Schrittweite) {
|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}  
      // Anweisung, die wiederholt werden soll
}


// hochzählen in 1er-Schritten
{{Lösung versteckt|
for ( int zählvariable = Anfangswert; zählvariable <= Endwert; zählvariable++ ) {
Um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate, die diesem Fall die Geschwindigkeit zu erhalten, muss man das Zeitintervall der mittleren Änderungsrate so kleine machen, dass es letztendlich als Zeitpunkt interpretiert werden kann.
      // Anweisung, die wiederholt werden soll
{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math> strebt.<br/>
}
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
 
}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
// hochzählen in 5er-Schritten
for ( int zählvariable = Anfangswert; zählvariable <= Endwert; zählvariable+=5 ) {
      // Anweisung, die wiederholt werden soll
}
 
// Countdown
for ( int zählvariable = Anfangswert; zählvariable > Endwert; zählvariable-- ) {
      // Anweisung, die wiederholt werden soll
}
</source>
 
== Aufgaben ==
 
{{Übung|
* Nennen Sie Anwendungsgebiete der for-Schleife
* Lassen Sie die Zahlen von 1 bis 100 auf dem Bildschirm ausgeben
* Diesmal nur die geraden Zahlen
* Diesmal von 100 bis -100
* Die ungeraden von 200 bis -1000
* Lassen Sie 50 mal den Buchstaben "A" auf den Bildschirm schreiben
* Die Zahlen von -10 bis 10 ohne die 0
}}
}}
 
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__
== Linkliste ==
 
* [http://es.wikibooks.org/wiki/Programaci%C3%B3n_en_Java/Sentencia_for Programación en Java/Sentencia for] - in Wikibooks auf Spanisch ((vermutlicher) Ursprung dieser Seite)
* http://www.programmersbase.net/Content/Java/Content/Tutorial/Java/Loop.htm
* http://programmingwiki.de/Java/for-Schleife (Kopie dieser Seite hier - mit ausführbarem Quellcode)
 
 
[[Kategorie:Java]]

Version vom 20. August 2019, 16:58 Uhr

Info

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Porsche 918 Spyder


Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder in den ersten 9 Sekunden. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion beschreiben.

Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1.1

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe eine mittlere Änderungsrate in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.

Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. Weitere Hilfe.
Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.
Aufgabe 1.2 (ca. 15-20 min)

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in diesem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.



Momentane Änderungsrate

Aufgabe 1.3

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall und die dritte Sekunde als rechte oder linke Grenze.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal, sodass die Geschwindigkeit zur dritten Sekunde möglichst genau bestimmt wird und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

GeoGebra

b) Führen Sie die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halten Sie dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt am Graphen von hat. Diese Gerade nennt man Tangente.

Tangente
Die Gerade, die den Graphen von am Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von am Punkt .

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren.



Aufgabe 1.4

Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.

Wie sind Sie bei Aufgabe 1.3 vorgegangen um einen möglichst genauen Wert für die Geschwindigkeit in der dritten Sekunden zu erhalten?

Um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate, die diesem Fall die Geschwindigkeit zu erhalten, muss man das Zeitintervall der mittleren Änderungsrate so kleine machen, dass es letztendlich als Zeitpunkt interpretiert werden kann.

Differentialquotient

Der Differenzenquotient kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt beliebig nahe, je näher gegen strebt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient .
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle bezeichnet.