Lernpfad Satzglieder/Wiederholung Wortarten und Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Matthias Scharwies
K (<popup>)
 
 
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Bevor wir uns an die Baustelle begeben, sollten wir noch einmal die Pläne und die einzelnen Materialien untersuchen, die wir für die Satzbaustelle benötigen. Da der Fahrer leider zu schnell gefahren ist, wurde die Ladung durcheinander gewürfelt. Daher müssen wir die einzelnen Bausteine erst einmal sortieren.
{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}}


[[Datei:Florentinaschaefer_Lkw.png]]
{{Box
== Zuordnung ==
|
|In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
#herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
#entdecken, welche Parameter es in der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] quadratischer Funktionen gibt.
 
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
|Kurzinfo
}}
 
 
== Quadratische Funktionen verändern ==
Wenn du dir die Bilder von der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen im Alltag|Quadratische Funktionen im Alltag]] noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
 
<gallery mode="packed-hover"><gallery mode="packed-hover">
Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg
Datei:Planten un Blomen.JPG
Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG
</gallery>
 
 
 
Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
 
 
{{Video}} [http://www.dlr.de/portaldata/1/resources//webcast/dlr_parabelfluege_320x240.mp4 Video: Parabelflug des DLR]
 
 
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der {{pdf-extern|http://www.dlr.de/rd/Portaldata/28/Resources/dokumente/publikationen/Broschuere_Parabelflug_lowres.pdf|Broschüre}} des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16&nbsp;(31) angucken.
 
 
== Strecken, Stauchen und Spiegeln==
 
{{Box
|Achtung
|Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Normalform|die Parameter der Normalform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt '''"Verschiebung in x-Richtung"'''.
|Hervorhebung1
}}
 
 
{{Box
|1=Aufgabe 1
|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
 
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
 
 
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
<ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
 
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
 
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''.
 
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''.
 
3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.}}|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box
|Aufgabe 2
|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
 
{{LearningApp|app=pm1vv0zbj16|height=375px}}
{{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
 
Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
 
Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
 
Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box
|Aufgabe 3
|'''Knobelaufgabe'''
 
Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
{{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box
|Merke
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
 
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
 
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}
 
== Verschiebung in x-Richtung ==
 
{{Box
|Aufgabe 5
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1)  <math>y=(x-2)^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=(x+2)^2</math> ?
 
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
 
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
 
 
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>d=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=(x-d)^2</math> verändert.
 
<ggb_applet width="100%" height="478" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="grh32PSP" />
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
 
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts verschoben'''.
 
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links verschoben'''.}}
|Arbeitsmethode
}}
 
{{Box
|Aufgabe 6
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.
 
'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
[[Datei:Verschiebung horizontal.JPG|rahmenlos|center|Gespräch horizontale Verschiebung|750px]]  
'''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
{{Lösung versteckt|'''1.''' Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter.
 
'''2.''' Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2.
 
'''3.''' Wie ist der Term <math>y=(x+3)^2</math> im Vergleich zu <math>y=x^2</math> verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben.}}
 
{{Lösung versteckt|Die Tabelle für <math>y=(x+3)^2</math> sieht wie folgt aus:
<!--
{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
 
| style="width:3em"|'''x'''||style="text-align:center"|-6 ||style="text-align:center"|-5 ||style="text-align:center"|-4 ||style="text-align:center"|-3 ||style="text-align:center"|-2 ||style="text-align:center"|-1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|2


Ordne die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu. Klicke anschließend auf Prüfen.
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| [[Bild:Florentinaschaefer_Substantive.png]] || Haus || Brücke || Baustelle
|-
|-
| [[Bild:Florentinaschaefer_Verben.png]] || gehe || bauen || laden
| style="width:3em"|'''y'''||style="text-align:center"|9 || style="text-align:center"|4||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|4 ||style="text-align:center"|9 ||style="text-align:center"|16 ||style="text-align:center"|25
|-
 
| [[Bild:Florentinaschaefer_Adjektive.png]] || klein || groß || schön
|}-->
|-
}}
| [[Bild:Florentinaschaefer_Pronomen.png]] || mein || ich || dieser
|Arbeitsmethode
|}
}}
</div>
 
Aber was ist das nun alles? Substantive? Verben?<br>Ich habe leider keine Ahnung mehr was ich damit anfangen soll….<br>Vielleicht kannst du mir helfen...
 
[[Datei:Florentinaschaefer_Felix_traurig.png]]
{{Box|Aufgabe 7|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
 
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
 
'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
|Merksatz
}}
 
== Verschiebung in y-Richtung ==
{{Box
|Aufgabe 8
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3</math> ?
'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
 
'''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
 
 
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>e=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+e</math> verändert. 
 
<ggb_applet id="HcpKPj4G" width="677" height="550" border="888888" />
{{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
 
1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben'''.
 
2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben'''.}}
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box
|Aufgabe 9
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
 
Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.
 
'''a)''' Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für '''drei''' der quadratischen Funktionen:
 
[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]}}
 
'''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1)  y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4)  y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp.
 
{{Lösung versteckt|Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.}}
|Arbeitsmethode
}}
 
{{Box
|Aufgabe 10
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.
 
[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|center|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]]
 
{{Lösung versteckt
|<math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math> (1. Binomische Formel)}}
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box|Aufgabe 11|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|Arbeitsmethode}}
{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
 
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
 
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
|Merksatz
}}
 
== Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte ==
 
{{Box
|Aufgabe 9
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
|Arbeitsmethode
}}
 
 
{{Box
|Merke
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
 
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
 
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}
 


<br>Ein echter LKW- Fahrer muss natürlich auch immer wissen, was genau er geladen hat. Schauen wir uns die einzelnen Wortarten also noch einmal kurz genauer an.<br>
{{Box
Gehen wir also Schritt für Schritt vor. Beginnen wir mit den <b>Nomen</b>/Substantiven.<br>Wir haben diese Wörter früher auch als Hauptwort bezeichnet, wenn ich mich richtig erinnere. Aber wie sind diese gekennzeichnet? Falls du dich nicht mehr erinnern solltest, kannst du auch erst noch einmal diesem Link [http://www.duden.de/rechtschreibung/Nomen] folgen.
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:


===  Substantive ===
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.


{{Aufgabe|Fülle folgenden Lückentext aus. Die entsprechenden Wörter findest du unten aufgelistet.<br>Klicke anschließend auf {{Taste|Prüfen}}.}}
'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
<div class="lueckentext-quiz">
|Merksatz
Einen Bestandteil unserer Ladung machen die Nomen aus. Früher hast du sie als Hauptwort oder Substantiv bezeichnet.  Meist besitzen solche Wörter einen Begleiter, welchen wir auch als '''Artikel''' bezeichnen. Außerdem sind Nomen '''deklinierbar'''. Das bedeutet, dass sie meist einen '''Plural'''  (Mehrzahl) und einen '''Singular''' (Einzahl) besitzen und in die unterschiedlichen Fälle gesetzt werden können. Sie werden stets '''groß''' geschrieben!
}}
</div><br><br>Hast du es geschafft? Super! Hier kannst du dir die Regeln noch einmal ansehen.


<popup>{{Merke|Einen Bestandteil unserer Ladung machen die Nomen aus. Früher hast du sie als Hauptwort oder Substantiv bezeichnet.  Meist besitzen solche Wörter einen Begleiter, welchen wir auch als Artikel bezeichnen. Außerdem sind Nomen deklinierbar. Das bedeutet, dass sie meist einen Plural  und einen Singular besitzen und in die unterschiedlichen Fälle gesetzt werden können. Sie werden stets groß geschrieben!
}}</popup>


Sehr gut gemacht. Eine Palette haben wir jetzt schon geschafft.  Jetzt fehlen nur noch ein paar wenige Bestandteile unserer Ladung. Schauen wir uns auch diese noch einmal genauer an.
{{Box
|Merke
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:


===  Pronomen ===
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
Die Pronomen bilden die zweite Gruppe der Bausteine.<br>Auch sie sind deklinierbar und verweisen stets auf etwas. Man unterscheidet hierbei vier Formen. Kannst du dich an diese erinnern?
<popup name="Tipp">Du hast sie auch in den LKW geladen!</popup>


{{Aufgabe|Das war eine rasante Fahrt. Auch die Buchstaben der einzelnen Pronomenarten sind durcheinander geraten.<br>Schaue dir die Buchstaben einmal an und versuche die Buchstaben in die richtige Reihenfolge zu bringen.<br>Als kleine Hilfe habe ich dir die altbekannten Begriffe nochmals mit hinzugefügt.<br>Klicke anschließend auf {{Taste|Prüfen}}.}}
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
<div class="schuettel-quiz">
|Merksatz
<strong>Personal</strong>-pronomen (persönliche Fürwörter)<br>
}}
<strong>Possessiv</strong>-pronomen (besitzanzeigende Fürwörter)<br>
<strong>Demonstrativ</strong>-pronomen (hinweisende Fürwörter)<br>
<strong>Relativ</strong>-pronomen (berügliche Fürwörter)<br>
</div>
Genau richtig. Schauen wir uns die verschiedenen Pronomen auch noch genauer an, sodass wir auch wirklich wissen um was es sich hierbei handelt!<br>{{Aufgabe|Ordne die unterschiedlichen Erklärungen, den jeweiligen Pronomen zu. Trau dich ruhig, es ist nicht schlimm wenn es nicht beim ersten Versuch funktioniert.<br>Klicke anschließend auf {{Taste|Prüfen}}.}}
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|-
|"Sie können anstelle eines Nomen stehen. Früher hießen sie persönliche Fürwörter. Hierzu zählen folgende Wörter: Ich, du, wir, ihr, er, sie, es"||Personalpronomen
|-
|"Auch sie können ein Nomen ersetzen und du kennst sie bereits unter dem Namen besitzanzeigende Fürwörter. Beispiele sind mein, dein, unser, euer"||Possessivpronomen
|-
|"Dieser, dieses, diesem, den, deren, das zählen zu dieser Form der Pronomen"||Demonstrativpronomen
|-
|"Dieses Pronomen bezieht sich auf ein Nomen aus dem vorangegangenen Satz"||Relativpronomen
|}
</div>
Auch hier will ich eine kurze Übersicht für dich bereitstellen. Du findest hier einzelne Pronomen entsprechend den Arten unterteilt und nochmals die entsprechenden Erläuterungen dazu:
<popup>
{{Merke-umrandet|<table><tr><td>Personalpronomen</td><td>Sie können anstelle eines Nomen stehen. Früher hießen sie persönliche Fürwörter. Hierzu zählen folgende Wörter:
<ul><li>ich, mich, mir, meiner</li>
<li>wir, uns, unser,</li>
<li>du, dich, dir, deiner</li>
<li>ihr, euch, euer,</li>
<li>er, sei es, ihn, seiner,</li>
<li>sie , ihnen, ihrer</li></ul>
</td></tr><tr><td>Possesivpronomen</td><td>Auch sie können ein Nomen ersetzen und du kennst sie bereits unter dem Namen besitzanzeigende Fürwörter.
<ul><li>mein, unser,</li>
<li>dein, euer,</li>
<li>sein, ihr</li></ul>
</td></tr><tr><td>Demonstrativpronomen</td><td>Dieses Pronomen kennst du unter dem Namen hinweisendes Fürwort.
<ul><li>dieser,</li>
<li>dieses, diesem,
<li>den, deren, das</li></ul></td></tr>
<tr><td>Relativpronomen</td><td>
Dieses Pronomen bezieht sich auf ein Nomen aus dem vorangegangenen Satz.
</td></tr></table>}}</popup>


[[Datei:Florentinaschaefer_Felix_normal.png]]


Du scheinst nun ja schon ein richtiger Wortarten-Spezialist zu sein.<br>
[[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]]
<br>Sehen wir doch mal, ob du dich auch mit den Verben so gut auskennst!


Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben.


===  Verben ===
Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
Verben sind, wie du später sehen wirst, an der Satz-Baustelle von besonders großer Bedeutung. Sie bilden den Kern von Sätzen und beschreiben Tätigkeiten, Zustände und Vorgänge.<br>Kannst du die nachfolgenden Verben erkennen und die Texte entsprechend zu ordnen?<br>{{Aufgabe|Ordne die unterschiedlichen Verbarten, den jeweiligen Erklärungen zu. Die Namen der verschiedenen Arten sagen bereits viel über ihre Eigenschaften aus.<br>Klicke anschließend auf {{Taste|Prüfen}}.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<table border="1">
<tr><td>'''Zustandsverben''':</td><td>Ich arbeite seit zehn Jahren in einem Bauunternehmen. Dieses steht auf einer kleinen Anhöhe.<br>Mein Büro ist im zweiten Stock, aber meistens bin ich auf verschiedenen Baustellen unterwegs. Im Sommer ist besonders viel zu tun. Aber auch im Winter gibt es genug Arbeit.</td>
<tr><td>'''Tätigkeitsverben''':</td><td>Wenn ich auf die Baustelle gehe, muss ich vieles beachten. Zuerst suche ich die unterschiedlichen Materialien zusammen.<br>Anschließend belade ich den LKW und fahre erst dann auf die Baustelle.</tr>
<tr><td>'''Vorgangsverben''':</td><td>Wenn ich am Abend nach Hause komme, falle ich meist müde in mein Bett.<br>Aber zunächst wasche ich mich, putze meine Zähne und ziehe mich um.</td></tr>
</table>
</div><br>
<br>.<br>
{{Merke-umrandet|
Verben können sowohl in der Grundform (Infinitiv) stehen als auch an die entsprechenden Personen angepasst werden.<br>In diesem Fall handelt es sich um finite Verbformen.
Je nachdem zu welchem Zeitpunkt etwas getan wird, verwendest du die unterschiedlichen Zeitformen. Du kannst zwischen dem Präteritum, dem Partizip Perfekt, dem Plusquamperfekt oder auch Zukunftsformen wählen. Man unterscheidet zwischen: Vorgangsverben, Zustandsverben und Tätigkeitsverben.}}


===  Adjektive ===
{{Fortsetzung|weiter=Die Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform}}
Den letzten Baustein in unserem LKW bilden die Adjektive, die altbekannten Eigenschaftswörter.
<br>'''Kreuze die richtigen Aussagen über Adjektive an:'''
<quiz display="simple">
{Adjektive}
+ Sie können bei einem Verb stehen.
- Sie sind flektierbar.
+ Sie sind deklinierbar.
+ Ihre Endungen sind von Geschlecht, Zahl und Fall des Nomens abhängig.
+ Adjektive geben eine zusätzliche Information.
- Sie werden groß geschrieben.
+ Sie werden klein geschrieben.
</quiz>
<br>
<popup>{{Merke-umrandet|Dies kannst du als Merkliste zu den Adjektiven merken:
<ul><li>Sie können bei einem Verb oder Nomen stehen und dieses näher beschreiben</li>
<li>Sie sind deklinierbar, d.h. sie passen sich den entsprechenden Wörtern die sie näher beschreiben.</li>
<li>Sie werden stets klein geschrieben!</li></ul>
}}</popup>
<br><table><tr><td>Das hast du aber schnell herausbekommen. Da wir nun alle Materialien geklärt haben, können wir uns nun auf den Weg zu unserer Satzbaustelle machen.<br>Aber nun ran an die eigentliche Arbeit...<br>[[../Satzbaustelle|Weiter zur Satzbaustelle]]</td><td>[[Datei:Florentinaschaefer_Felix_lacht.png]]</td></tr></table>


Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])


{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad Satzglieder]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Version vom 26. November 2018, 19:07 Uhr


In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst

  1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
  2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.

Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.


Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.


Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.


Vorlage:Video Video: Parabelflug des DLR


Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Vorlage:Pdf-extern des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.


Strecken, Stauchen und Spiegeln

Achtung

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Normalform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Verschiebung in x-Richtung".


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel schmaler.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel breiter.

3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel "umgedreht".


Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.


Wenn a kleiner Null ist (), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Wenn a größer Null ist (), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.

Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.

Wenn a kleiner als minus Eins () oder größer als Eins ist (), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.


Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.


Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Verschiebung in x-Richtung

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1)           (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach rechts verschoben.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach links verschoben.


Aufgabe 6

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.

Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.

a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.

Gespräch horizontale Verschiebung

b) Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion .

1. Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter.

2. Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2.

3. Wie ist der Term im Vergleich zu verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben.

Die Tabelle für sieht wie folgt aus:


Aufgabe 7

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.

Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe 8

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1)           (2)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach oben verschoben.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach unten verschoben.


Aufgabe 9

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) Notizblock mit Bleistift.


Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.

a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für drei der quadratischen Funktionen:

Funktionen für Aufgabe

Lösungsteil 1Lösungsteil 2Lösungsteil 3

b) Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion ? Formuliere einen Tipp.

Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.


Aufgabe 10

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) Notizblock mit Bleistift.

Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form und . Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.

Unterhaltung zu typischem Fehler
(1. Binomische Formel)


Aufgabe 11

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.
Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Aufgabe 9

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) Notizblock mit Bleistift.

Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.


Merke

Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.


Merke

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)