Mechanik: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. März 2010, 23:07 Uhr

Übungsaufgabe zum Fadenpendel

Thema/Anforderungen

Aufgabe

Mit dem TI-Nspire wurde die Schwingung eines Fadenpendels aufgenommen. Ein Auszug aus der Wertetabelle ist abgebildet.

a) Übertragen Sie zunächst die Werte für t und y in den eigenen NSpire. Speichern Sie die Wertetabelle für spätere Untersuchungen ab! Erstellen Sie je eine Graphik im Fenster „Data und Statistics“ und „Graphs and Geometry“.

b) Lesen Sie aus einer der Graphiken Schwingungsdauer, Frequenz und Amplitude ab.

c)Passen Sie mit Hilfe von zwei Schiebereglern die Graphik aus „Graphs and Geometry“ in die Gleichung ein. Beachten Sie bei den Schiebereglereinstellungen die in b) ermittelten Werte, welche die Schwingungsgleichung bestimmen. Notieren Sie die Schwingungsgleichung in der üblichen Form (mit und T).

d)Führen Sie eine „Sinus-Regression“ durch und vergleichen Sie mit Ihrer in c) ermittelten Gleichung. Interpretieren Sie die Parameter, die in der Gleichung aus c) nicht auftauchen.

2. Mittels Anstiegsdreiecks sollen Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnet werden. Erstellen Sie dazu eine Anstiegsberechnung in einem neuen Graphikfenster.

a)Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fadenpendels zwischen 0,6s und 1,2s.

b)Bestimmen Sie eine möglichst gute Näherung für die Momentangeschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage . Ermitteln Sie dazu den Mittelwert zweier Durchschnittsgeschwindigkeiten und .

c)Ermitteln Sie weitere Momentangeschwindigkeiten durch Konstruktion der Tangenten und Messung der Steigungen der Tangenten. Welche Aussage lässt über die zur Schwingung gehörige Geschwindigkeit-Zeit-Funktion machen?

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

2. Bearbeitung mit TI-Nspire CAS

zu 1a) Eingabe der Messwerte und Sinus-Regression

Darstellungen

zu 1b) Schwingungsdauer: , Frequenz: ,

zu 1c) Darstellung mit Schieberegler

Mit ist .

zu 1d) Ergebnisse der Regression

Der Parameter c beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve in t-Richtung (Phasenverschiebung). Der Wert kann daraus resultieren, dass zu Beginn der Messung die Amplitude nicht 0 war.

Der Parameter d beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve in y-Richtung. Dieser Wert sollte bei einer harmonischen Schwingung 0 sein.

zu 2a)

Thema/Anforderungen

Aufgabe

Beim Kugelstoßen wird die Kugel unter einem bestimmten Winkel mit einer Anfangsgeschwindigkeit aus einer Anfangshöhe "schräg geworfen". Ein Leistungssportler vermag der Kugel eine Anfangsgeschwindigkeit von zu geben. Die Abwurfhöhe sei .

Stellen Sie die Wurfparabel für dar und bestimmen Sie daraus die Wurfweite!

Untersuchen Sie, ob die Abwurfhöhe bei der Weitenbestimmung vernachlässigt werden kann!

Bestimmen Sie den "besten" Abwurfwinkel!

Lösungsvorschlag

(verwendete Technologie: TI-Nspire CAS)

Die Bewegung eines erdnah geworfenen Körpers lässt sich unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes durch zwei unabhängige Teilbewegungen nach dem Superpositionsprinzip beschreiben: .

Daraus kann der momentane Ort in einer vertikal aufgespannten Ebene berechnet bzw. wie hier beabsichtigt die Folge von Orten in Zeitschritten als Bahnkurve dargestellt werden:

Zuerst werden die Konstanten und Gleichungen definiert und damit der entsprechende Graph gezeichnet:

• 

  Definition der Konstanten.

• 

  Am Schnittpunkt der Wurfparabel mit der x-Achse lässt sich eine Wurfweite von ca. 15m ablesen.

Zur Untersuchung des Einflusses der Abwurfhöhe auf die Wurfweite benutzt man einen Schieberegler, der die Abwurfhöhe einstellt:

• 

  Man sieht, dass mit steigender Abwurfhöhe auch die Wurfweite zunimmt. Sie kann also nicht vernachlässigt werden!

• 

  Den optimalen Abwurfwinkel bestimmt man leicht durch Probieren! Bei ergibt sich eine Wurfweite von ca. 18m.

Das Dokument zum Herunterladen: Datei:SchrägerWurf.tns

Eine Flüssigkeit fließt aus

Aufgabenstellung

Aufgabe: Gegeben ist ein zylindrischer Behälter mit der Grundfläche A in dm²; c dm vom Boden entfernt befindet sich seitlich eine Öffnung mit dem Durchmesser d (d in dm). Im Behälter befinden sich x Liter Flüssigkeit.

1. Beschreibe, wie sich die Menge M der ausgeflossenen Flüssigkeit mit der Zeit t ändert. Stelle zuerst eine Vermutung auf und zeichne einen Grafen.
2. Modelliere den Vorgang mit deinem TI-Nspire.
3. Was ändert sich, wenn der Durchmesser der Öffnung größer bzw. kleiner wird?

Lösungsvorschlag

GTR und TC mit CAS in Physik/Aufgaben/Bestimmung der Gravitationskonstanten mittels Regressionsrechnung

Die gespannte Wäscheleine - Kräftezerlegung in der Mittelstufe

Thema/Anforderungen

Aufgabe

An einer Wäscheleine hängt mittig ein Wäschestück mit ca. 20 N Gewichtskraft. Die Wäscheleine ist an beiden Seiten über Aufhängungen an der Wand befestigt (vgl. Abbildung) und soll möglichst straff gespannt werden. Untersuche den Zusammenhang zwischen der Kraft, mit der das Wäschestück und die Wäscheleine an den Aufhängungen ziehen, und dem Spannwinkel .

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

Diese Aufgabe lässt sich mit dem TI-Nspire grafisch lösen. Die Schülerinnen und Schüler müssen hierfür keine Kenntnisse über Winkelfunktionen besitzen. Die Kräftezerlegung wird zeichnerisch durchgeführt, der Winkel und die Kraft gemessen und die Messdaten automatisch in eine Tabelle überführt. Die Kraft kann dann in Abhängigkeit vom Spannwinkel grafisch dargestellt werden. Daraus geht hervor, dass die Kraft immer schneller ansteigt, wenn sich der Winkel der 90-Grad-Marke nähert. Die Vermutung, dass die Kraft bei 90 Grad unendlich groß sein müsste, liegt nahe.

Schritt 1

Beschreibung	Abbildung
Öffnen eines Graphs & Geometry - Fensters Zeichnen einer senkrechten Strecke, symbolisiert den Kraftpfeil, Maßstab: hier 2 N entspricht 2 Längeneinheiten Konstruieren einer Mittelsenkrechten zur eingezeichneten Strecke Zeichnen der gesuchten Kraftkomponente als Strecke Messen des Spannwinkels und der Kraftkomponente (Streckenlänge) Speichern des Winkelmaßes und der Kraft (hier winkel, kraft1)

Schritt 2

Beschreibung	Abbildung
Öffnen eines Lists & Spreadsheet - Fensters Bezeichnen der Spalten (hier wink und kraft) automatisches Erfassen der gemessenen Größen (z. B.: kraft:=capture(kraft1,1) Verändern des Spannwinkels im Graphs & Geometry - Fenster (Greifen und Ziehen des Endpunktes der Teilkraftstrecke) Winkel und Kraft werden automatisch in die Tabelle eingetragen

Schritt 3

Beschreibung	Abbildung
Öffnen eines neuen Graphs & Geometry - Fensters Grafiktyp: Streuplot/scatter plot Zeichnen der Teilkraft (Liste kraft) in Abhängigkeit vom Spannwinkel (Liste wink) Einstellen eines geeigneten Bildschirmausschnittes

Arbeitsauftrag

Gegeben sind die nebenstehenden Datenpaare einer Bewegung, s in Metern, t in Sekunden:

1. Stelle die Daten grafisch dar und skizziere ein t-s-Bewegungsdiagramm ins Heft. Entscheide begründet um welche Art von Bewegung es sich handeln könnte.
2. Führe eine geeignete Anpassung durch und nimm Stellung zu der Genauigkeit Deiner Anpassung.
3. Interpretiere die durch die Anpassung erhaltenen zusätzlichen daten über die Bewegung. Welche Startbedingungen lagen zum Zeitpunkt t=0 vor?
4. Berechne die Geschwindigkeit der Bewegung zu jedem Zeitpunkt. Stelle diese ebenfalls Graphisch dar und ermittle eine geeignete Funktion für den Verlauf des Grafen.
5. Angenommen, die Bewegung hätte auch vor der Messung so stattgefunden. An welchem Ort und wie lange vor dem Starten der Messung fand der Start statt?

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

zu 1.

Zunächst kann man mit dem Nspire die Daten grafisch darstellen. Schön ist das in der "Graphs & Geometry"-Anwendung möglich, schneller geht es in "Data & Statistics".

• 

  Streuplot in "Graphs & Geometry"

• 

  Streuplot in "Data & Statistics"

Eine Skizze des Graphen in Papierform sollte zum Guten Ton gehören...

zu 2.

Anschließend kann man in der Tabelle unter "Statistische Berechnungen" die anscheinend geeignete quadratische Regression auswählen.

Alternativ könnte man auch eine beliebige quadratische Funktion zeichnen lassen und mittels Grab&Move entsprechend "zurechtbiegen" bis sie hinreichend passt. Für die Genauigkeitsbetrachtungen sollten dann aber über die einfache optische Bestätigung ("des passt schoo...") eventuell ein tabellarischer Vergleich der Funktionswerte mit den Messwerten erfolgen.

Das Ergebnis der Regression wird unter der Funktion f1 abgelegt und lässt sich im vorhandenen Graphs & Geometry Bildschirm einzeichnen. Hierzu muss im Menu nur auf Funktionsplot gewechselt und die Funktion f1 durch Enter bestätigt werden.

Betrachtungen über die Genauigkeit von Anpassungen gehören zu den mit der neuen Technik erkauften zusätzlichen Arbeiten. Keine Anpassung sollte von Schülern nur stillschweigend hingenommen werden. Sowohl die Genauigkeitsbetrachtung als auch die physikalische Interpretation der gewonnenen Daten sollte stets eingefordert werden. Bei vorhandenen Kenntnissen können sowohl die optische Passform der Funktionsgrafen zu den Messwerten als auch die Residuen dafür herhalten.

• 

  Dieser R-Wert ist recht gut

• 

  Berechnete Werte

Alternativ könnte man auch die Messwerte mit den Funktionswerten der Näherung untersuchen. Dazu muss zunächst eine absolute Differenz, z.B. mit der Wurzel aus den Differenzquadraten, gebildet werden. Anschließend kann man die Summe der Differenzen bilden und den Mittelwert bestimmen. Aber auch Betrachtungen des Maximums und Minimums der Differenzen sind denkbar. Hier sollten die SuS argumentieren dürfen. Hier kann natürlich auch Bezug zur Varianz und zur Methode der kleinsten Quadrate genommen werden.

• 

  Differenzenbildung

• 

  Summe der Differenzen

• 

  Mittelwert: 2cm Abweichung im Mittel

zu 3.

Im letzten Bild sind die durch die Regression gewonnen Werte dargestellt. Diese sollten interpretiert werden:

• c = -0,001 etspräche einer Startortverschiebung von 1 mm - kann damit wohl vernachlässigt werden
• b = 0,237 entspricht einer Startgeschwindigkeit von 23,7 cm/s - v ist also 0,237m/s!
• a = 0,384 entspricht einer Beschleunigung von 0,768 m/s - Der Faktor entspricht dem 0,5-Fachen der Beschleunigung!

Fazit für die Bewegungsgleichung: Startbedingungen wären demnach die ermittelte Beschleunigung und die Startgeschwindigkeit.

zu 4.

Hier lässt der TI-Nspire mehrere Wege zu, die im Unterricht alle diskutiert und vorgestellt werden könnten. Clevere Schüler werden sich eventuell an die behandelten Bewegungsgleichungen erinnern und als Lösung notieren. Andere wiederum arbeiten mit der Definition von v und errechnen in der Tabelle die Quotienten aus Ortsdifferenz und Zeitdifferenz. Sie erhalten eine durch einige Messungenauigkeiten aufgeweichte Punktwolke, die jedoch immer noch eine Gerade erkennen lässt.

• 

  Berechnung von v in der Tabelle

• 

  Streuplot der Geschwindigkeitswerte

Nun lassen sich wie oben auch entweder ein passendes geometrisches Objekt - hier also eine Gerade - einfügen und intuitiv anpassen oder man kann wieder eine Regression - diesmal linear - durchführen.

• 

  Anpassung durch Gerade

• 

  Anpassung durch Regression

Der Vergleich mit der schnellen Lösung durch die Bewegungsgleichung ergibt nur geringe Unterschiede, über die natürlich diskutiert werden darf...

• 

  Vergleich mit der aus 2 ermittelten Funktion v(t)

zu 5.

Gesucht ist hier der Scheitelpunkt der Parabel. Den kann man sehr zügig im Calculus-Anwendungsbereich ermitteln. Die Passfunktion ist unter f1 abgelegt. Mit der Begründung, dass es sich um eine nach oben offene Parabel handelt (Graphen betrachten) lässt sich der einzige Extrempunkt ohne Aufwand nachweisen:

Der Startzeitpunkt für die Bewegung aus der Ruhelage liegt also ca. 0,3 Sekunden vor dem Starten der Messung (Stoppuhr nicht rechtzeitig gedrückt?!) und der Startort liegt etwa 4 cm vor dem Ursprung der Messwerte. Insgesamt kann man hier also davon ausgehen, dass der Start zeitlich und örtlich nicht ganz exakt so stattgefunden hat, wie es hätte sein können - was man an den Werten der Ausgleichsfunktion nicht so ohne weiteres sehen kann!

Arbeitsauftrag

Im Folgenden finden Sie eine Anleitung, mit der Schüler sich die Gravitationskonstante selbst erarbeiten können:

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

Aufgabe 1:

Vermutung: Möglicherweise liegen die Messdaten auf einer Parabel.

Aufgabe 2:

a) s. Abbilung zur Gravitationsdrehwaage: ähnliche Dreiecke

b)

Aufgabe 3:

Die Vermutung, dass der Weg s und die Quadrate der Zeiten zueinander proportional sind, scheint sich zu bewahrheiten.

Aufgabe 4:

Der Korrelationskoeffizient beträgt ca. 99,4 %. Damit erhält man - aus mathematischer Sicht - eine gute Übereinstimmung.

Aufgabe 5:

In Stichworten:

a) Die Steigung der Geraden entspricht der halben Beschleunigung [stat.m = 0.5 a].

b) s. Abbildung zur Gravitationsdrehwaage

c) Ersetze Fres durch m a und FGr durch das Newtonsche Gravitationsgesetz.

d) s. Lösung zu Aufgabe 2 und Aufgabe 4

e) s. Lösung zu Aufgabe 4

f) große Masse der Erde (m = 597370000000000000000 kg)

g) Da sich die Kugeln während der Messung immer näher kommen, wird auch die Anziehungskraft zwischen den Kugeln immer größer. Daher nimmt die Beschleunigung während der Messzeit eigentlich zu. Sie ist aber in guter Näherung konstant, wenn man auf "kurze" Messzeiten achtet, wenn die Kugeln sich noch nicht zu stark aufeinander zubewegt haben.

Die schiefe Ebene

Arbeitsauftrag

Laden Sie die folgende Datei herunter und übertragen Sie sie auf den Taschenrechner (TI-Nspire): Datei:Schiefe Ebene.tns

a) Bewegen Sie den Punkt P in der oberen rechten Ecke und und stellen Sie verschiedene Winkel ein.

b) Wie verändert sich die Hangabtriebskraft, die Normalkraft und die Gewichtskraft?

c) Welchen einen Einfluss hat die Position des Körpers (weißer Punkt) auf die verschiedenen Kräfte?

Lösung

a) /

b) Je größer der Winkel, desto kleiner die Normalkraft und desto größer die Hangabtriebskraft. Die Gewichtskraft verändert sich natürlich nicht.

c) Keinen.

Der schnellste Fahrstuhl Europas

Thema/Anforderungen

Aufgabe

Der von dem Architekten Hans Kollhoff geplante Kollhoff-Tower am Potsdamer Platz in Berlin beherbergt den wohl schnellsten Fahrstuhl Europas ([1]). Bei einer Fahrt zur Aussichtsplattform wurde die Beschleunigung in 0,4-Sekunden-Abständen gemessen (TI-Nspire CAS mit EasyLink® und Beschleunigungssensor). Die Messdaten finden sich in der Datei (TI-Nspire): Datei:Fahrstuhl Daten.tns.

Aufgabe (offen):

Ermitteln Sie mithilfe der Messdaten, welche Höhe der Fahrstuhl überwindet.

Aufgaben (strukturiert):

Stellen Sie die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit in einem Diagramm dar und interpretieren Sie das Diagramm. Gehen Sie dabei auf die einzelnen Abschnitte der Fahrt ein.

Entwickeln Sie aus dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm. Gehen Sie davon aus, dass es keine Anfangsgeschwindigkeit und keinen Anfangsweg gibt.

Berechnen Sie den Gesamtweg, die Höchstgeschwindigkeit und die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrstuhls.

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

In dieser Aufgabe werden aus Beschleuningungsdaten Informationen über die Geschwindigkeiten und die zurückgelegten Wege gewonnen. Die hierfür notwendige zweimalige Integration erfolgt näherungsweise.

Vorgehen: Die Geschwindigkeiten und Wege werden über Näherungen ermittelt. Bei der Berechnung der Geschwindigkeitsdaten werden die Bewegungen in den einzelnen Zeitabschnitten (hier 0,4 s) als gleichmäßig beschleunigt angenommen. Als Beschleunigung wird der Mittelwert von Anfangs- und Endbeschleunigung benutzt. Analog verfährt man bei der Berechnung der Wegdaten.

Diagramm - Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit:

Ermitteln der Geschwindigkeits- und Wegdaten:

Beschreibung	Abbildung
Definieren der benötigten Spalten: v - Geschwindigkeit, s - Weg Eingabe der Startwerte (0)
Berechnen der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t2=0.4 s mit der Näherung:
Berechnen des Weges zum Zeitpunkt t2=0.4 s mit der Näherung:
Mit der Funktion "Nach unten ausfüllen" werden die Berechnungen in die folgenden Zeilen übertragen

Diagramm - Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit:

Diagramm - Weg in Abhängigkeit von der Zeit:

Fahrstrecke: 90 m

Höchstgeschwindigkeit: 8,33 m/s

Siehe auch

• Einsatz eines Abstandmessers in der Analysis
• verfügbare Sensoren