Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

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(Selbstentdecken der Geradengleichung mit GeoGebra)
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==Ideen zur Einführung und Anwendungen zum Thema==
 
==Ideen zur Einführung und Anwendungen zum Thema==
===Selbstentdecken der Gerdengleichung mit GeoGebra===
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===Selbstentdecken der Geradengleichung mit GeoGebra===
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''... von [[Benutzer:BirgitLachner|BirgitLachner]].''
  
Hier kann man einen Einstieg in den Bereich der Funktionenlehre starten. Ich würde meinen Schüler am Computer verschiedene Funktionen zeigen und erklären, das man häufig Messwerte in eine Form überträgt, mit der man Berechnungen durchführen kann. Dazu muss man die reale Situation in eine mathematische Formel fassen und kann diese dann auch grafisch darstellen.
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Dieser Einstieg in das Thema Geradengleichungen soll gleichzeitig als Einstieg in das Gebiet der Funktionenlehre genutzt werden.
  
Dazu würde ich einige Beispiele nennen, bei denen aus einem Bild eine Funktionsgleichung bestimmt wird und daran wird ein bestimmter Wert bestimmt. Dazu könnte man noch die Fage stellen:
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Ich würde meinen Schüler am Computer Bilder und verschiedene Funktionen zeigen und erklären, das man häufig Messwerte in eine Form überträgt, mit der man Berechnungen durchführen kann. Dazu muss man die reale Situation in eine mathematische Formel fassen und kann diese dann auch grafisch darstellen.
  
    * Welcher Vorteil hat es, wenn man etwas berechnen kann?
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Dazu würde ich einige Beispiele zeigen, bei denen zu einem Bild eine Funktionsgleichung bestimmt wird um so dann etwas zu berechnen.
    * Was ist die Schwierigkeit?
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Es werden einige Begriffe eingeführt bzw. noch einmal wiederholt:
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'''Dazu könnte man die Fagen stellen:'''
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*Was haltet ihr von diesem Vorgehen?
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*Welcher Vorteil hat es, wenn man etwas berechnen kann?
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*Was ist die Schwierigkeit?
  
    * Graph
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'''Nach dem das Wesentliche geklärt ist, werden noch einige Begriffe wiederholt und neue Begriffe erklärt:'''
    * Funktionsgleichung
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*(Funktions-)Graph
    * Achsen
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*Funktionsgleichung
    * Koordiantensystem/Kordinaten ablesen und eintragen  
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*Achsen
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*Koordinatensystem/Kordinaten ablesen und eintragen  
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* ...
  
Dann würde ich die Schüler darüber informieren, das nach und nach bestimmte Arten von Kurven eingeführt werden, die häufig vorkommen. Wir beginnen nun erst einmal bei den einfachsten Graphen, den Geraden:
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Dann würde ich die Schüler darüber informieren, dass nach und nach bestimmte Arten von Kurven-Grundtypen  eingeführt werden, die häufig vorkommen. Die könnte man grob zeigen (Geraden, Parabeln, Potenzfunktionen, Hyperbeln, Exponential, Logharithmus, ...). Dann wird darüber informiert, dasswir nun erst einmal bei den einfachsten Graphen beginnen, den Geraden:
  
Frage: Wie kann ich die Lage einer Linie/Geraden erfassen?
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'''Frage: Wie kann ich die Lage einer Linie/Geraden erfassen?'''
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:''Mögliche Vorschläge sollten durchgegangen werden. Vorher sollte ein Koordiatensystem vorgegeben werden, z.B. der Rand des Bildes.''
  
    * Zwei Punkte einzeichnen
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Dann sollen die Schüler in GeoGebra anfangen zu arbeiten. Ich würde eine Datei vorbereiten, bei der das Algebra-Fenster ausgeschaltet ist und nur die benötigten Funktion vorhanden sind.
    * Gerade durchzeichnen lassen (ohne Algebra-Fenster)
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    * Weitere Punkte ablesen
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    * Geichung finden, die für alle diese Punkte gilt
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    Muss man vielleicht mal ansprechen, dass es bei zwei Unbekannten in einer Gleichung, also dem x- und dem y-Wert, mehrere Lösungen geben kann. Ideen suchen lassen, wie man eine solche Gleichung findet.
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'''Mündlich werden  den Schüler folgende Arbeitsaufträge gegeben:'''
    Oder mittels Parameter suchen. Drei Schieber verwenden für eine Gleichung ax+by=c und dann durch Probieren a,b und c bestimmen. Kann man die Werte aus dem Bild schon ablesen? Oder aus den gegeben Punkt direkt berechen?
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    * Algebra-Fenster einschalten -> eine andere Darstellung - man kann aber auch die andere Variante anzeigen lassen. Kann man die Werte aus der Zeichnung ablesen? Oder direkt aus den vorhandenen Punkten berechnen?
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*Zeichne die zwei Punkte ein ... per Befehl A=(3|5) und nicht per Maus damit es genauer ist.
    * Es gibt zwei Darstellungsmöglichkeit für die Gleichung: ax+by=c oder y=mx+n. Welche ist besser für welchen Zweck?
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*Zeichne mit der Maus eine Gerade durch die zwei Punkte, in dem du erst den Geradenbefehl oben anklickst und dann die zwei Punkte.
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*Lies weitere Punkte ab, die auf dem Graph der linearen Funktion liegen.
  
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'''Es soll nun eine mathematisch-rechnerische Darstellung für diese Gerade gefunden werden'''
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:<small>Das folgende würde ich eher im Lehrer-Vortrag ansprechen, wobei Schüler natürlich ihre Gedanke äußern können.</smkall>
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<u>Was bedeutet das?</u> Das Einzeichnen reicht nicht aus, denn ich kann so keine Berechnungen durchführen. Ich brauche vielmehr eine Art Rechenvorschrift, mit der ich z.B. Werte testen kann (ob sie dazu gehören etwa).
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<u>Wie geht das?</u> Diese Rechenvorschrift muss auf jeden Fall die Koordinaten-Werte x und y enthalten.
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<u>Lösung: Eine Gleichung mit den zwei Unbekannten x und y:</u> Hier muss man mal ansprechen, dass es bei zwei Unbekannten in einer Gleichung, also dem x- und dem y-Wert, mehrere Lösungen geben kann. Das kann an einer einfachen Gleichung gezeigt werden, z.B. x+y=1. Dazu sollte man ruhig auch mal einige Lösungen notieren udn in ein KOS einzeichnen, um zu zeigen, dass sich tatsächlich eine Gerade als Bild ergibt. Die Gleichung müsste dann der Art a*x+b*y=c sein, wobei a,b und c die Lage der Geraden bestimmen.
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:<small>Ich würde eigentlich darauf beharren, diese Art der Gleichung zu verwenden, auch wenn ein Schüler eine Gleichung der Art y=mx+b vorschlagen. Grund: Sieht einigermaßen einfacher aus.</small>
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<u>Wie findet man die passende Gleichung zu unserer Geraden?</u> Die Schüler könnten Vorschläge machen, wie man a,b, und c bestimmen könnte. Sicher wird auch das Ausprobieren vorgeschlagen. Damit dies einfacher geht, kann wieder GeoGebra verwendet werden.
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'''Arbeitsaufträge:'''
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*Gib drei Variabeln a,b und c an mit einem beliebigen Wert.
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*Mache die Werte sichtbar, dann hat man Schieberegler (Einstellungen: Werte von -5 bis 15, Schrittweite 1)
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*Versuche die Werte für a,b, und C heraus zu bekommen, damit die Gleichung a*x+b*y=c mit den entsprechenden Werten identisch mit unser Geraden ist.
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*Probiere aus, ob auch die anderen Punkte, die man abgelesen hat, die Gleichung erfüllen.
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'''Nach dem Suchen können einige Fragen gestellt werden:'''
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* Kann man die Werte für a,b, und c direkt ablesen aus der Zeichnung?
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* Wie wirken sich die Veränderung von a,b, und c auf die Lage der Geraden aus?
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* Es gibt mehrere Lösungen für a,b, und C. Wie hängen sie zusammen?
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* Gibt es eine Möglichkeit die Werte ohne Zeichnung und Probieren zu finden, indem man die Koordinaten der zwei bekannten Punkte verwendet?
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'''Nun kann das Algebra-Fenster von Geogebra zugeschaltet werden.'''
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* Per Rechtsklick kann man eine andere Darstellung y=mx+d für die Geraden einschalten.
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* Die Gleichung sollte anhand der bekannten Punkte überprüft werden.
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* Erkennt ihr Vorteile oder Nachteile gegenüber der anderen Gleichungs-Art.
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* Gibt es noch andere Werte m und d die möglich sind.
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* Gibt es noch andere Varianten?
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* Kann man die Werte für m und d direkt ablesen aus der Zeichnung?
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* Wie wirken sich die Veränderung von m und d auf die Lage der Geraden aus? (Wieder Parameter verwenden!)
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''Am lehrreichesten wäre es sicherlich, wenn die Schüler die Untersuchungen möglichst selbstständig durchführen würden.''
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* Es gibt zwei Darstellungsmöglichkeit für die Gleichung: ax+by=c oder y=mx+n. Welche ist besser für welchen Zweck?
  
 
===Handytarife===
 
===Handytarife===

Version vom 6. Juli 2008, 21:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Online Lehr- und Lernangebote

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Anwendungsorientierte Aufgaben zur Linearen Funktion

Eine ausführliche Beschreibung des Unterrichtsverlaufs mit Lernzielen, einem didaktischen Kommentar und dem kompletten Download aller Materialien finden Sie unter Lo 20x20.gif Lineare Funktionen interaktiv erkunden

Ideen zur Einführung und Anwendungen zum Thema

Selbstentdecken der Geradengleichung mit GeoGebra

... von BirgitLachner.

Dieser Einstieg in das Thema Geradengleichungen soll gleichzeitig als Einstieg in das Gebiet der Funktionenlehre genutzt werden.

Ich würde meinen Schüler am Computer Bilder und verschiedene Funktionen zeigen und erklären, das man häufig Messwerte in eine Form überträgt, mit der man Berechnungen durchführen kann. Dazu muss man die reale Situation in eine mathematische Formel fassen und kann diese dann auch grafisch darstellen.

Dazu würde ich einige Beispiele zeigen, bei denen zu einem Bild eine Funktionsgleichung bestimmt wird um so dann etwas zu berechnen.

Dazu könnte man die Fagen stellen:

  • Was haltet ihr von diesem Vorgehen?
  • Welcher Vorteil hat es, wenn man etwas berechnen kann?
  • Was ist die Schwierigkeit?

Nach dem das Wesentliche geklärt ist, werden noch einige Begriffe wiederholt und neue Begriffe erklärt:

  • (Funktions-)Graph
  • Funktionsgleichung
  • Achsen
  • Koordinatensystem/Kordinaten ablesen und eintragen
  • ...

Dann würde ich die Schüler darüber informieren, dass nach und nach bestimmte Arten von Kurven-Grundtypen eingeführt werden, die häufig vorkommen. Die könnte man grob zeigen (Geraden, Parabeln, Potenzfunktionen, Hyperbeln, Exponential, Logharithmus, ...). Dann wird darüber informiert, dasswir nun erst einmal bei den einfachsten Graphen beginnen, den Geraden:

Frage: Wie kann ich die Lage einer Linie/Geraden erfassen?

Mögliche Vorschläge sollten durchgegangen werden. Vorher sollte ein Koordiatensystem vorgegeben werden, z.B. der Rand des Bildes.

Dann sollen die Schüler in GeoGebra anfangen zu arbeiten. Ich würde eine Datei vorbereiten, bei der das Algebra-Fenster ausgeschaltet ist und nur die benötigten Funktion vorhanden sind.

Mündlich werden den Schüler folgende Arbeitsaufträge gegeben:

  • Zeichne die zwei Punkte ein ... per Befehl A=(3|5) und nicht per Maus damit es genauer ist.
  • Zeichne mit der Maus eine Gerade durch die zwei Punkte, in dem du erst den Geradenbefehl oben anklickst und dann die zwei Punkte.
  • Lies weitere Punkte ab, die auf dem Graph der linearen Funktion liegen.

Es soll nun eine mathematisch-rechnerische Darstellung für diese Gerade gefunden werden

Das folgende würde ich eher im Lehrer-Vortrag ansprechen, wobei Schüler natürlich ihre Gedanke äußern können.</smkall>

Was bedeutet das? Das Einzeichnen reicht nicht aus, denn ich kann so keine Berechnungen durchführen. Ich brauche vielmehr eine Art Rechenvorschrift, mit der ich z.B. Werte testen kann (ob sie dazu gehören etwa).

Wie geht das? Diese Rechenvorschrift muss auf jeden Fall die Koordinaten-Werte x und y enthalten.

Lösung: Eine Gleichung mit den zwei Unbekannten x und y: Hier muss man mal ansprechen, dass es bei zwei Unbekannten in einer Gleichung, also dem x- und dem y-Wert, mehrere Lösungen geben kann. Das kann an einer einfachen Gleichung gezeigt werden, z.B. x+y=1. Dazu sollte man ruhig auch mal einige Lösungen notieren udn in ein KOS einzeichnen, um zu zeigen, dass sich tatsächlich eine Gerade als Bild ergibt. Die Gleichung müsste dann der Art a*x+b*y=c sein, wobei a,b und c die Lage der Geraden bestimmen.

Ich würde eigentlich darauf beharren, diese Art der Gleichung zu verwenden, auch wenn ein Schüler eine Gleichung der Art y=mx+b vorschlagen. Grund: Sieht einigermaßen einfacher aus.

Wie findet man die passende Gleichung zu unserer Geraden? Die Schüler könnten Vorschläge machen, wie man a,b, und c bestimmen könnte. Sicher wird auch das Ausprobieren vorgeschlagen. Damit dies einfacher geht, kann wieder GeoGebra verwendet werden.

Arbeitsaufträge:

  • Gib drei Variabeln a,b und c an mit einem beliebigen Wert.
  • Mache die Werte sichtbar, dann hat man Schieberegler (Einstellungen: Werte von -5 bis 15, Schrittweite 1)
  • Versuche die Werte für a,b, und C heraus zu bekommen, damit die Gleichung a*x+b*y=c mit den entsprechenden Werten identisch mit unser Geraden ist.
  • Probiere aus, ob auch die anderen Punkte, die man abgelesen hat, die Gleichung erfüllen.

Nach dem Suchen können einige Fragen gestellt werden:

  • Kann man die Werte für a,b, und c direkt ablesen aus der Zeichnung?
  • Wie wirken sich die Veränderung von a,b, und c auf die Lage der Geraden aus?
  • Es gibt mehrere Lösungen für a,b, und C. Wie hängen sie zusammen?
  • Gibt es eine Möglichkeit die Werte ohne Zeichnung und Probieren zu finden, indem man die Koordinaten der zwei bekannten Punkte verwendet?

Nun kann das Algebra-Fenster von Geogebra zugeschaltet werden.

  • Per Rechtsklick kann man eine andere Darstellung y=mx+d für die Geraden einschalten.
  • Die Gleichung sollte anhand der bekannten Punkte überprüft werden.
  • Erkennt ihr Vorteile oder Nachteile gegenüber der anderen Gleichungs-Art.
  • Gibt es noch andere Werte m und d die möglich sind.
  • Gibt es noch andere Varianten?
  • Kann man die Werte für m und d direkt ablesen aus der Zeichnung?
  • Wie wirken sich die Veränderung von m und d auf die Lage der Geraden aus? (Wieder Parameter verwenden!)

Am lehrreichesten wäre es sicherlich, wenn die Schüler die Untersuchungen möglichst selbstständig durchführen würden.

  • Es gibt zwei Darstellungsmöglichkeit für die Gleichung: ax+by=c oder y=mx+n. Welche ist besser für welchen Zweck?

Handytarife

Siehe auch