Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

Abbildungen durch zentrische Streckung

1. Ähnlichkeitsabbildungen
   • Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung
2. Streckungsfaktor
   • Fortsetzung: Streckungsfaktor
3. Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors
4. Zusammenfassung
5. Übung
6. Wissenswertes

3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors

Wie lang ist die Strecke $\overline{P'Q'}$ im Verhältnis zur Strecke $\overline{PQ}$

Wie du in der 2. Station schon herausgefunden hast, ist die Bildstrecke $\vert k \vert$-mal so lang wie die Urbildstrecke.
Geometrisch bedeutet dies für einen beliebigen Punkt P: $\overline{ZP'} = \vert k \vert \cdot \overline{ZP}$
Daraus folgt: $\vert k \vert = {\overline{ZP'}\over\overline{ZP}}$

Ob dies auch zur Berechnung von Strecken, die nicht durch den Punkt Z verlaufen, gilt, kannst du durch Umformung herausfinden.
Ziehe dafür den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:

$\overline{ZP'} = \vert k \vert \cdot \overline{ZP}$ und $\overline{ZQ'} = \vert k \vert \cdot \overline{ZQ}$

$\overline{PQ} = \overline{ZQ} - \overline{ZP}$ und $\overline{P'Q'} = \overline{ZQ'} - \overline{ZP'}$

$\Rightarrow \overline{P'Q'} =$ $\vert k \vert$ $\cdot \overline{ZQ} - \vert k \vert \cdot$ $\overline{ZP}$

$\Rightarrow \overline{P'Q'} = \vert k \vert \cdot ($$\overline{ZQ}$ - $\overline{ZP}$)

$\Rightarrow \overline{P'Q'} = \vert k \vert \cdot$ $\overline{PQ}$

Zusammenfassung