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| {{Box|Info|Überall im Alltag begegnen uns verschiedene Verpackungen. Welche Verpackung verbraucht am meisten Material? Welche schont die Umwelt? Die Oberfläche eines Quaders oder eines Würfels kannst du bereits bestimmen. Auf dieser Seite erkundest du, wie man die Fläche von anderen Prismen sowie Zylindern berechnet.|Kurzinfo | | {{Box|Info|Hast du schon mal ein riesiges Paket bekommen, in dem nur ein kleiner Gegenstand enthalten war? Viel Luft und wenig Inhalt? Auf der vorherigen Seite hast du dich bereits mit Verpackungen beschäftigt. Häufig geht es nicht nur um das Material, das eine Verpackung verbraucht, sondern auch den Raum, den eine Verpackung einnimmt bzw. zur Verfügung stellt. |
| | Das Volumen eines Quaders oder eines Würfels kannst du bereits berechnen. Auf dieser Seite erfährst du, wie man dieses Wissen nutzen kann, um das Volumen von anderen Prismen oder einem Zylinder zu bestimmen.|Kurzinfo |
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| ==Erste Erkundungen== | | ==Erklärvideo== |
| | Erfahre in dem folgenden Video, wie man das Volumen eines Prismas oder eines Zylinders berechnet. Stoppe das Video, wenn es dir an einer Stelle zu schnell geht. Höre dir schwierige Stellen mehrfach an. |
| | {{#ev:youtube|GK59Ljb532k|800|center}} |
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| [[Datei:Prismen Alltag.jpg|400px]]
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| | Notiere den Merksatz unter der Überschrift <i> 2.2 Volumen von Prisma und Zylinder</i> in deinem Heft. |
| {{Box|Erkundung|Auf dem Bild siehst du verschiedene Verpackungen, die näherungsweise Prismen darstellen. Sammle Ideen, wie du den Materialverbrauch, d.h. die Fläche an verbrauchtem Pappkarton bestimmen kannst. Notiere deine Ideen im Heft unter der Überschrift "2.1 Oberfläche des Prismas" und erstelle eine Skizze.|Unterrichtsidee
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| ==Oberfläche und Körpernetze==
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| [[Datei:Prismen.png|800px]]
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| {{Box|Aufgabe 1a|# Wähle einen der auf dem Bild dargestellten Gegenstände aus.
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| # Zeichne ein Körpernetz zu dem von dir ausgewählten Prisma. Beschreibe, in welche Teilflächen sich die Oberfläche des Körpers zerlegen lässt. Überprüfe deine Zeichnung mithilfe des folgenden Applets.
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| # Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche, indem du den Flächeninhalt der Teilflächen berechnest und die Ergebnisse addierts.
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| Wiederhole das Vorgehen für die anderen beiden Prismen.|Übung
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| {{Lösung versteckt|
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| '''Hinweise zum Applet'''
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| #Klicke einmal auf das Applet. Oben links in der Ecke erscheinen verschiedene Werkzeuge.
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| #Zeichne als erstes die Grundfläche mit dem Vielecks-Werkzeug (zweites Symbol von links). Setze dazu die gewünschte Anzahl an Eckpunkten. Die Eckpunkte verbinden sich automatisch.
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| #Um aus dem Vieleck ein Prisma zu konstruieren, klicke das Prismen-Werkzeug (drittes Symbol von links) und dann dein Vieleck an. Gib die gewünschte Höhe an.
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| #Mit dem Mauszeiger (erstes Symbol von lins) kannst du die Punkt der Grundfläche verschieben und schauen, wie sich das Prisma verändert. Über den Button "Drehen" kannst du dir das Prisma aus verschiedenen Perspektiven ansehen.
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| #Um das Körpernetz deines Prismas angezeigt zu bekommen, klicke auf das Prisma-Werkzeug. Hier kannst du die Option "Netz" auswählen. Klicke erst "Netz" und dann dein Prisma an.
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| #Willst du ein neues Prisma zeichnen, kannst du das alte mit dem Mülleimer-Symbol löschen.
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| Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [https://www.geogebra.org/m/PHtUWdJ8].
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| <ggb_applet id="PHtUWdJ8" width="900" height="600" /> | |
| |Applet anzeigen|Applet verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Du kannst die Ansicht vergrößern, indem du das Bild anklickst.
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| '''Vorsicht - Fehlerteufel!''' In der Lösung zum zweiten Körper fehlt sowohl in der Grafik als auch in der Lösung die obere Fläche mit einem Flächeninhalt von 28 cm².
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| [[Datei:Prismennetze.png|900px]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Box|Aufgabe 1b|Beschreibe, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei den Prismen auftreten. Kannst du ein allgemeines Vorgehen erkennen? Notiere deine Beobachtungen im Heft|Übung | | {{Box|Merke|Das Volumen V von Prismen und Zylindern mit der Grundfläche G und der Höhe h berechnet man mit der Formel |
| }}
| | <blockquote><math> V= G \cdot h. </math> </blockquote> |
| | | Für einen Zylinder mit der Höhe h und dem Radius r der Grundfläche G gilt demnach |
| ==Oberfläche von Prismen==
| | <blockquote><math> V= G \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h.</math> </blockquote> |Merksatz}} |
| <span style="color:" blue> Joana </span> und <span style="color:" orange> Hendrik </span> reflektieren ihr Vorgehen bei der vorhergehenden Aufgabe.
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| [[Datei:Oberfläche Prisma Gespräch.png|700px]]
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| {{Box|Aufgabe 2|Erkläre mithilfe der von dir in Aufgabe 1 gezeichneten Körpernetze, wie die einzelnen Seitenflächen zusammen gefasst werden können. Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt der Mantelfläche (d.h. aller Seitenflächen) in einem beliebigen Prisma berechnen lässt.|Übung}}
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| {{Lösung versteckt| Die Lösungen zu Aufgabe 1 zeigen, dass sich die einzelnen Seitenflächen zu einem großen Rechteck zusammenfügen lasssen. Was ist die Länge und was ist die Breite dieses Rechtecks? |Tipp 1 anzeigen|Tipp verbergen}}
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| {{Lösung versteckt| Der Umfang der Grundfläche ist bei der Beantwortung der Frage hilfreich. |Tipp 2 anzeigen|Tipp verbergen}}
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| {{Box|Merke|Die '''Oberfläche eines Prismas''' besteht aus zweimal der gleichen '''Grundfläche''' und einem '''Mantel'''. Der Mantel setzt sich aus allen Seitenflächen des Prismas zusammen. Für den Oberflächeninhalt gilt also
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| <blockquote><math> O=2 \cdot G + M.</math> </blockquote> | |
| Damit der Mantel auf die Grundfläche passt, muss die Mantelfläche genauso lang sein wie der Umfang der Grundfläche. Also gilt
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| <blockquote><math> M= U \cdot h. </math> </blockquote> [[Datei:Oberfläche Prisma.png|350px]]|Merksatz}} | |
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| ==Oberfläche von Zylindern==
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| Neben Prismen begegnen uns im Alltag häufig auch Verpackungen, welche die Form eines Zylinders haben. Auch hier besteht die Verpackung aus zwei kongruenten Grundflächen und einem Mantel. Die Grundfläche ist hier durch einen Kreis gegeben. Wie man den Flächeninhaltes eines Kreises bestimmt, hast du bereits auf der Seite [[Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisfläche|Die Kreisfläche erkunden]] gelernt. Wir schauen uns daher als erstes die Mantelfläche eines Zylinders an.
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| {{Box|Aufgabe 3a|Für die Untersuchung von Mantelflächen eignen sich besonders Toilettenpapierrollen oder Küchenrollen. Sie stellen offene Zylinder dar, d.h. sie bestehen nur aus dem Mantel eines Zylinders. Stelle dir vor, du schneidest eine solche Papierrolle von oben nach unten auf. Welche geometrische Figur erhälst du? Stelle Vermutungen auf.|Übung}}
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| [[Datei:Toilettenpapier.jpg|300px]]
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| {{Box|Aufgabe 3b|Beschaffe dir eine (leere oder volle) Rolle Toilettenpapier, eine Scheere und einen Stift.
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| * Bei einer leeren Rolle: Schneide die Papierrolle möglichst gerade von oben nach unten auf. Biege das Papier gerade.
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| * Bei einer vollen Rolle: Markiere mit einem Stift das Ende des letzten Blatts. Rolle nun die oberste Schicht Toilettenpapier ab und schneide sie an deiner Markierung ab.
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| Welche geometrische Figur erhältst du? Vergleiche das Ergebnis mit deinen Vermutungen aus Aufgabe 3a).
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| Erläutere, welcher Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt dieser Figur und einem Kreis besteht. |Übung}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Die Mantelfläche des Zylinders ist ein '''Rechteck'''. Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe''' <math>h</math> des Zylinders. Die Länge des Rechtecks entspricht dem '''Umfang''' der Zylindergrundfläche ('''Kreisumfang'''). Der Mantelflächeninhalt <math>M</math> ist also das '''Produkt''' aus '''Umfang''' und '''Höhe''' des Zylinders.
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| }} | |
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| {{Box|Aufgabe|Zeichne einen Zylinder mit Radius <math>r=2</math> cm und Höhe <math>h=3</math> cm in dein Heft. Ergänze das zugehörige Körpernetz. Bestimme den Oberflächeninhalt des Zylinders, indem du die Flächeninhalte von Grundfläche und Mantelfläche berechnest. |Übung}} | | ==Anwendung== |
| | {{Box|Aufgabe 1|Bestimme das Volumen der abgebildeten Prismen |
| | [[Datei:Verschiedene Prismen.png|800px]]|Übung}} |
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| {{Lösung versteckt|Das Körpernetz sollte in etwa so aussehen: [[File:ZylinderNetz.svg|250px]]<br /> | | {{Box|Aufgabe 2|Zeichne einen Zylinder mit dem Durchmesser <math>d=12</math> cm und der Höhe <math>h=3</math> cm in dein Heft. Ermittle das Volumen des Zylinders.|Übung}} |
| Für die Grundfläche gilt: <math> G=r^2 \cdot \pi = 2^2 \cdot \pi \approx 12,57</math> [cm<sup>2</sup>]<br />
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| Für die Mantelfläche gilt:<math> M=2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 2 \cdot 3 =12 \cdot \pi \approx 37,7</math> [cm<sup>2</sup>]<br />
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| Der Oberflächeninhalt ist also: <math> O=2 \cdot G + M=2 \cdot 12,57+37,7 =62,84</math> [cm<sup>2</sup>]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| | {{Lösung versteckt|[[Datei:Loesung Volumen.png|700px]] |
| | |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} |
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| {{Box|Merke|Die '''Oberfläche eines Zylinders''' besteht aus zweimal der gleichen '''Grundfläche''', einem Kreis, und einem '''Mantel'''. Für den Oberflächeninhalt gilt also
| | <span class="fa fa-arrow-left fa-2x"></span> fa-2x |
| <blockquote><math> O=2 \cdot G + M. </math> </blockquote> | |
| Damit der Mantel auf die Grundfläche passt, muss die Mantelfläche genauso lang sein wie der Umfang des Kreises. Also gilt
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| <blockquote><math> M= U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h.</math> </blockquote> [[Datei:Körpernetz Zylinder Beschriftung.jpg|300px]]|Merksatz}}
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| [[Kategorie:Geometrie]]
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| {{Fortsetzung|weiter=Weiter zu Prismen und Zylindern|weiterlink=Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Volumina|Volumina}} | | {{Fortsetzung|weiter=Übungsaufgaben|weiterlink=../vermischte Übung}} |
