|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{Navigation Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}} | | {{Hilfe Navigation}} |
|
| |
|
| ==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung== | | == Hilfreiche Seiten == |
| | | * [[Spezial:Spezialseiten|Spezialseiten]] |
| ===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
| | ** [[Spezial:Statistik|Statistik]] |
| Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
| | ** [[Spezial:Gewünschte Seiten]] |
| | | ** [[Spezial:Doppelte Weiterleitungen]] |
| Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
| | * [[:Kategorie:Delete|Kategorie Delete]] - regelmäßig prüfen und löschen |
| [[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br> | |
| | |
| Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
| |
| {{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
| |
| * f(x) = 2,5x | |
| * f(x) = -2x - 1|3=Üben}} | |
| {{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
| |
| https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
| |
| <br>
| |
| | |
| ===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
| |
| | |
| {{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
| |
| Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.
| |
| | |
| Kann das sein?|Meinung}}<br>
| |
| Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
| |
| | |
| geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
| |
| | |
| ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
| |
| | |
| In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
| |
| | |
| [[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]
| |
| | |
| | |
| {{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
| |
| Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
| |
| Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
| |
| | |
| (Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
| |
| | |
| Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
| |
| | |
| <span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5 A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)
| |
| | |
| <span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5
| |
| | |
| 10 = 6 + 5
| |
| | |
| 10 = 11 '''(f)'''
| |
| | |
| Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:
| |
| | |
| '''Punktprobe:'''
| |
| | |
| <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>
| |
| | |
| <span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5
| |
| | |
| 13 = 8 + 5
| |
| | |
| 13 = 13 '''(w)'''
| |
| | |
| Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.
| |
| | |
| Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
| |
| <div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| {{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}
| |
| | |
| {{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
| |
| {{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| | |
| ===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
| |
| | |
| {{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
| |
| Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
| |
| a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
| |
| b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
| |
| Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
| |
| | |
| '''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''
| |
| | |
| geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5
| |
| | |
| ges: zugehöriger y-Wert
| |
| | |
| Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5
| |
| | |
| <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5
| |
| | |
| = 3 + 5
| |
| | |
| = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)
| |
| | |
| Sie müssen 8€ bezahlen.
| |
| | |
| '''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''
| |
| | |
| Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
| |
| | |
| geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5
| |
| | |
| ges: zugehörige x-Koordinate
| |
| | |
| Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
| |
| | |
| f(x) = 2x + 5
| |
| | |
| <span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5
| |
| | |
| 5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2
| |
| | |
| 2,5 = <span style="color:red">x</span> P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)
| |
| | |
| Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
| |
| <br />
| |
| <div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
| |
| <br>
| |
| {{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
| |
| {{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}
| |
| | |
| {{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
| |
| *[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1] | |
| *[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}} | |
| | |
| | |
| | |
| <br />
| |
| | |
| ===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
| |
| | |
| {{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
| |
| Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).|3=Üben}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
| |
| Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />
| |
| | |
| ===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
| |
| | |
| {{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
| |
| Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
| |
| {{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
| |
| <br>
| |
| {{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
| |
| | |
| P<sub>y</sub> (0|b)
| |
| | |
| Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
| |
| N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}
| |
| | |
| [[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]] | |
| | |
| {{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}
| |
| | |
| {{Box|1=Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
| |
| a) f(x) = -x+4<br>
| |
| b) f(x) = -0,5x + 5<br>
| |
| c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
| |
| {{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
| |
| y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
| |
| Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu a)|Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu b)|Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu b)|3=Verbergen}}
| |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu c)|Verbergen}}
| |
| |Tipps|Verbergen}}
| |
| | |
| {{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Anwendungen}}
| |
