Ganzrationale Funktionen und Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
(Unterschied zwischen Seiten)
Main>MarinaMueller
KKeine Bearbeitungszusammenfassung
 
Main>Hans-Georg Weigand
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 1: Zeile 1:
{| width=100% style="border: 0; background-color: #ffffff" cellpadding="0" cellspacing="3"
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
| style="width: {{{BREITE}}}; vertical-align: top; border:1px solid cornflowerblue; background-color: #FFFFFF" |
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
<div style="background-color: cornflowerblue; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid cornflowerblue;"></div>
<div style="float:right; margin:8px; margin-top:5px">[[Image:Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png|48px]]</div>
<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">
Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen!</div>
<div style="font-size:9pt; padding:5px">
In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können.
In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen.  
 
<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Kompetenzen</div>
{|valign=top cellpadding=0 cellspacing=2 width=100%
|align=left valign=top width=50%|
Du kennst bereits:
* verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...),
* lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen sowie
* Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse).
|align=left valign=top width=50%|
Nach Bearbeitung dieses Pfades:
* kennst du die ganzrationalen Funktionen als weitere Funktionenklasse.
* kannst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen erläutern.
* weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
* weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.
|}
 
{|border="0" width="100%"
|align = "right"|&nbsp;
|align = "left" width="1000"|Und nun  .... 
<br> 
|align = "left" width="1600"|'''Viel Spaß beim Bearbeiten!!'''
|}
 
</div>
</div>
|}
<br>


== '''Infos vor Beginn''' ==
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen ==
'''1) Lerntagebuch''': <br>
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein '''Lerntagebuch''' führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu  machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
<br>  


Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, als n = 2, 4, 6, ..
<br>
1)  Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
<br>
2)  Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:
* Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
* An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
* Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
* Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?
3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
<br>
4)  Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
<br>
<br>
5)  Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung
 
<br>
<br>
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />


'''2) Allgemeine Hinweise''': <br>
<br><br>
* Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
* Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
# Beschreibe die Graphen Achte dabei auf
* Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
* Symmetrie
* Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
* Monotonie
*    ...
* größte und kleinste Funktionswerte
<br>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.  
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die vom Übergang von n = 4 zu n = 6 usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>2</sup>, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? LÖSUNG!
}}
<br>
<br>
== '''Definition der ganzrationalen Funktionen''' ==
Eine kleine Aufgabe zum Einstieg: <br>
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Du hast ein quadratisches Stück Karton mit der Seitenlänge 16 cm und möchtest eine Kiste (ohne Deckel) basteln. Dazu schneidest du an jeder Ecke des Kartons ein Quadrat der Seitenlänge x aus, so dass du die übriggebliebenen Seiten nur noch hochzuklappen brauchst - die Höhe der Kiste ist demzufolge definiert als x. Stelle eine Funktion für das Volumen auf (in Abhängigkeit von der Höhe x), das heißt, bestimme V(x). Fertige zuvor eine Skizze an.}}
{{Lösung versteckt|1=<math>V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 - 64x^2 + 256x</math>}}
<br>
<br>
 
=== Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, .. ===
Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte '''ganzrationale Funktion''' - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden <math>4x^3</math>, <math>52x^2</math> und <math>256x</math>, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den '''Grad der Funktion''' an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit <math>a_3</math> - <math>a_1</math> bezeichnet (<math>a_3 = 4</math>, <math>a_2 = 52</math>, <math>a_1 = 256</math>) - sie heißen '''Koeffizienten'''.
<br>
<br>
 
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
Nun in allgemeiner Form:
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
{{Definition|1=Ein Term der Form <math>a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0</math> mit <math>n \in N</math>; <math>a_0</math>, <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, ..., <math>a_{n - 1}</math>, <math>a_n \in R</math> und <math>a_n \neq 0</math> heißt '''Polynom'''. Die Zahlen <math>a_0</math>, <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, ..., <math>a_{n - 1}</math>, <math>a_n</math> nennt man '''Koeffizienten''' des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient <math>a_n</math> nicht Null ist.<br>
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt '''ganzrationale Funktion'''. <br>
Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.}}
<br>
<br>
Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam zum Üben:
<br>
<br>
<quiz>
{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18</math>.
| type="{}" }
1) Der { Grad } der Polynoms ist { 4 }, da 4 der höchste vorkommende Exponent ist. <br>
2) Die { Koeffizienten } lauten wie folgt: <math>a_4</math> = { 0.5 }, <math>a_3</math> = { 3 }, <math>a_2</math> = { 7 }, <math>a_1</math> = { -1.3 }, <math>a_0</math> = { -18 }. Der Index des jeweiligen a entspricht immer den { Exponenten } des zugehörigen x. Achte auf die { Vorzeichen }! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle { reellen } Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.<br>
3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = { R }.
</quiz>


Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast: <br>
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Bestimme Grad und Koeffizienten der folgenden ganzrationalen Funktionen in deinem Lerntagebuch: <br>
1) <math>f(x) = \frac{1}{2}x^7 - 3x^5 + \sqrt{2}x^3 - x + 13</math> <br>
2) <math>g(x) = 7</math>  <br>
3) <math>h(x) = \frac{x}{2}</math> <br> 
4) <math>i(x) = 0,12345x^6 - 9,87654x </math> <br> 
5) <math>j(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x</math>}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
1) Grad: 7, Koeffizienten: <math>a_7 = \frac{1}{2}, a_5 = -3, a_3 = \sqrt{2}, a_1 = -1, a_0 = 13</math>  <br>
# Beschreibe wieder die Graphen Achte dabei auf
2) Grad: 0, Koeffizienten: <math>a_0 = 13</math> <br>
* Symmetrie
3) Grad: 1, Koeffizienten: <math>a_1 = \frac{x}{2}</math> <br>
* Monotonie
4) Grad: 6, Koeffizienten: <math>a_6 = 0,12345</math>, <math>a_1 = 9,87654</math>  <br>
* größte und kleinste Funktionswerte
5) Grad: 4, Koeffizienten: <math>a_4 = 1</math>, <math>a_3 = 1</math>, <math>a_2 = -1</math>, <math>a_1 = -1</math>  <br>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die vom Übergang von n = 3 zu n = 5 usw.!
}}
}}
<br>
<br>


Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch. <br>
== TESTE dein Wissen ==
<quiz display="simple">
 
{ <math>f(x) = \frac{x}{\sqrt{3}}</math> } 
 
+ ja
- nein
 
{ <math>g(x) = 1</math>} 
 
+ ja
- nein
 
{ <math>h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}</math> }
 
- ja
+ nein
 
{ 4) <math>i(x) = \frac {1}{x + 1} </math> } 
 
- ja
+ nein 
 
{ <math>j(x) = x^2</math> } 
 
+ ja
- nein
 
</quiz>
<br>
<br>
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
}}


{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Nun weißt du genau, was eine ganzrationale Funktion ist. Übernimm die Definition in dein Lerntagebuch (sofern noch nicht geschehen) und erläutere sie an einem selbstgewählten Beispiel für eine Funktion dritten Grades. Zeichne auch den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch - stelle dazu eine geeignete Wertetabelle auf.}}
== '''Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen''' ==
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Ordne die Funktionsgleichungen den jeweiligen Bildern zu. Begründe in deinem Lerntagebuch.}}
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
| [[Bild:-2x_-_1.jpg|200px]] || [[Bild:-10x^3_+_2x.jpg|200px]] || [[Bild:2x^3_+_3x.jpg|200px]] || [[Bild:2x^4_-x^2_+_3.jpg|200px]] || [[Bild:5x^3_-_2x^2_-_3.jpg|200px]]
|-
| <strong>  -2x-1 </strong>  || <strong> -10x<sup>3</sup>+2x </strong> || <strong>  2x<sup>3</sup>+3x </strong> || <strong> 2x<sup>4</sup>-x<sup>2</sup>+3 </strong> || <strong> 5x<sup>3</sup>-2x<sup>2</sup>-3 </strong>
|}
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|| [[Bild:x^2-x.jpg|200px]] || [[Bild:x1^3.jpg|200px]] || [[Bild:x1^4.jpg|200px]] || [[Bild:X^4-3x^2_-_2x_-_2.jpg|200px]] || [[Bild:x^5_+_3x^2.jpg|200px]]
|-
| <strong> x<sup>2</sup>-x </strong> ||  <strong> x<sup>3</sup> </strong> || <strong>  x<sup>4</sup> </strong> || <strong> x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>-2x-2 </strong> || <strong> x<sup>5</sup>+3x<sup>2</sup> </strong>
|}
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|| [[Bild:X^6_+_x^2.jpg|200px]] || [[Bild:-x^3.jpg|200px]] || [[Bild:-x^4_+_3x^2.jpg|200px]] || [[Bild:-x^4.jpg|200px]]
|-
| <strong> x<sup>6</sup>+x<sup>2</sup> </strong> || <strong>  -x<sup>3</sup> </strong>  || <strong> -x<sup>4</sup>+3x<sup>2</sup> </strong> || <strong>  -x<sup>4</sup> </strong>
|}
</div>
Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):
<br>
<br>
=== Symmetrie ===
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Bei welcher der Funktionen kannst du eine Symmetrie erkennen (Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur y-Achse)? Gruppiere die Funktionen bzw. die Funktionsgleichungen entsprechend in drei Gruppen (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie, keine Symmetrie). Formuliere einen Merksatz, woran man eine mögliche Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen kann.}}
{{versteckt|Untersuche speziell die Exponenten. Was fällt dir bei punktsymmetrischen Funktionen an den Exponenten auf, was bei achsensymmetrischen?}}
{{Lösung versteckt|
{{Merke|Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann
* achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
* punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.}}
}}
<br>
<br>


=== Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen ===
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=Wie verhalten sich die verschiedenen Graphen <br>
* für sehr große x-Werte?
* für sehr kleine x-Werte? <br>
Gruppiere die Funktionen begründet entsprechend ihres Verhaltens und formuliere in deinem Lerntagebuch einen Merksatz, woran man das Verhalten der Funktion für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte ablesen kann.}}


{{versteckt|Betrachte die einzelnen Summanden. Wenn du sehr große bzw. sehr kleine x-Werte einsetzt, welcher Summand bestimmt dann das Ergebnis hauptsächlich?}}


{{Lösung versteckt|
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
{{Merke|1=Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = <math>a_nx^n</math>, wobei n der Grad von f ist.}}
filename="4_axnc.ggb" />
}}


 
<br><br>
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
 
# Wir betrachten die Graphen zu f(x) = a*x<sup>2</sup> + c, also n = 2. Beschreibe die Veränderung des Graphen bei der Veränderung der Parameter a und c!
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Betrachte die folgenden Graphen:<br>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>n</sup> + c bei der Veränderung der Parameter a und c! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
 
# <math>f(x) = x^3</math>
# <math>f(x) = 3x^3</math>
# <math>f(x) = 3x^3 + 2x^2</math>
# <math>f(x) = 3x^3 + 2x^2 +5x</math>
# <math>f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x - 2</math>
 
<gallery perrow="5">
 
Datei:X^3.jpg
Datei:3x^3.jpg
Datei:3x^3+2x^2.jpg
Datei:3x^3+2x^2+5x.jpg
Datei:3x^3+2x^2+5x-2.jpg
 
</gallery>
-------
# <math>f(x) = x^4</math>
# <math>f(x) = 2x^4</math>
# <math>f(x) = 2x^4 - 2x^3</math>
# <math>f(x) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2</math>
# <math>f(x) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 3x</math>
# <math>f(x) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 3x -3</math>
 
<gallery perrow="5">
 
Datei:X^4.jpg
Datei:2x^4-2x^3.jpg
Datei:2x^4-2x^3+2x^2.jpg
Datei:2x^4-2x^3+2x^2+3x.jpg
Datei:2x^4-2x^3+2x^2+3x-3.jpg
 
</gallery>
 
Beschreibe jeweils den Verlauf der 5 bzw. 6 Graphen. Wie beeinflussen die weiteren Summanden den Verlauf des Graphen zu <math>x^3 / 3x^3</math> bzw. <math>x^4 / 2x^4</math>, d. h. ändert sich das Gesamtbild?}}<br>
{{Lösung versteckt|
{{Merke| 1=Der Graph zur Funktion verhält sich so wie der Graph zur Funktion y = <math>a_nx^n</math>, wobei n der Grad von f ist. Alle weiteren Summanden beeinflussen den Verlauf nur geringfügig.}}
}}
}}
<br>
Mithilfe der folgenden Übung kannst du [http://www.brinkmann-du.de/mathe/rbtest/1mct_n/mct_n_002.htm Verlauf und Symmetrie von ganzrationalen Funktionen untersuchen] und so überprüfen, ob du alles verstanden hast.
<br>
<br>
== '''Transformationen''' ==
Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.
<br>
Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt, und zwar mit den linearen und den quadratischen Funktionen. Dabei handelt es sich um nichts anderes als um ganzrationale Funktionen ersten und zweiten Grades. Eine lineare Funktion wird entsprechend der Definition als Polynom folgendermaßen geschrieben: <math>f(x) = a_1x + a_0</math> - der zugehörige Graph heißt - wie du weißt - Gerade. Die dementsprechende Schreibweise der quadratischen Funktionen sieht folgendermaßen aus: <math>g(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0</math> (Normalform) - der zugehörige Graph heißt Parabel. <br>
{{Arbeiten|NUMMER=8|ARBEIT=Skizziere und beschreibe das Aussehen von
* Geraden und
* Parabeln
in deinem Lerntagebuch. Erläutere jeweils den Einfluss der Koeffizienten auf die Graphen, sofern dieser eindeutig zu erkennen ist. Falls du Hilfe brauchst, nutze das versteckte Applet.}}   
{{versteckt|<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename=" .ggb" />}}
<br>
Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen und Spiegelungen von ganzrationalen Funktionen (speziell dritten und vierten Grades) beschäftigen. Los geht es mit den einfachsten ganzrationalen Funktionen - den Geraden. Mit verschiedenen Aspekten im Zusammenhang mit linearen Funktionen hast du dich im Unterricht zwar schon beschäftigt, aber noch nicht mit Transformationen von Geraden im Koordinatensystem. Das sollst du nun nachholen: <br>
{{Arbeiten|NUMMER=9|ARBEIT=Gegeben ist eine lineare Funktion mit f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. Die folgenden Bilder zeigen dir verschiedene Transformationen dieser Gerade. Bestimme jeweils eine Funktionsgleichung der neuen Gerade und erläutere kurz in deinem Lerntagebuch, durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung du die neue Gleichung entwickeln kannst. <br>
[[Bild:  ]]
<br>
Stelle anschließend allgemein zusammen, durch welche Veränderung in der Funktionsgleichung f(x) = a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub> du die jeweilige Transformation, d. h.
* eine Streckung in Richtung der y-Achse um den Faktor a ,
* eine Spiegelung des Funktionsgraphen an der x-Achse,
* eine Verschiebung in Richtung der y-Achse um e
* eine Verschiebung in Richtung der x-Achse um d
darstellen kannst. Du kannst deine Vermutungen mit verschiedenen Beispielen in [http://www.geogebra.org GeoGebra] überprüfen.
Kannst du in einer Gleichung zusammenfassen: Streckung in Richtung der y-Achse um a, Verschiebung in Richtung der y-Achse um e, Verschiebung in Richtung der x-Achse um d? Formuliere einen Satz, der Auskunft darüber gibt, wie du eine lineare Funktion an der x-Achse spiegeln kannst.}}
{{Lösung versteckt| f(x) = a[a<sub>1</sub>x - d) + (a<sub>0</sub> + e). Eine Spiegelung an der x-Achse kann erreicht werden durch die Wahl eines negativen Streckfaktors a.]}}
<br>
Eine Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die '''Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse'''. 
{{Arbeiten|NUMMER=10|ARBEIT=Eine Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse kann erreicht werden durch Bilden von f(bx) mit einem gegebenen Wert für b, d. h. überall dort, wo in der Funktionsgleichung ein x steht, wird bx eingesetzt und aufgelöst. Untersuche, für welche Werte von b sich die drei Möglichkeiten ergeben: Streckung, Stauchung, keine Veränderung. Nimm die Funktion f(x) und experimentiere mit [http://www.geogebra.org GeoGebra]. Beschreibe deine Versuche und Ergebnisse kurz in deinem Lerntagebuch.}}<br>
{{Lösung versteckt|Folgende Fälle lassen sich unterscheiden:
* -1 < b < 1: Streckung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Werte die Spiegelung an der y-Achse <br>
* b = 1: keine Veränderung, im negativen Fall nur Spiegelung an der y-Achse
* b < -1 bzw. b > 1: Stauchung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Fälle die Spiegelung an der y-Achse}} <br>
Automatisch hast du jetzt also auch schon die '''Spiegelung an der y-Achse''' als weitere Transformationsart mit bearbeitet.
{{Arbeiten|NUMMER=11|ARBEIT=Untersuche den Graphen zu f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. Bilde g(x) = f(bx) mit b = 4 und zeichne beide Geraden in dein Lerntagebuch. Untersuche, ob du einen anderen Weg findest, um mithilfe von bereits bekannten Transformationen ausgehend von f(x) zu g(x) zu gelangen. Erläutere in deinen Lerntagebuch. Wenn du möchtest, kannst du zur zeichnerischen Überprüfung [http://www.geogebra.org GeoGebra] nutzen.<br>
Formuliere abschließend: Ist es notwendig, im Zusammenhang mit linearen Funktionen die Streckung in Richtung der x-Achse gesondert zu betrachten?}} <br>
{{Lösung versteckt|Es ist möglich, zu g(x) zu gelangen, indem man f(x) mit dem Faktor 4 in Richtung der y-Achse streckt und um +\frac{1}{2} auf der y-Achse verschiebt. Demzufolge ist es bei linearen Funktionen nicht notwendig, die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse gesondert zu betrachten. Um eine Spiegelung an der y-Achse hervorzurufen, gibt es allerdings keine andere Möglichkeit.}} <br>
{{Arbeiten|NUMMER=12|ARBEIT=Mit den quadratischen Funktionen und möglichen Transformationen haben wir uns im Unterricht bereits ausführlich beschäftigt, allerdings haben wir dabei hauptsächlich die Scheitelpunktform betrachtet. Nun sollst du dich mit der Normalform auseinandersetzen und überprüfen, inwiefern du an dieser Schreibweise der Funktionsgleichung Transformationen ablesen kannst.<br>
Zuvor erstmal eine kurze Wiederholung: Wie hängen Scheitelpunktform und Normalform einer quadratischen Funktion zusammen? Wähle eine Beispielfunktion in Scheitelpunktform. Gib anschließend die zugehörige Normalform an. Wie gehst du vor, um die Normalform zu erhalten? Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Funktionen zeichnest - hast du richtig gerechnet? [http://www.geogebra.org GeoGebra].<br>
Überführe die Normalform anschließend rechnerisch zurück in die Scheitelpunktform.            .....        Na, geschafft? Falls nicht, kleiner Tipp: Quadratische Ergänzung!!!.
<br>
<br>
<br>
Du siehst also, Scheitelpunktform und Normalform sind nur zwei verschiedene Darstellungsformen für ein und dieselbe Funktionsgleichung. Beide Varianten können beliebig ineinander überführt werden.}} <br> <br>
Die Möglichkeit, die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen, ist allerdings nur bei quadratischen Funktionen so einfach möglich. Ganzrationale Funktionen mit n > 2 werden im Regelfall in Polynomschreibweise angegeben und lassen sich nicht in eine Art "Scheitelpunktform" überführen, an der alle Transformationsarten ablesbar sind. <br>
Auch für diese Fälle gibt es eine solche Funktionsgleichung, aber die Auseinandersetzung damit ist nicht die Aufgabe eurer Gruppe, sondern die der Gruppe "Potenzfunktionen". Ihr sollt euch mit der etwas schwierigeren Polynomschreibweise auseinandersetzen.
<br>
Du hast ja bereits herausgefunden, wie die verschiedenen Transformationen sich bei linearen Funktionen (also den einfachsten der ganzrationalen Funktionen) in die Funktionsgleichung einbauen lassen; im Folgenden sollst du versuchen, dein Wissen bezüglich der einzelnen Transformationsarten auf ganzrationale Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades zu übertragen.
<br>
<br>
Beginnen wir mit der '''Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse''':
<br>
{{Arbeiten|NUMMER=13|ARBEIT=Du siehst auf dem folgenden Bild zwei Funktionsgraphen: f(x) ist die Ausgangsfunktion mit der angezeigten Funktionsgleichung - g(x) ist demgegenüber in Richtung der y-Achse gestreckt. Bestimme die Funktionsgleichung zu g(x). <br>
<ggb height="" width="" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename=" .ggb" />
<br>
* Bestimme zuerst den Faktor a, mit dem du f(x) strecken oder stauchen musst, um g(x) zu erhalten.
* Durch welche mathematische Operation kannst du nun zur Funktionsgleichung von g(x) kommen?
* Welche Punkte des Graphen verändern sich durch eine Streckung in Richtung der y-Achse, welche nicht?
* Stauche f(x) um den Faktor a= <math>\frac {1}{2}<math>. Wie lautet die Funktionsgleichung zur neuen Funktion h(x)? Überprüfe mit dem GeoGebra-Link unten. <br>
* Überprüfe mithilfe des Links, ob deine Erkenntnisse sich auch auf Funktionen dritten und vierten Grades übertragen lassen. Welche Fälle für a lassen sich unterscheiden? Wähle für jeden Fall zwei entsprechende Beispiele und überprüfe - notiere in deinem Lerntagebuch. Was ändert sich im Fall a < 0?
* Formuliere einen Merksatz, der erklärt, wie du eine beliebige ganzrationale Funktion mit einem Faktor strecken oder stauchen kannst (Wie muss der Faktor jeweils aussehen?). Welche Punkte des Graphen werden durch eine Streckung / Stauchung nicht verändert? <br>
Falls du nicht weiter weißt, nutze den versteckten Hinweis. Falls du zeichnerisch ausprobieren möchtest, kannst du das hier tun: [http://www.geogebra.org GeoGebra].}} <br>
{{versteckt|Zur Bestimmung des Streckfaktors wähle dir einen Wert, also z. B. x = 1. Lies die zugehörigen Funktionswerte für beide Funktionen an den Graphen ab - in welcher Beziehung stehen die beiden Funktionswerte zueinander? Überprüfe mithilfe weiterer Werte und überlege dir, wie du diesen Streckfaktor mit der Funktionsgleichung von f in Verbindung setzen kannst.}} <br>
{{Lösung versteckt|
{{Merke|1=Eine Streckung bzw. Stauchung einer ganzrationalen Funktion wird erreicht durch die Multiplikation der '''gesamten''' Funktion mit dem Streckfaktor a. Für a lassen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden: <br>
* -1 < a < 1: Es handelt sich um eine Stauchung; im Falle eines negativen Streckfaktors kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
* a = 1: Die Funktionsgleichung ändert sich nicht, es handelt sich weder um eine Stauchung noch um eine Streckung.
* a > 1 bzw. a < -1: Es handelt sich um eine Streckung. Für negatives a ist es zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse. <br>
Durch eine Streckung oder Stauchung ändern sich alle Werte der Funktion mit Ausnahme der Nullstellen - Nullstellen bleiben von Streckungen (bzw. Stauchungen) in Richtung der y-Achse grundsätzlich unberührt.}}
}} <br>
Mit Bearbeitung dieser Aufgabe hast du bereits implizit die '''Spiegelung an der x-Achse'' mit untersucht und damit bereits eine weitere Transformationsart "abgehakt". Bevor du dich der nächsten Transformationsart zuwendest, hier noch einige Übungen zu Streckungen und Stauchungen:
<br>
Weiter geht es mit den '''Verschiebungen in Richtung der beiden Achsen''': <br>
Der Abwechselung halber betrachten wir nun eine Funktion 3. Grades.
{{Arbeiten|NUMMER=14|ARBEIT= <br>
<ggb height="" width="" showMenuBar="" showResetIcon="" filename=" .ggb" />  <br>
Beschreibe anhand der folgenden Bilder kurz in deinem Lerntagebuch, wie der Graph zu g aus dem Graphen zu f hervorgeht. Gegeben sind die Funktionsgleichungen  <br>
* <math>f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1</math>
* <math>g(x) = 3(x - 3)^3 - 4(x - 3)^2 + 1 - 2 = 3x^3 - 31x^2 + 60x - 64</math>
Wo finden sich die Verschiebungen in der Funktionsgleichung wieder? Kannst du eine Gleichung der Form g(x) = ... aufstellen, in der du allgemein f(x) nutzt (anstatt 3x^3 - 4x^2 + 1) und die ausdrückt, dass f um 3 Einheiten in Richtung der x-Achse und um 2 Einheiten in Richtung der y-Achse verschoben ist?} <br>
{{versteckt|Die Verschiebung des Graphen kann ausgedrückt werden durch g(x) = f(x - 3) - 2. Überall dort, wo in der Funktionsgleichung zu f(x) ein x steht, wird (x - 3) eingesetzt und abschließend an die gesamte Funktion ein -2 angehängt.}} <br>
{{Arbeiten|NUMMER=15|ARBEIT=Formuliere einen Merksatz, indem du erläuterst, wie sich eine Verschiebung um e in Richtung der y-Achse und eine Verschiebung um d in Richtung der x-Achse bei ganzrationalen Funktionen in der Funktionsgleichung darstellen lassen.}} <br>
{{Lösung versteckt|
{{Merke|Eine Verschiebung um d in Richtung der x-Achse lässt sich darstellen durch (x - d), das überall dort in die Funktionsgleichung eingesetzt wird, wo vorher ein x stand. Eine Verschiebung um e in Richtung der y-Achse lässt sich darstellen durch das Anhängen von e an die gesamte Gleichung. Formal kann diese Verschiebung des Graphen um (d / e) ausgedrückt werden durch g(x) = f(x - d) + e.}}
}} <br>
Nun ein konkretes Beispiel:
{{Arbeiten|NUMMER=16|ARBEIT=Gegeben ist eine Funktion <math>f(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 2</math>. Der Graph soll verschoben werden um +2 in x-Achsenrichtung und +3 in y-Achsenrichtung. Bestimme die verschobene Funktion g(x). Benenne Grad und Koeffizienten von g und zeichne beide Graphen in dein Lerntagebuch.}} <br>
{{versteckt|g(x) = f(x - 2) + 3}} <br>
{{Lösung versteckt|<math>g(x) = (x - 2)^4 + 2(x - 2)^3 - (x - 2)^2 + 2 + 3 = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 4x + 1</math>}}
<br>
<br>
Kleine Übung zum Verschieben von ganzrationalen Funktionen:
<br>
Zum Abschluss noch die '''Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse''': <br>
{{Arbeiten|NUMMER=17|ARBEIT=Versuche, deine Kenntnisse bezüglich Streckung in x-Achsenrichtung bei Geraden zu übertragen auf ganzrationale Funktionen im Allgemeinen: Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x</math>.
* Wie kannst du den Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor <math>b = \frac{1}{2}</math> in die Gleichung einbauen? Zeichne die Funktionen mit [http://www.geogebra.org GeoGebra]. Handelt es sich um eine Streckung oder um eine Stauchung?
* Überprüfe deine Ergebnisse bzgl. der möglichen Fälle für b aus Aufgabe 8 - sind sie übertragbar auf ganzrationale Funktionen im Allgemeinen? Wähle je drei Beispiele für eine Streckung, Stauchung und eine reine Spiegelung an der y-Achse für Funktionen 3. und Funktionen 4. Grades - skizziere die Graphen in deinem Lerntagebuch. Zur Überprüfung: [http://www.geogebra.org GeoGebra].
* Untersuche, ob die Betrachtung dieser Transformationsart auch bei ganzrationalen Funktionen im Allgemeinen durch andere Transformationsarten ersetzt werden kann.}} <br>
{{Lösung versteckt|
* <math>f(\frac{1}{2}x) = 2(\frac{1}{2}x)^3 - 6(\frac{1}{2}x)^2 + 3(1/2x)</math>
* Die Fallbetrachtungen für b können übertragen werden.
* ERsetzbar?????}}
<br>
<br>
=== Zusammenfassung ===
{{Arbeiten|NUMMER=18|Fasse zusammen, was du über Transformationen von ganzrationalen Funktionen gelernt hast. Erstelle eine Liste mit den Transformationsarten und der jeweiligen Einbindung in die Funktionsgleichung.}}
<br>
<br>
== '''Zusatzaufgabe''' ==
{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von ganzrationalen Funktionen. Nutze dazu [http://www.geogebra.org GeoGebra].}}

Version vom 21. Dezember 2008, 04:39 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n Element der natürlichen Zahlen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, als n = 2, 4, 6, ..

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.



Vorlage:Arbeiten

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.


Vorlage:Arbeiten

TESTE dein Wissen


Vorlage:Arbeiten



Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.



Vorlage:Arbeiten

Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Ganzrationale_Funktionen&oldid=62468“