Integralrechnung/Hauptsatz und Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
< Integralrechnung(Unterschied zwischen Seiten)
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 1: Zeile 1:
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
__NOTOC__
{{Box|1=Lernpfad|2=[[Datei:Riesenrad.jpg|left|230px]]
Mathematik betrifft alle unsere Lebensbereiche. Beim Karussell oder Schwingungen treten trigonometrische Funktionen auf.


==Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung==
Wäre es nicht toll, wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.
{{Box|1=Zusammenfassung|2=
* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
* Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von <math>f(x)</math> und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>.
</div>
* Die "Flächeninhaltsfunktion" wird '''Stammfunktion''' genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit <math>f(x)</math>:
<div align="center">
<math>F \ '(x) = f(x)</math>
</div>
* '''Integrieren''' oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des '''unbestimmten Integrals''' bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:
<div align="center">
<math>\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)</math>
</div>
* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
|3=Unterrichtsidee }}
<br><br>
Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
<br>
{{Box|1=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|2=
a) &nbsp; Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:
<div align="center">
<math>F(x) = \int \limits_{x_0}^x f(t) \ \mathrm{d}t</math>
</div>
:Dabei ist <math>F(x)</math> eine Stammfunktion zu <math>f(x)</math> und es gilt: <math>F \ '(x) = f(x)</math>.
<br><br>
b) &nbsp; Sei <math>f(x)</math> eine stetige reellwertige Funktion mit Stammfunktion <math>F(x)</math>. Dann gilt:
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
</div>
|3=Merksatz}}
<br>
Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>
Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>
Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:
<div align="center>
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>
</div>
<br>
==Beweis des Hauptsatzes==
Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm '''Beweis mit Geogebra'''] .


{{Fortsetzung|weiter=Integrationsregeln|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}
Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar|Für LehrerInnen:Didaktischer Kommentar]]
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|3=Lernpfad}}
 
{{Lösung versteckt|
*Übertrage die als "Hefteintrag" gekennzeichneten Beiträge auch wirklich in dein Heft!
*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>x </math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math> x </math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen! |Hinweise|Hinweise verstecken}}
 
Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest, da sie aufeinander aufbauen. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!
 
Anschließend lernst du noch Anwendungen kennen, aus denen du je nach Zeit und Interesse auswählen kannst.
 
Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.
{{Lernpfad Trigonometrische Funktionen}}
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
 
==Experimentier-Ecke==
 
 
Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
 
 
----
 
 
Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!
 
'''Hefteintrag:''' Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
 
 
 
{{Autoren|Silvia Joachim, Karl Haberl, Franz Embacher, siehe auch: [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen_2 Trigonometrische Funktionen]  im [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Hauptseite Medienvielfalts-Wiki]}}
 
 
----
 
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Version vom 23. November 2018, 14:11 Uhr


Lernpfad
Datei:Riesenrad.jpg

Mathematik betrifft alle unsere Lebensbereiche. Beim Karussell oder Schwingungen treten trigonometrische Funktionen auf.

Wäre es nicht toll, wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest? Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf. Für LehrerInnen:Didaktischer Kommentar

Mathematik-digital
  • Übertrage die als "Hefteintrag" gekennzeichneten Beiträge auch wirklich in dein Heft!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die -Achse mit Vielfachen von beschriftet. Indem man die -Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!

Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest, da sie aufeinander aufbauen. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

Anschließend lernst du noch Anwendungen kennen, aus denen du je nach Zeit und Interesse auswählen kannst.

Wenn du vorher die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.

Trigonometrische Funktionen
Sin(2x-2).jpg
Mathematik-digital.de


Einfluss der Parameter

Experimentier-Ecke

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.



Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!


Autoren: Silvia Joachim, Karl Haberl, Franz Embacher, siehe auch: Trigonometrische Funktionen im Medienvielfalts-Wiki


Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Integralrechnung/Hauptsatz&oldid=73303“