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| {{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.
| | <div style="border: 1px solid #97BF87; background-color:#BEF28C; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #97BF87;"></div> |
| [[Datei:Porsche918Spyder.jpg|alternativtext=|mini|Porsche 918 Spyder|ohne]]
| | <div style="border: 1px solid #97BF87; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| |Kurzinfo
| | ;[[Bild:Nuvola apps edu miscellaneous.png|30px]]Unterrichtsideen |
| }}
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| <br /> | | {{{1}}} |
| | | </div> |
| ==Der Porsche 918 Spyder== | | <br> |
| Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math> beschreiben.
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| [[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px|<math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math>]]
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| :{| class="wikitable" | |
| !'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
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| |-
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| |0||0
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| |-
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| |1||4,7
| |
| |-
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| |2||19,6
| |
| |-
| |
| |3||45,9
| |
| |-
| |
| |4||84,8
| |
| |-
| |
| |5||137,5
| |
| |-
| |
| |6||205,2
| |
| |-
| |
| |7
| |
| |289,1
| |
| |-
| |
| |8
| |
| |390,4
| |
| |-
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| |9
| |
| |510,3
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| |}
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| ==Mittlere Änderungsrate==
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| {{Box|Aufgabe 1|Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.
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| {{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.
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| a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br />
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| Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.
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| {{Lösung versteckt|[[/Lösungskontrolle/|zum Applet]]<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| <br />
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| ==Momentane Änderungsrate==
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| {{Box|Aufgabe 3|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> [[/Tabelle/|zur Tabelle]]
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| <ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>
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| b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in [[/Aufgabe 2 b)/|diesem Applet]] durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br />
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| c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
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| {{Lösung versteckt|Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt <math>P(3|f(3))</math> am Graphen von <math>f</math> hat. Diese Gerade nennt man Tangente. | |
| {{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz | |
| }}|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
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| {{Lösung versteckt|Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
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| }} | |
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| ==Der Differentialquotient==
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| {{Box|Aufgabe 4|a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls im Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die momentane Änderungsrate und die Steigung der Tangente darstellen.
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| {{Lösung versteckt|Nähert sich <math>x</math> einer Zahl oder einem <math>x_0</math> beliebig nahe, so schreibt man dies kurz mit: <math>\lim_{x\to x_0}</math>
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| |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient <math> \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> kommt der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math> strebt.<br/>
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| Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
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| }} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| __KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__
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Unterrichtsideen
