Terme/Umformen von Termen und Terme/Auflösen von Klammern: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
__NOTOC__
==Äquivalente Terme==
==Klammerregeln bei Addition und Subtraktion==


{{Box|1=Aufgabe|2=


{{Box|1=Aufgabe|2=Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: <math>b_1 = b_2 = b </math>)
Überlege, wie du die Klammern auflösen kannst.


Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
* <math> T(x;y)= 9x+(8x+5y) </math>
{{Lösung versteckt|1=
<math> T(x;y)= 9x+(8x+5y)= 9x+8x+5y = 17x+5y </math>
<br>
}}


[[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]]
* <math> T(x;y)= 9x+(8x-5y) </math>
{{Lösung versteckt|1=
<math> T(x;y)= 9x+(8x-5y) = 9x+8x-5y = 17x-5y  </math>
<br>
}}


* <math> T(x;y)= 9x-(8x+5y) </math>
{{Lösung versteckt|1=
<math> T(x;y)= 9x-(8x+5y) = 9x-8x-5y = x-5y </math>
<br>
}}


*<math> T(x;y)= 9x-(8x-5y) </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
 
<math> T(x;y)= 9x-(8x-5y) = 9x-8x+5y = x+5y </math>
1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: <math> A_1(b)= 2b \cdot 4-2b </math>
<br>
 
2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also <math> A_2(b)= 3 \cdot 2b </math>
 
Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
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===Erklärung===
===Erklärung===


Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.
Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.


<span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so kann man die Klammer weglassen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert.
{|width="99%"
: <math> a+(b+c) = a+b+c </math>
|width="40%" style="vertical-align:top"|
: <math> a+(b-c) = a+b-c </math>
<br />  
Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so wird beim Auflösen der Klammer aus jedem Pluszeichen in der Klammer ein Minuszeichen und aus jedem Minuszeichen in der Klammer ein Pluszeichen.
: <math> a-(b+c) = a-b-c </math>
: <math> a-(b-c) = a-b+c </math>


* '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt: 
[[Bild:erklärwurm.gif|right]]
::<math>a+b = b+a</math>
::<math>a \cdot b = b \cdot a</math>
* '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
::<math>a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c</math>
::<math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c</math>
* '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
::<math>a \cdot (b+c) = a \cdot b+a \cdot c</math>
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
::<math>(b+c):a = b:a+c:a</math>
 
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="70%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}




===Beispiel===
===Beispiel===


{{Box|1=Übung|2=
{{Box|1=Übung|2=
<math>T(a;b)= 3a+(7b+2a) </math>
<math>\overset{(KG)}{= } 3a+(2a+7b) </math>
<math>\overset{(AG)}{= } (3a+2a)+7b  </math>
<math>= 5a+7b </math>
Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
Vereinfache nun selbst folgende Terme:
a) <math> T(a;b)= 7a+(9b+6a) </math>


{{Lösung versteckt|1=
<math> \color{blue} 2x^2 \color{black} + \color{orange} 36x \color{black} + ( \color{orange} 34x \color{black} - \color{green} 11 \color{black} ) =  
a) <math> T(a;b)= 7a+(9b+6a) </math>


<math>\overset{(KG)}{= } 7a+(6a+9b) </math>
\color{blue} 2x^2 \color{black} + \color{orange} 36x \color{black} + \color{orange} 34x \color{black} - \color{green} 11 \color{black} = 


<math>\overset{(AG)}{= } (7a+6a)+9b </math>
\color{blue} 2x^2 \color{black} + \color{orange} 70x \color{black} - \color{green} 11 </math>


<math>= 13a+9b </math>
<br>
}}


b) <math> T(a;b)= 2 \cdot (a \cdot 3) \cdot b+4 \cdot (a \cdot 5) \cdot b </math>
Vereinfache selbst:


* <math> 19y-(20y-18) </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
b) <math>  T(a;b)= 2 \cdot (a \cdot 3) \cdot b+4 \cdot (a \cdot 5) \cdot b </math>
* <math> 19y-(20y-18) = 19y-20y+18 = -y+18 </math>
 
<math> \overset{(KG)}{= }  2 \cdot (3 \cdot a) \cdot b+4 \cdot (5 \cdot a) \cdot b </math>
 
<math> \overset{(AG)}{= } (2 \cdot 3) \cdot a \cdot b+(4 \cdot 5) \cdot a \cdot b </math>
 
<math> = 6ab+20ab </math>
 
<math> = 26ab </math>
<br>
<br>
}}
}}


c) <math> T(x)= (3+5 \cdot x) \cdot x </math>
* <math> 5z+(7z-3+2z) </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
c) <math> T(a;b)= (3+5 \cdot x) \cdot x </math>
* <math> 5z+(7z-3+2z) = 5z+7z-3+2z = 5z+7z+2z-3 = 14z-3 </math>
 
<math> \overset{(DG)}{= }  3 \cdot x+5 \cdot x \cdot x </math>
 
<math> = 3x+5x^2</math>
<br>
}}
}}
|3=Üben}}
|3=Üben}}


==Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder==


==Übungsaufgaben==


{{Box|1=Augaben|2=Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
{{Box|1=Aufgabe 1|2=Vereinfache so weit wie möglich:
 
*<math> 5 \cdot x+3 \cdot x= </math>


* <math> 36a-(12a+9) </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>5 \cdot x+3 \cdot x= 8 \cdot x=8x </math>
<math> 36a-(12a+9) = 36a-12a-9 = 24a-9 </math>
<br>
<br>
}}
}}


*<math>5 \cdot x-3 \cdot x=  </math>
* <math> 27n+(-5n+4)</math>
 
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>5 \cdot x-3 \cdot x= 2 \cdot x= 2x </math>
<math> 27n+(-5n+4) = 27n-5n+4= 22n+4 </math>
<br>
<br>
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
===Erklärung:===
{|width="99%"
|width="100%" style="vertical-align:top"|
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<math>\color{red} m \color{black} \cdot x + \color{red} n \color{black} \cdot x = ( \color{red} m+n \color{black} ) \cdot x </math>
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<math>\color{red} m \color{black} \cdot x - \color{red} n \color{black} \cdot x = ( \color{red} m-n \color{black} ) \cdot x </math>
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="50%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
{{Box|1=Übung|2=
<math> T(x)= 9 \cdot x-6+7 \cdot x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2 </math>
<br />Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:


* <math> T(z)= 8 \cdot z^2-7+3 \cdot z+(4 \cdot z^2+2 \cdot z^2)-2z </math>
* <math> 29m-(3-m)</math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math> T(z)= 8 \cdot z^2-7+3 \cdot z+(4 \cdot z^2+2 \cdot z^2)-2z = </math>
<math> 29m-(3-m) = 29m-3+m= 30m-3 </math>
 
<math>= 8z^2-7+3z+6z^2-2z =  </math>
 
<math>= 8z^2+6z^2+3z-2z-7 =  </math>
 
<math>= 14z^2+z-7 </math>
<br>
<br>
}}
}}


* <math> T(n)= 2,2 \cdot n+2,8 \cdot n^2-0,25+ \left[ n(2,7+0,3n)\right]</math>
* <math> 8x+(9-x) </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>8x+(9-x)= 8x+9-x= 7x+9 </math>
}}


<math> T(n)= 2,2 \cdot n+2,8 \cdot n^2-0,25+ \left[ n(2,7+0,3n)\right] = </math>
|3=Arbeitsmethode}}


<math> = 2,2n+2,8n^2-0,25+ \left[ 2,7n+0,3n^2)\right] = </math>


<math> = 2,2n+2,8n^2-0,25+2,7n+0,3n^2 = </math>
{{Box|1=Aufgabe 2|2=


<math> = 2,8n^2+0,3n^2+2,2n+2,7n-0,25 = </math>
* Schreibe die Summe <math> (a-b)+(x-y) </math> als Differenz
{{Lösung versteckt|1=
* Schreibe die <span style="color: green">Summe</span> (a-b)<span style="color: green">+</span>(x-y) als <span style="color: red">Differenz</span>:


<math> = 3,1n^2+4,9n-0,25 </math>
:<math>(a-b)\color{green} + \color{black}(x-y) = (a-b) \color{red} - \color{black} (\color{red}- \color{black} x\color{red} + \color{black} y ) </math>
<br>
<br>
}}
}}


* <math> T(a;b)= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+a(2b+9) </math>
* Schreibe die Differenz <math> (m-l)-(z-u) </math> als Summe
 
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
 
* Schreibe die <span style="color: green">Differenz</span> (m-l)<span style="color: green">-</span>(z-u) als <span style="color: red">Summe</span>:
<math> T(a;b)= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+a(2b+9) = </math>
: <math> (m-l)\color{green} - \color{black} (z-u) = (m-l) \color{red} + \color{black} ( \color{red} - \color{black} z+u) </math>
 
<math>= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+2ab+9a = </math>
 
<math>= 4a^2-2a+9a+2ab-8b^2+3b+2 = </math>
 
<math>= 4a^2+7a+2ab-8b^2+3b+2 </math>
<br>
}}
}}
|3=Üben}}


|3=Arbeitsmethode}}


==Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl==


{{Box|1=Aufgabe|2=Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Finde die fehlenden Zeichen (O) und Termglieder(<math>\Box</math>)


<math> T(x)= (3 \cdot a) \cdot 2 </math>
* <math> (\Box n +2y) - (4n O  17y) = 6n+19y </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>T(x)= (3 \cdot a) \cdot 2=  </math>
* <math> (\Box n +2y) - (4n O 17y) = 6n+19y </math>
 
: <math> ( \color{blue} 10 \color{black} n+2y) - (4n \color{blue} - \color{black} 17y) = 6n+19y </math>
<math> \overset{(AG)}{= } 3 \cdot (a \cdot 2) = </math>
 
<math> \overset{(KG)}{= } 3 \cdot (2 \cdot a) = </math>
 
<math> \overset{(AG)}{= } (3 \cdot 2) \cdot a = </math>
 
<math> = 6 \cdot a </math>
 
<math> = 6a</math>
<br>
<br>
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
* <math> (2n O  3m) + ( \Box n -  \Box m) = 7n-10m </math>
 
 
===Erklärung===
 
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
:<math> ( \color{red} 4 \color{black} \cdot a ) \cdot \color{red} 3 \color{black} = 4 \cdot (a \cdot 3) = 4 \cdot ( 3 \cdot a) = ( \color{red} 4 \cdot 3 \color{black} ) \cdot a = \color{red} 12 \color{black} \cdot a = 12a </math>
 
[[Bild:erklärwurm.gif|right]]
 
 
 
{{Box|1=Übung|2=
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
 
<math> T(a)= (14 \cdot a):2 </math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>\ T(a)= (14 \cdot a)/2 = </math>  
* <math> (2n O  3m) + ( \Box n -  \Box m) = 7n-10m </math>
 
: <math> (2n  \color{blue} - \color{black} 3m) + ( \color{blue} 5 \color{black} n -  \color{blue} 7 \color{black} m) = 7n-10m </math>
<math> = \frac{14*a}{2} </math>
 
<math> = \frac{7*a}{1} </math>
 
<math> = 7 \cdot a  </math>
 
<math> = 7a </math>
<br>
<br>
}}
}}
|3=Üben}}
* <math> (13a O  \Box b) - ( \Box a+5b) = 4a+4b </math>
 
 
===Erklärung===
 
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
 
: <math> ( \color{red} 9 \color{black} \cdot a ) : \color{red} 3 \color{black} = \frac{9*a}{3} = \frac{3*a}{1} = \color{red} 3 \color{black} \cdot a = 3a </math>
 
[[Bild:erklärwurm.gif|right]]
 
 
{{Box|1=Übung|2=Forme möglichst einfache Terme:
 
* <math> (-6n):2 </math>
* <math> 24 \cdot 0,5b </math>
* <math> 2m \cdot 6 </math>
* <math> 25y:(-0,1) </math>
* <math> \left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3 </math>
* <math> (2y+5y-6y) \cdot 2 </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
* <math> (-6n):2= \frac{-6n}{2} = \frac{-3n}{1} = -3n </math>
* <math> (13a O  \Box b) - ( \Box a+5b) = 4a+4b </math>
* <math> 24 \cdot 0,5b= (24 \cdot 0,5) \cdot b= 12 \cdot b= 12b </math>
: <math> (13a  \color{blue} + \color{black} \color{blue} 9 \color{black} b) - ( \color{blue} 9 \color{black} a + 5b) = 4a+4b </math>
* <math> 2m \cdot 6= (2 \cdot 6) \cdot m= 12 \cdot m= 12m </math>
<br>
* <math> 25y:(-0,1)= \frac{25y}{-0,1} = \frac{-250y}{1} = -250y </math>
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3 = \left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3 = \left( \frac{4x}{12}\right)  :3 = \left( \frac{x}{3}\right) :3 = \frac{x}{3} *\frac{1}{3} = \frac{x}{9}  </math>  
* <math> (2y+5y-6y) \cdot 2= y \cdot 2= 2y </math>
}}
}}
|3=Üben}}


==Übungsaufgaben==
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=Aufgabe 1|2=
 
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>''' 1: '''</big>
 
<math> T_1(x)= 5x-2x+6x </math>
 
<math> T_2(x)= 2 \cdot x \cdot 2+5x</math>
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 
<big>''' 2 : '''</big>
 
<math> T_1(y)= 4y-3 \cdot 4y+15</math>
 
<math> T_2(y)= 3 \cdot 5+2y-4y-6y</math>
 
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 
<big>''' 3: '''</big>
 
<math> T_1(y;z)= 2y-3+z</math>
 
<math> T_2(y;z)= 5y \cdot 2+z+5-8y-8</math>
 
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 
<big>''' 4: '''</big>
 
<math> T_1(z)= 4 \cdot\frac{3}{2} -2z </math>


<math> T_2(z)= 6+8z-5 \cdot 20%-z \cdot 9</math>


(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
[[Bild:termmauer.jpg|right]]


<big>''' 5: '''</big>
Bei dieser Termmauer steht auf jedem Stein die '''Summe''' der Terme, die auf den beiden Steinen darunter stehen. Übertrage die Zeichnung in dein Heft und vervollständige sie.
 
<math> T_1(r)= 3r-2^3 r+5-r </math>
 
<math> T_2(r)= 3 \cdot r \cdot 2 </math>
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
</div>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 2|2=
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math> A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c </math><br />
[[Bild:termmauer-lösung.jpg|center]]
<math> A _{neu} = \frac{1}{2} \cdot 2  \cdot c \cdot 3 \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c  \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \cdot 6 = A \cdot 6 = 6A </math>
 
Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
{{{!}} class="wikitable center"
{{!}}-
! ursprünglicher Term !! <math> 3x+2x^2-x+3x^2 </math> !! <math> 7x+x </math> !! <math> x^3-x^2+2x^3 </math>  !! <math> x \cdot x \cdot x </math> !! <math> x+x-2x </math> !! <math>x-2x </math> !! <math> x+x+3x^2 </math>
{{!}}-
{{!}} 1.Vorschlag {{!}}{{!}} <math> 5x^2+2x [S] </math> {{!}}{{!}} <math> 7x^2 [E] </math> {{!}}{{!}}<math> x+2x^3 [H] </math> {{!}}{{!}} <math> x^3  [T] </math> {{!}}{{!}} <math> 0  [Z] </math>  {{!}}{{!}} <math> -x  [E] </math> {{!}}{{!}} <math>  3x^4 [?] </math>
{{!}}-
{{!}} 2.Vorschlag {{!}}{{!}} <math> 6x^4-3x^2  [F] </math> {{!}}{{!}} <math> 8x  [P] </math> {{!}}{{!}}  <math> 3x^3-x^2 [I] </math> {{!}}{{!}}  <math> 3x  [L] </math>  {{!}}{{!}}  <math> x^2-2x  [E] </math> {{!}}{{!}} <math> -2x^2 [R] </math> {{!}}{{!}}  <math>  2x+3x^2 [!] </math>
{{!}}-
{{!}}}
Lösungswort: <big><u style="color:blue;background:blue">SPITZE!  </u></big><br />(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}




{{Weiter|../Auflösen von Klammern|Auflösen von Klammern}}
{{Weiter|../Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen|Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen}}


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{{Lernpfad Terme}}
{{Lernpfad Terme}}

Version vom 23. August 2018, 12:09 Uhr

Klammerregeln bei Addition und Subtraktion

Aufgabe

Überlege, wie du die Klammern auflösen kannst.





Erklärung

Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so kann man die Klammer weglassen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert.


Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so wird beim Auflösen der Klammer aus jedem Pluszeichen in der Klammer ein Minuszeichen und aus jedem Minuszeichen in der Klammer ein Pluszeichen.

Erklärwurm.gif


Beispiel

Übung


Vereinfache selbst:



Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache so weit wie möglich:





Aufgabe 2
  • Schreibe die Summe als Differenz
  • Schreibe die Summe (a-b)+(x-y) als Differenz:

  • Schreibe die Differenz als Summe
  • Schreibe die Differenz (m-l)-(z-u) als Summe:


Aufgabe 3

Finde die fehlenden Zeichen (O) und Termglieder()





Aufgabe 4
Termmauer.jpg

Bei dieser Termmauer steht auf jedem Stein die Summe der Terme, die auf den beiden Steinen darunter stehen. Übertrage die Zeichnung in dein Heft und vervollständige sie.

Termmauer-lösung.jpg


Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen


Termgliederungsbaum2.1.jpg

Terme

  1. Vorwort
  2. Terme und Variablen
  3. Aufstellen und Interpretieren von Termen
  4. Umformen von Termen
  5. Auflösen von Klammern
  6. Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen
  7. Weitere Aufgaben
  8. Grundwissenübersicht - Alles auf einen Blick
Mathematik-digital.de
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