Main>Elena Jedtke |
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{Quadratische Funktionen erkunden}}
| | <div style="background-color:#BEF28C; padding:7px;"> |
| | | ;[[Bild:Nuvola apps edu miscellaneous.png|30px]] Unterrichtsidee |
| | | ---- |
| {| {{Bausteindesign6}}
| | {{{1}}} |
|
| | </div><noinclude> |
| | In diesem Kapitel wirst du Experte für die '''Normalform''' quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese '''andere Variante''' quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel
| | ;Syntax: <nowiki>{{Idee|<Unterrichtsidee>}}</nowiki> |
| 1. lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
| | <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|.]]</noinclude> |
| | |
| 2. erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
| |
| | |
| 3. du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.
| |
| |}
| |
| | |
| | |
| {{Aufgaben|1|
| |
| | |
| '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
| |
| | |
| [[Datei:Anhalteweg.png|rahmenlos|zentriert|500px|Skizze Anhalteweg]]
| |
| | |
| In der [https://www.jungesportal.de/fuehrerschein/faustformeln-fuer-die-theorie.php Fahrschule] lernt man eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustformel] zur Berechnung des '''Bremsweges''' eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): <math> f(v) \approx \frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10} </math>. Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der '''Reaktionsweg''' des Fahrers beachtet werden. Er lässt sich annähernd durch „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ berechnen und wird durch den Term <math> f(v) \approx \frac{3 \cdot v}{10} </math> beschrieben.
| |
| | |
| Der '''Anhalteweg''' eines PKW lässt sich also näherungsweise mit folgender Formel bestimmen:
| |
| <math>f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}</math>
| |
| | |
| | |
| '''a)''' Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30 km/h, 50 km/h und 70 km/h und 100 km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.
| |
| | |
| Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:
| |
| | |
| <iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ppixrfhoj17" style="border:0px;width:80%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | |
| | |
| <popup name="Lösungsweg">
| |
| | |
| Der Anhalteweg wird durch einsetzen der Geschwindigkeiten v in die obige Formel berechnet. Es ergeben sich:
| |
| | |
| <math>f(30)\approx\frac{30}{10}\cdot\frac{30}{10}+\frac{3 \cdot 30}{10}=\frac{30^2}{100}+\frac{3 \cdot 30}{10}=18</math> ,
| |
| | |
| | |
| <math>f(50)\approx\frac{50^2}{100}+\frac{3 \cdot 50}{10}=40</math> ,
| |
| | |
| | |
| <math>f(70)\approx\frac{70^2}{100}+\frac{3 \cdot 70}{10}=70</math> und
| |
| | |
| | |
| <math>f(100)\approx\frac{100^2}{100}+\frac{3 \cdot 100}{10}=130</math> .</popup>
| |
| | |
| | |
| '''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe ihn.
| |
| | |
| <popup name="Hilfe">Der Anhalteweg ist ''abhängig'' von der Geschwindigkeit. Trage deshalb die Geschwindigkeiten auf der x-Achse und die Anhaltewege auf der y-Achse deines Koordinatensystems ein.</popup>
| |
| | |
| <popup name="Lösung"> [[Datei:Anhalteweg Graph.PNG|rahmenlos|500px|Anhalteweg eines PKW]]
| |
| | |
| | |
| Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist.</popup>}}
| |
| | |
| | |
| {{Merke|Funktionen, die mithilfe der Funktionsgleichung '''<math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>''' (mit a ≠ 0) beschrieben werden können, heißen quadratische Funktionen. Diese Darstellungsform nennt man '''Normalform'''. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der '''y-Achsenabschnitt c''' direkt abgelesen werden.}} | |
| | |
| | |
| {{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
| |
| | |
| Lies den Infotext '''Merke''' und denke dir anschließend ein Beispiel einer quadratischen Funktion in Normalform aus. Notiere den Term und fertige per Hand eine Skizze des Funktionsgraphen in deinem Hefter an. Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet nutzen.}}
| |
| | |
| | |
| <iframe scrolling="no" title="Die Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sRGaXKXE/width/1000/height/417/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="417px" style="border:0px;"> </iframe> | |
| | |
| {{Aufgaben|3|
| |
| Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.
| |
| | |
| '''a)''' Löse das folgende Quiz indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.
| |
| | |
| <iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ps554x1ba17" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
| |
| | |
| '''b)''' Du hattest noch ein paar Schwierigkeiten bei der Zuordnung? Schau dir die folgenden Tipps an und versuche es erneut!
| |
| | |
| <popup name="Tipp 1">Du kannst...
| |
| | |
| ...den y-Achsenabschnitt an den Funktionsgraphen ablesen. Passt er zu einem der Funktionsterme? Oder findest du ihn in einer der Tabellen wieder?
| |
| | |
| ...einen beliebigen Punkt an den Graphen ablesen. Setze die Koordinaten in einen der Funktionsterme ein oder vergleiche sie mit den Werten in einer der Tabellen.
| |
| | |
| ...auf der [[Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter stellen sich vor|Paramterseite]] nachschauen wofür die Paramter in der Normalform stehen. Was ist nochmal der y-Achsenabschnitt, was der Streckungsfaktor?</popup>
| |
| | |
| <popup name="Tipp 2"> Der y-Achsenabschnitt hat die Koordinaten P(0|c). In Tabellen findest du ihn deshalb als y-Wert zu x=0. In Termen steht er als Paramter c, z. B. mit c=3 in <math>y=x^2+2x+3</math>.
| |
| | |
| Du hast alle Paare richtig zusammengefügt? Spitzenleistung, weiter zur nächsten Aufgabe!</popup>}}
| |
| | |
| | |
| {{Aufgaben|4|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
| |
| | |
| '''a)''' Finde Werte für a, b und c, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
| |
| | |
| | |
| <iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen in Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/YE3FKZgC/width/895/height/610/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe> | |
| | |
| <popup name="Hilfe">Überlege dir, welche Auswirkungen die einzelnen [[Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter stellen sich vor|Parameter]] auf die Lage der Parabel haben.
| |
| | |
| * Ist die Parabel auf dem Bild nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie gestreckt oder gestaucht? Stell den Parameter a dementsprechend ein.
| |
| | |
| * In welchem [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrant Quadranten] liegt die Parabel? Muss b positiv oder negativ sein?
| |
| | |
| * Kannst du einen y-Achsenabschnitt sehen? Stell den Parameter c dementsprechend ein.
| |
| | |
| * Kannst du den y-Achsenabschnitt nicht erkennen? Stell die Paramter a und b so ein, dass die Parabel genau über oder unter der Parabel auf dem Foto ist. Danach kannst du sie mit dem Parameter c in die richtige Höhe verschieben.</popup>
| |
| | |
| <popup name="Lösungsvorschläge">
| |
| Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.
| |
| | |
| {| class="wikitable"
| |
| |-
| |
| ! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c
| |
| |-
| |
| | Angry Birds || <math>f(x)=-0.13x^2+1.85x-1.75</math> || -0.14 ≤ a ≤ -0.13 || 1.85 ≤ b ≤ 1.95 || -1.65 ≤ c ≤ -1.85
| |
| |-
| |
| | Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04x^2-0.45x+2.15</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || -0.40 ≤ b ≤ -0.50 || 2.05 ≤ c ≤ 2.25
| |
| |-
| |
| | Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33x^2+3.25x-2.85</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 3.15 ≤ b ≤ 3.35 || -2.75 ≤ c ≤ -2.95
| |
| |-
| |
| | Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40x^2-1.9x+6.6</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 1.80 ≤ b ≤ 2.00 || 6.35 ≤ c ≤ 6.85
| |
| |-
| |
| | Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33x^2-3.8x+14.3</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || -4.10 ≤ b ≤ -3.60 || 13.65 ≤ c ≤ 14.95
| |
| |-
| |
| | Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22x^2-4.15x+23.15</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || -3.40 ≤ b ≤ -5.05 || 19.70 ≤ c ≤ 27.20
| |
| |-
| |
| | Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2x^2+2.1x-3.1</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.15 || 1.55 ≤ b ≤ 3.30 || -6.35 ≤ c ≤ -1.70
| |
| |-
| |
| | Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07x^2+1.15x+1.2</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 0.85 ≤ b ≤ 1.30 || 0.95 ≤ c ≤ 1.65
| |
| |-
| |
| | Basketball || <math>f(x)=-0.32x^2+4.15x-7.15</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 3.80 ≤ b ≤ 4.40 || -7.40 ≤ c ≤ -6.10
| |
| |}
| |
| </popup>
| |
| | |
| '''b)''' Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] auftaucht. Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du parallelen und was ist anders? Notiere deine Erkenntnisse in deinem Hefter.
| |
| | |
| '''c)''' Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Formuliert gemeinsam einen Merksatz über eure Erkenntnisse in euren Heftern.
| |
| | |
| <popup name="Beispiel für einen Merksatz">
| |
| {{Merke|Es ist möglich, die gleiche Parabel mit einem Term in der Normalform und einem Term in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zu beschreiben. Der Parameter a bleibt dabei in beiden Darstellungsformen gleich. Die Parameter b, c, d und e sind unterschiedlich.}}</popup>}}
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| [[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erkunden/Übungen]]
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
| |
Unterrichtsidee
