Mathe Klasse8c Schuljahr 2013-14

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Inhaltsverzeichnis

Rechengesetze mit Variablen

Hin und wieder wird das Assoziativ- und das Distributivgesetz verwechselt. Um beide noch einmal zu verdeutlichen gibt es dynamische GeoGebra-Arbeitsblätter dazu, bei denen auch Variablen verwendet werden können:

Lösungen von Gleichungen bestimmen

Das CAS (Computer-Algebra-System) in GeoGebra kann auch Äquivalenzumformungen auf Gleichungen anwenden. Dazu gibt es hier ein Arbeitsblatt.

In einem UbuntuStudio-Icons-Video Production.svg Film zeige ich, wie man dies in GeoGebra machen kann, und gleichzeitig zeige ich, warum es sinnvoll ist, die von mir gezeigte Reihenfolge beim Auflösen der Gleichung anzuwenden.

Terme mit Klammern

Wiskunde-Applets zur Algebra

Wiskunde ist die niederländisch Bezeichnung für "Mathematik". Ein lokales Institut hat einige Java-Applets mit Übungen zum Umgang mit Termen programmiert.

Bei den hier aufgeführten Applets geht es meist darum, dass Rechnungen dargestellt werden.

  • Additionen sind Strecken, die hintereinander liegen, z.B. x + 3
  • Multiplikationen können sein ...
    • als wiederholte Addition könnte es die Vervielfachung einer Strecke sein: 3*x = x + x + x
    • die Fläche eines Rechtecks, z.B. mit den Seitenlängen x und y, hat die Fläche xy

Rechen-Terme mit und ohne Variable als Flächen darstellen

Stift.gif   Aufgabe 1

Das Applet Flächen ausfüllen bietet in 5 verschiedenen Varianten jeweils einige Aufgaben.

Dabei ist jeweils ein Rechteck oder ein Quadrat vorgegeben, dass eingeteilt ist. Einige Werte sind vorgegeben. Entweder die Größe der Fläche oder Seitenlängen bzw. Teile davon. Viele Werte fehlen aber, was man daran erkennt, dass drei Punkte zu sehen sind. Diese Lücken sollen ausgefüllt werden, mit der passenden Zahl oder dem passenden Term mit Variablen. ACHTUNG: Auch unter der Zeichnung sind teilweise Lücken. Kurzes UbuntuStudio-Icons-Video Production.svg Video mit Anleitung.

Aufgabe: Bearbeite am Computer ...

  • alle Aufgaben der vom Typ "Numbers for areas"
  • bei den Aufgaben vom Typ "Find the pieces formula" die Nummern 1 bis 7.
  • bei den Aufgaben vom Typ "Find the rectanlge formula" ebenfalls die Nummern 1 bis 7.
  • Skizziere von den drei Aufgabentypen je ein Beispiel mit kompletter Beschriftung ins Lernheft. Verwende für vorgegebene Werte die normale Schreibfarbe, für die von dir bestimmten Werte einen roten Stift.
  • Beschreibe jeweils bei der von dir gewählten Aufgabe, wie man die einzelnen Werte bestimmt.


Stift.gif   Aufgabe 3

Im Applet kannstdu das Umstellen von Termen mit Hilfe von Flächen üben. Das UbuntuStudio-Icons-Video Production.svg Video zeigt dir, wie man das Applet bedient.


Stift.gif   Aufgabe 2

In Applet Geometrische 2D-Algebra sollst du zu vorgegebenen Termen passende Flächen zeichnen. Es ist fast das gleiche wie bei Aufgabe 1, nur musst du selber überlegen, wa gezeichnet werden muss. Das UbuntuStudio-Icons-Video Production.svg Video zeigt dir, wie man das Applet bedient.

Aufgabe:

  • Zeichne erst am Computer und dann im Heft folgende Terme:
    • 3x+2y
    • 2x*4
    • (x+4)*y
    • ...
  • Finde für die folgenden Terme wiederrum eine passende Zeichnung

Spiel Dragonbox Online

Diese Software, die kostenpflichtig auch für Handys und Tablet verfügbar ist, erlaubt das spielerische Üben des Umgangs mit Termen und Gleichungen. Als (scheinbar) kostenloses Online-Spiel ist es hier verfügbar. Eine Anmeldung ist auch mit erfundener E-Mail-Adresse möglich!

Falls eure Eltern für euch das Spiel Dragonbox kaufen wollen, noch zwei Tipps:

  • auf dem Handy geht es zwar, aber teilweise ist es so klein, dass die Bedienung nicht so wirklich gut geht.
  • Achtet darauf, dass eure Eltern nicht das Spiel Dragonbox 5+ kaufen. Das aktuelle Spiel, das mehr Level enthält, ist Dragonbox 12+.

Binomische Formeln


Wie man sich die Binomischen Formeln auch merken kann: ein Mathesong

Dynamischen GeoGebra-Arbeitsblätter zum Verdeutlichung der

Gemischte Übungen zu den Binomischen Formeln und zum Distributiv-Gesetz am 13.3. 2014

Realmath bietet viele Übungs-Apps mit Kontrolle. Man muss die folgenden Überschriften suchen und dort Übungen auswählen:

  • Binomische Formeln
  • Distributivgesetz wiederholen
  • Summenterme multiplizieren

Da wir uns schon die Grundlagen aungeschaut haben, solltet ihr eher die Übungen auswählen.


Ich habe bei Bettermarks (Kursnummer 87W7M8) einige Übungen ausgewählt.

Denkt daran ... nach der Anmeldung muss ich euch freischalten! Wenn ihr euch jetzt anmeldet, kann ich das auch gleich in der Schule machen.

Es gibt einige Aufgaben, die immer wieder zum Üben und zur Allgemeinen Wiederholung genutzt werden können. Speziell zum aktuellen Thema habe ich folgende Übungen neu erstellt. Da ich inzwischen schon so viele Übungen erstellt habe, sind einige von den neuen Übungen auf der zweiten Seite (rechts unten "vor" anklicken):

  • Gemischte Aufgaben rund um die Bin. Formeln
  • Multiplizieren von Klammern
  • Ausklammern und Ausmultiplizieren
  • Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen

Kongruenzsätze und Konstruktion von Dreiecken

Zum Einstieg mal wieder etwas Praxis aus meinem Alltag: Bei Bau unseres Hauses haben wir die Wand mit Holzfaserplatten gebaut, die rechteckig geliefert wurden. Die 6 cm dicken Holzfaserplatten isolieren sehr gut. Allerdings gab es auch Schrägen. Welches "Problem" man da hatte, erläutere ich kurz in einer Präsentation.

Wann ist ein Dreieck genau festgelegt ?

Welche Maße gibt es eigentlich in einem Dreieck?

  • Die Seitenlängen der Seiten a, b und c
Seiten bzw. deren Längen werden IMMER mit kleinen Buchstaben angegeben. Im Dreieck hat die Seite den Namen des Punktes, der ihr gegenüber liegt.
  • Die Höhen ha, hb und hc
Die Höhen bekommen als Index die Seite, auf der sie senkrecht steht. Höhen können auch außerhalb des Dreiecks liegen. Bei Bedarf muss man die Seite, auf der die Höhe senkrechte stehen soll, verlängern.
  • Die Winkel alpha, beta und gamma.
Die griechischen Buchstaben entsprechen den Namen der Ecken.

Wie genau ist ein Dreieck mit einer vorgegebenen Seite festgelegt?

... oder einem Winkel, einer Höhe oder zwei Seiten, usw.

Zum Ausprobieren kannst du im GeoGebra-Buch zur Klasse 8, in Kapitel 4 die Zeichnungen 4.1 bis 4.7 durchgehen. Du wirst sehen, dass auch bei zwei angegebenen Maßen, egal welcher Art, das Dreieck nicht genau festgelegt ist.

ALSO: Man braucht drei Maßangaben, um ein Dreieck genau festzulegen.

Kongruenzsatz SSS

Stift.gif   Aufgabe

Du sollst nun lernen, wie man ein Dreieck zeichnen kann, von dem drei Seiten angegeben sind. Im GeoGebra-Arbeitsblatt hier (Alternativ: als Java-Applet oder im Verzeichnis i in der Schule) wird es dir gezeigt und ausführlich erklärt.

  1. Gehe einmal die Anleitung durch und lies dir alle Informationen gut durch. Teilweise kann man auch etwas bewegen und ausprobieren.
  2. Starte wieder von vorne und gib als Maße folgende Werte ein: a = 5.2 , b = 4 , c = 7
  3. Mache eine kleine Skizze im Lernheft unter der Überschrift "Kongruenzsatz SSS", wie links oben im Arbeitsblatt vorhanden, und schreibe die gegebenen Maße auf. Markiere diese Maße farbig in der Skizze.
  4. Folge nun den Anweisungen und konstruiere im Lernheft das Dreieck zu den vorgegebenen Maßen entsprechend der Anleitung in der GeoGebra-Zeichnung.
  5. Starte dann mit den gegebenen Werten noch einmal neu und schreibe nun zu der Zeichnung eine kurze Anleitung, wie du es gezeichnet hast. Du sollst nur aufschreiben "Was, wo und wie gezeichnet wurde" aber keine Begründung warum. Beispiel: "Ich zeichne einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius von b = 4 cm".
  6. Starte wieder von vorne und gib als Maße nun die folgenden Werte ein: a = 2.7 , b = 3.5 , c = 7
  7. Versuche nun mündlich, dir selber oder dem Mitschüler am gleichen PC Anweisungen zu geben, was man nacheinander zeichnen muss. Lasse dir erst den Text anzeigen, wenn du deine Anweisung selber fertig formuliert hast.
  8. Bei den hier verwendeten Werten wird es allerdings Probleme geben. Halte an diesem Beispiel im Lernheft fest und erkläre kurz, warum man hier kein passendes Dreieck zeichnen kann. Der Anfang der Konstruktion könnte das Problem auch gut verdeutlichen.
  9. Gibt es weitere Sonderfälle, die dir auffallen? Dann halte Sie ebenfalls fest!

Konstruktionen rund um Kreis und Gerade

Arbeitsanweisungen zum 23.5.2014

Ladet euch die GeoGebra-Datei herunter und konstruiert dann in GeoGebra die Aufgaben, die unten genannt werden. Beachtet aber unbedingt die folgenden Hinweise zum richtigen Konstruieren.

  • Konstruieren bedeutet, eindeutig festgelegte Zeichnungen zu erstellen. Dabei geht man immer von einigen Basis-Objekten aus, wie sie in der Aufgaben vorgegeben sein müssen: ein Kreis (beliebig oder mit bestimmten Radius), zwei Punkte, eine Gerade, usw.
  • Das man richtig konstruiert hat, erkennt man daran, dass die Zeichnung auch bei Veränderung der Ausgangs-Objekte im Sinn erhalten bleibt. Beispiele dazu:
    • In dieser Zeichnung sieht man vier Quadrate, aber nur eines davon ist richtig konstruiert. Die anderen sind falsch konstruiert und liegen nur zufälligerweise "richtig".
    • Hier wird noch mal das Beispiel "Tangente" verdeutlicht.
  • Dazu muss man GeoGebra genau mitteilen, wie gezeichnet werden soll:
    • Soll eine Gerade senkrecht/parallel zu einer anderen sein, muss man das entsprechende Werkzeug zum Zeichnen verwenden.
    • Will man einen bestimmten Schnittpunkt nutzen, so muss man ihn erst durch ein entsprechendes Werkzeug festlegen, so dass er auch wirklich existiert.
    • Für die Bestimmung des Mittelpunktes gibt es ein Werkzeug.
    • Rechte Winkel sollte markiert werden, für was es ein Werkzeug gibt.
  • Beachtet zur Anwendung der Werkzeuge die Hilfe rechts neben den Werkzeugen.

Bearbeitet nun, unter Beachtung der vorher genannten Ratschläge, die folgenden Aufgaben. Wenn eine Zeichnung fertig ist, ruft mich bitte zur Kontrolle. Die Aufgaben 1 bis 5 sind Pflicht. Die weiteren sind kleine Ergänzungen - wobei die letzte besonders kniffelig ist.

Stift.gif   Aufgabe 1

Seite 112, Nr. 4 - Konstruiere die Tangente an einen Kreis

Zur Erinnerung: Die Tangente steht immer senkrecht auf den Radius vom Mittelpunkt zum Berührpunkt


Stift.gif   Aufgabe 2

Seite 112, Nr. 5 [nur Sekante] - Kreis konstruieren, der eine Gerade und einen anderen Kreis berüht.

Zur Erinnerung: Man braucht da immer wieder die Mittelpunkte zwischen zwei Punkten. Das kann man aber nur machen, wenn die Punkte wirklich in GeoGebra existieren!


Stift.gif   Aufgabe 3

Seite 116, Nr. 10 - Konstruiere eine Senkrechte mit Hilfe des Thaleskreises

Zur Erinnerung: Es muss ein beliebiger Punkt auf der Gerade eingezeichnet werden.


Stift.gif   Aufgabe 4

Seite 116, Nr. 11 - Rechteck auf Kreis konstruieren.

Tipp: Man braucht hier das Werkzeug "Kreis mit festem Radius" und nicht das andere, wo zwei Punkte vorgeben sind.


Stift.gif   Aufgabe 5

Seite 117, Nr. 12 - Rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Zur Erinnerung: Eigentlich sollte das wichtigste schon gesagt worden sein ;-)


Stift.gif   Aufgabe 6

ZUSATZ: Seite 112, Nr. 6a - Kreis konstruieren, der durch einen Punkte verläuft und einen anderen Kreis berührt.

Zur Erinnerung: Man braucht die Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt des vorgegebenen Kreises und des Punktes P


Stift.gif   Aufgabe 7

ZUSATZ: Seite 112, Nr. 6a - Kreis konstruieren, der durch einen Punkte verläuft und einen anderen Kreis berührt.

Zur Erinnerung: Man braucht die Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt des vorgegebenen Kreises und des Punktes P

Stift.gif   Aufgabe 8

ZUSATZ: Zeichne zwei beliebige Kreise (Kreis mit Mittelpunkt und Punkt) und konstruiert eine Gerade, die Tangente an beiden Geraden gleichzeitig ist.

Tipp1 und Tipp2 Tipp3: Legt euch Variablen r1, r2 an und gebt ihnen Werte für die Radien der beiden Kreise. Dann werden die Kreise unter Verwendung des Werkzeuges "Kreis mit Radius" und den Variablen-Namen konstruiert.

Arbeitsanweisungen zum 27.5.2014

Wenn ihr die Aufträge vom letzten Mal fertig bearbeitet habt, konstruiert jeweils in einer neuen Datei zu einem beliebigen Dreieck

  • den Umkreis (siehe rotes Kästchen Seite 122)
  • den Inkreis (siehe rotes Kästchen Seite 127)

Zeichnet als Hausaufgabe jeweils einen Umkreis und einen Inkreis im Heft als Hausaufgabe.

Übungen für die LETZTE Arbeit

  • Bettermarks-Aufgabe: Die erste Aufgabe in der Liste enthält gemischte Aufgaben zu den verschiedenen Aufgaben, die in der Arbeit vorkommen.

Darstellungsarten von Funktionen

  • Bestimme die Graph zu der Funktion f(x) = x^2 - 3 (Lösung: Lass ihn dir in GeoGebra anzeigen. Wenn du einen Punkt auf den Graph setzt, siehst du welche Koordinaten er hat. Der Punkt kann dann verschoben werden)
  • Wiederhole die Begriffe und Eigenschaften von: Funktion, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Definitionsbereich.
  • Siehe Bettermarks

Funktionsschreibweise:

Begriffe:

  • y-Wert = Funktionswert
  • x-Wert = Stelle
  • f(3) = Funktionswert an der Stelle 3
  • Punktprobe: Liegt der Punkt (a/b) auf dem Graph der Funktion, dann muss f(a)=b sein.

Lineare Funktionen