Geraden im Raum

Parameterdarstellung einer Gerade

Eine Gerade wird beschrieben durch

$g:\vec x = \vec s + r *\vec v=\overrightarrow{OA}+ r*\overrightarrow{AB},$ für alle r ∈ R

Der Vektor $\vec s=\overrightarrow{OA}$ wird Stützvektor (Ortsvektor) und der Vektor $\vec v=\overrightarrow{AB}$ wird Richtungsvektor (Verbindungsvektor) der Geraden genannt, wobei $r$ als Skalar bezeichnet wird.

Aufstellen einer Geradengleichung

Hinweise zu Vektoren im Raum: Punkte und Vektoren im Raum

Eine Gerade geht durch die Punkte A(2|0|1) und B(3|5|-1). Geben sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an.

1. Schritt: Richtungsvektor bestimmen
z.B. $\vec v=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Stützvektor bestimmen Der Stützvektor ist ein Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden:

z.B. $\vec s=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

3. Schritt: Gleichung aufstellen
$g:\vec x = \vec s + r *\vec v,$ für alle r ∈ R
$g:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$, für alle r ∈ R

Punktprobe

Die Punktprobe ist ein Verfahren, um herauszufinden, ob ein Punkt A(a₁|a₂|a₃) auf einer Geraden g liegt.
Ein Punkt A liegt genau dann auf einer Geraden g, wenn seine Koordinaten die Parameterdarstellung der Geraden erfüllen, d. h. wenn ein r ∈ R existiert derart, dass alle drei Gleichungen des zugehörigen linearen Gleichungssystems erfüllt werden.

Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkten einer Geraden beschreiben die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen.
Da es drei Koordinatenebenen gibt (x-y-Ebene, die x-z-Ebene und die y-z- Ebene), kann eine Gerade maximal drei Spurpunkte besitzen.

Bestimmung von Spurpunkten

Die drei Koordinatenebenen sind dadurch ausgezeichnet, dass für alle Punkte auf ihnen jeweils eine Koordinate den Wert 0 hat:

• alle Punkte der x-y-Ebene haben die z-Koordinate 0,
• alle Punkte der x-z-Ebene haben die y-Koordinate 0,
• alle Punkte der y-z-Ebene haben die x-Koordinate 0.

Man sucht diejenigen Punkte einer Geraden, für die die jeweilige Koordinate den Wert 0 hat.

Beispiel

Bestimmung des Spurpunktes der x-y-Ebene
$g:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}$

1. Betrachtung der z-Koordinate, um r zu bestimmen:
$0=7+r*4\Rightarrow r=-1,75$

2. Bestimmung der übrigen Koordinaten x,y mithilfe von r
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}-1,75*\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -9,5 \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt mit der x-y-Ebene hat die Koordinaten S(2|-9,5|0).

Lagebeziehungen

Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Im Raum gibt es für zwei Geraden g und h folgende Lagebeziehungen:

1. g und h sind identisch: Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, Punktprobe erfüllt
2. g und h sind parallel zueinander: Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, Punktprobe nicht erfüllt
3. g und h schneiden sich in einem Punkt: Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander, Schnittpunkt vorhanden
4. g und h sind zueinander windschief: Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander, kein Schnittpunkt vorhanden

Verfahren zur Bestimmung der Lagebeziehung

Beispiele

Identische Geraden

Die Richtungsvektoren der Geraden $g_1:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $g_4:\vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+v*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ sind Vielfache voneinander, da $r$ den Wert 2 annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix}=r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
und die Punktprobe wird erfüllt, da $s$ den Wert 2 annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} + 2 * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
Die Geraden sind identisch.

Parallele Geraden

Die Richtungsvektoren der Geraden $g_1:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $g_2:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ sind Vielfache voneinander, da $r$ den Wert -2 annehmen kann, für den gilt:
$r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Die Punktprobe wird nicht erfüllt, da $s$ keinen Wert annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$
Die Geraden sind parallel zueinander.

Sich schneidende Geraden/Schnittpunktbestimmung zweier Geraden

Die Richtungsvektoren der Geraden $g_1:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $g_3:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ sind keine Vielfachen voneinander, da $r$ keinen Wert annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} = r * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
Die Geraden schneiden sich, da $r$ den Wert 1 und $t$ den Wert -2 annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ wird bestimmt, indem in eine der beiden Geradengleichungen der Wert für die Variable eingesetzt wird, für den die obige Gleichung gilt:
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt der Geraden hat die Koordinaten S(3|-1|1).

Windschiefe Geraden

Die Richtungsvektoren der Geraden $g_2:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $g_3:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ sind keine Vielfachen voneinander, da $s$ keinen Wert annehmen kann, für den gilt:
$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} = s * \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$
und die Geraden schneiden sich nicht, da die Variablen $s$ und $t$ keinen Wert annehmen können, für den gilt:
$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix}$
Die Geraden sind windschief zueinander.

Lagebeziehungen von Gerade und Ebene

Zwischen einer Geraden g und einer Ebene E können drei verschiedene Lagebeziehungen bestehen: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene