# Winkel im Raum

## Allgemeine Formel,für die Ermittlung des Winkels zwischen 2 Skalaren

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{a} * \vec{b}} {\left| \vec{a} \right| * \left| \vec{b} \right|}$

### 1. Beträge ausrechnen

$\left| \vec{a} \right| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$

$\left| \vec{b} \right| = \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2}$

### 2. Skalarprodukt ausrechnen

${\vec{a} * \vec{b}}= {a_1}*{b_1}+{a_2}*{b_2} +{a_3}*{b_3}$

### 3. Einsetzen

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{a} * \vec{b}} {\left| \vec{a} \right| * \left| \vec{b} \right|}$

#### Beispiel:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right)$

1.

$\left| \vec{a} \right| = \sqrt{{1}^2 + {-3}^2 + {2}^2} = \sqrt{14}$

$\left| \vec{b} \right| = \sqrt{{-2}^2 + {6}^2 + {-4}^2} = \sqrt{56}$

2.

$\vec{a} * \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right) = 1 * \left(-2\right) + \left(-3\right) * 6 + 2 * \left(-4\right) = -28$

3.

$\cos(\alpha) = \frac {-28} {\sqrt{14} * \sqrt{56}} = -1$

--> $\alpha = 180^\circ$