Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation und Benutzer:Christian/test: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Lernpfad-Navigation| [[Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff]]<br />[[Die Ableitung als lokale Änderungsrate]]}}|Navigation anzeigen|Navigation verbergen}}Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen um einen Punkt verhalten.
[/Testunterseite Test]


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<br />{{Box|Aufgabe 1|a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 a)/|zum Applet]]<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="e9jhefpy" />
|Applet anzeigen|Applet verbergen}}<br />
b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 b)/|zum Applet]]<ggb_applet id="dyeqwu9b" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>
|Applet anzeigen|Applet verbergen}} <br /> c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?|Arbeitsmethode
}}{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn wir beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion ,,lokal linear" an diesem Punkt.}}{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math>          [[/Aufgabe 2a)|zum Applet]] <br />
b) <math>g(x)=100x^2</math>  [[/Aufgabe 2b)|zum Applet]] <br />
c) <math>h(x)=|x^2-4|</math>  [[/Aufgabe 2c)|zum Applet]] <br />|Arbeitsmethode
}}{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn man beim Hineinzoomen in einem Punkt feststellt, dass die Funktion an dieser Stelle lokal linear ist, nennen wir die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.}}{{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br/>
a) Zoomen Sie  in [[/Aufgabe 3a)/|diesem Applet]] vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich. <br/> Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.<br/>
{{Lösung versteckt|Hier die Lösung der Rechnung{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> kommt der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>h</math> der Null kommt.<br/>
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
}}
| Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung gewährleistet sein?
c) Betrachten Sie in [[/Aufgabe 3c)/|diesem Applet]] die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben erneut den Punkt B gegen A. Beschreiben Sie die Gerade die entsteht.|Arbeitsmethode
}}
{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
}}


==Die Tangente als lokale lineare Approximation==
<math>5\cdot 95 \euro{}+140 \euro{}+185 \euro{}</math>
Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.{{Box|Aufgabe 4|<nowiki>Wir betrachten die Funktion f(x)=0,25x², die Tangente der Funktion am Punkt P (x0|f(x0)) mit x0 = 1,5und die Abweichung h von x0. </nowiki><br/>  
 
a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe [[/Aufgabe 4 c)/|des Applets]] und interpretieren Sie die rote Strecke.<br/>
 
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten. <br/>
<math>\sqrt{2}</math>
c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente. <br/>|Arbeitsmethode
 
}}{{Box|Aufgabe 5|Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für f(x0+h). Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet. <br/>{{Lösung versteckt|[[Datei:Approximation_farbliche_Strecken.png|rand|571x571px]]
<math>
|Graphik anzeigen|Graphik verbergen}}|Arbeitsmethode
\displaystyle{
}}
# A
{{Box|Aufgabe 6|<nowiki>Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion f(x_0+h)=f(x_0 )+f´(x_0 )·h Stellen Sie die Gleichung nach f´(x) um. Was fällt Ihnen auf?</nowiki>|Arbeitsmethode
# B
}}
# C
<math>(f(x)-f(x+h))/h</math>
# D
}
</math>

Version vom 19. August 2021, 19:18 Uhr

[/Testunterseite Test]



Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \displaystyle{ # A # B # C # D } }